Irisan Kerucut PARABOLA By Gisoesilo Abudi Irisan Kerucut PARABOLA

P A R A B O L A Irisan Kerucut L I N G K A R A N E L I P S 1 L I N G K A R A N 2 P A R A B O L A 3 E L I P S 4 H I P E R B O L A

Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu.

Parabola Perhatikan gambar Keterangan Titik A dan B terletak pada parabola Titik P adalah puncak parabola Titik F adalah titik fokus (titik api) Garis g adalah garis arah (direktris) Garis l merupakan sumbu simetri Garis CC` disebut lactus rektum (LR) C P F l C` B Jarak dari titik A ke garis g dan titik fokus adalah sama. Begitu juga halnya dengan titik B.

Parabola Parabola Berpuncak di O(0, 0) Fokus Direktris Sb. Simetri LR Persamaan Keterangan (p, 0) x = -p Sumbu y 4p 𝑦 2 =4px Terbuka ke kanan (-p, 0) x = p 𝑦 2 =- 4px Terbuka ke kiri (0, p) y = -p Sumbu x 𝑥 2 =4py Terbuka ke atas (0, -p) y = p 𝑥 2 =- 4py Terbuka ke bawah

Parabola Parabola berpuncak di O(0, 0) g P(x, y) Q(p, y) C x A(-p, 0) F(p, 0) C`

Contoh soal Dari parabola-parabola berikut, tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang lactus rectum ! y 2 = 4x y 2 = -12x x 2 = -8y x 2 = 6y

Penyelesaian y 2 = 4px ⇔ y 2 = 4x , maka p =1 Parabola ini merupakan parabola horizontal yang terbuka kekanan Koordinat fokus F(p, 0) ⇔ F(1, 0) Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, maka persamaannya y = 0 Persamaan direktris x = -p ⇔ x = -1 Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4.1 = 4

Penyelesaian y 2 = -4px ⇔ y 2 = -12x , maka 4p =12 ⇔ p =3 Parabola ini merupakan parabola horizontal yang terbuka kekiri Koordinat fokus F(-p, 0) ⇔ F(-3, 0) Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, maka persamaannya y = 0 Persamaan direktris x = p ⇔ x = 3 Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4.3 = 12

Penyelesaian x 2 = -4py ⇔ x 2 = -8y, maka 4p = 8 ⇔ p =2 Parabola ini merupakan parabola vertikal yang terbuka ke bawah Koordinat fokus F(0, -p) ⇔ F(0, -2) Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0 Persamaan direktris y = p ⇔ y = 2 Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4.2 = 8

Penyelesaian x 2 = 4py ⇔ x 2 = 6y, maka 4p = 6 ⇔ p = 6 4 = 3 2 Parabola ini merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas Koordinat fokus F(0, p) ⇔ F(0, 3 2 ) Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0 Persamaan direktris y = -p ⇔ y = - 3 2 Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4. 3 2 = 6

Parabola Parabola Berpuncak di P(a, b) Fokus Direktris Sb. Simetri LR Persamaan Keterangan (a+p, b) x = -p+a Y = b 4p (𝑦−𝑏) 2 =4p(x-a) Terbuka ke kanan (a-p, b) x = p+a (𝑦−𝑏) 2 =-4p(x-a) Terbuka ke kiri (a, b+p) y = -p+b X = a (𝑥−𝑎) 2 =4p(y-b) Terbuka ke atas (a, b-p) y = p+b (𝑥−𝑎) 2 =-4p(y-b) Terbuka ke bawah

Parabola Parabola berpuncak di P(a, b) P(a, b) O g x F(a+p, b) b a Y

Contoh soal 1 Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (-3, 4) Penyelesaian Sketsa P(2, 4) F(-3, 4) Y X 2 4

Penyelesaian Diketahui P(2, 4) dan titik fokus F(-3, 4) Diketahui p(a, b) = P(2, 4) dan F(a-p, b) F = (-3, 4) Maka diperoleh a = 2, b = 4, dan a-p = -3 ⇔ a – p = -3 ⇔ 2 – p = -3 ⇔ p = 5

Penyelesaian Sehingga persamaannya ⇔ y−b 2 = –4p(x – a) ⇔ y−4 2 = –4.5(x – 2) ⇔ y 2 – 8y + 16 = –20(x – 2) ⇔ y 2 – 8y + 16 = –20x + 40 ⇔ y 2 + 20x – 8y – 24 = 0

Contoh soal 2 Diberikan persamaan parabola 3x - 𝑦 2 +4y + 8 = 0. Tentukan titik puncak, titik fokus, direktris, dan sumbu simetrinya.

Penyelesaian Ubah persamaan parabola ke dalam persamaan umum : ⇔ 3x - y 2 +4y + 8 = 0 ⇔ y 2 - 4y = 3x + 8 ⇔ y 2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 melengkapkan kuadrat sempurna ⇔ (y−2) 2 = 3x + 12 ⇔ (y−2) 2 = 3(x + 4) Didapat pers. parabola (y−2) 2 = 3(x + 4) yaitu parabola mendatar yang terbuka ke kanan.

Penyelesaian Sehingga diperoleh : titik puncak P(-4, 2) 4p = 3 ⇔ p = 3 4 Fokus F(a+p, b) ⇔ F(-4+ 3 4 , 2) ⇔ F(-3 1 4 , 2) persamaan direktris x = -p + a ⇔ − 3 4 - 4 = -4 3 4 sumbu simetri y = 2

Sketsa x Y F P 2 -4 −3 3 4 −4 3 4

Contoh soal 3 Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya F(2, -3) dan persamaan direktrisnya y = 5 Penyelesaian Sketsa Y g X 5 P(2, 1) P(2, -3)

Penyelesaian Parabola dengan F(2, -3) dan direktris y = 5 adalah parabola vertikal yang terbuka ke bawah dengan persamaan 𝑥−𝑎 2 =−4𝑝(𝑦−𝑏) Titik fokus F(2, -3) ⇔ F(a, b – p) ⇔ 𝑦 2 a = 2 dan b – p = -3 Direktris y = 5 ⇔ y = p+b = 5 ⇔ b+p = 5 b – p = -3 b + p = 5 -2p = -8 p = 4 –

Penyelesaian Substitusi p = 4 ke b – p = -3 Diperoleh b = 1 Jadi, persamaannya adalah : 𝑥−𝑎 2 =−4𝑝(𝑦−𝑏) ⇔ 𝑥−2 2 =−4.4(𝑦−1) ⇔ 𝑥−2 2 =−16(𝑦−1)

Parabola Garis Singgung Parabola Garis singgung parabola adalah garis yang melalui satu titik parabola O A( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) X h Garis h adalah garis singgung parabola

Persamaan garis singgung parabola dititik A( 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ) Persamaan Parabola Persamaan garis singgung Melalui titik ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) Dengan gradien m 𝑦 2 =4px 𝑦𝑦 1 =2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 ) y = mx + 𝑝 𝑚 𝑦 2 =- 4px 𝑦𝑦 1 =−2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 ) y = mx - 𝑝 𝑚 𝑥 2 =4px 𝑥𝑥 1 =2𝑝(𝑦+ 𝑦 1 ) y = mx - 𝑚 2 𝑝 𝑥 2 =- 4px 𝑥𝑥 1 =−2𝑝(𝑦+ 𝑦 1 ) y = mx + 𝑚 2 𝑝 (𝑦−𝑏) 2 =4p(x-a) (𝑦−𝑏)(𝑦 1 −𝑏)=2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 −2𝑎) y – b = m(x - a) + 𝑝 𝑚 (𝑦−𝑏) 2 =-4p(x-a) (𝑦−𝑏)(𝑦 1 −𝑏)=−2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 −2𝑎) y – b = m(x - a) - 𝑝 𝑚 (𝑥−𝑎) 2 =4p(y-b) (𝑥−𝑎)(𝑥 1 −𝑎)=2𝑝(𝑦+ 𝑦 1 −2𝑏) y – b = m(x - a) - 𝑚 2 𝑝 (𝑥−𝑎) 2 =-4p(y-b) (𝑥−𝑎)(𝑥 1 −𝑎)=−2𝑝(𝑦+ 𝑦 1 −2𝑏) y – b = m(x - a) + 𝑚 2 𝑝

Contoh soal 1 Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦 2 = 8x dititik (2, 4). Penyelesaian ⇔ 𝑦 2 = 8x 𝑦 2 = 4px (parabola horizontal terbuka kekanan) ⇔ 4p = 8 ⇔ p = 2 Titik A ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) ⇔ A(2, 4)

Penyelesaian Persamaan garis singgungnya adalah : 𝑦𝑦 1 =2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 ) 𝑦𝑦 1 =2𝑝(𝑥+ 𝑥 1 ) ⇔ y.4=2.2(𝑥+2) ⇔ 4y=4(𝑥+2) ⇔ y=𝑥+2

Contoh soal 2 Tentukan persamaan garis singgung parabola (𝑥+1) 2 = -3(y – 2) pada titik (2, -1) Penyelesaian Diketahui a = -1, b = 2, 𝑥 1 = 2 dan 𝑦 1 =-1 ⇔ (𝑥+1) 2 = -3(y – 2) (𝑥−𝑎) 2 = -4py (parabola vertikal terbuka kekanan) ⇔ -4p = -3 ⇔ p = 3 4

Penyelesaian Persamaan garis singgung parabola pada titik A(2, -1) adalah : 𝑥−𝑎 𝑥 1 −𝑎 =−2𝑝(𝑦+ 𝑦 1 −2𝑏) ⇔ 𝑥+1 2+1 =−2 3 4 (𝑦−1−2.2) ⇔ (𝑥+1) 3 =− 3 2 (𝑦−5) ⇔ 6 x+1 =−3(y−5) ⇔ 2 x+1 =−(y−5) ⇔ 2𝑥+2=−y+5 ⇔ y=−2x+3

Contoh soal 3 Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦 2 = 8x yang bergradien 2. Penyelesaian ⇔ 𝑦 2 = 8x 𝑦 2 = 4py ⇔ 4p = 8 ⇔ p = 2 Maka persamaan garis singgungnya ⇔ y = mx + 𝑝 𝑚 m= 2 dan p = 2 ⇔ y= 2x + 1

Contoh soal 4 Tentukan persamaan garis singgung parabola (𝑦+5) 2 = -8(x-2) yang bergradien 3. Penyelesaian ⇔ (𝑦+5) 2 = -8(x-2) (𝑦−𝑏) 2 = -4p(x-a) ⇔ -4p = -8 ⇔ p = 2

Penyelesaian Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 𝑦−𝑏=𝑚 𝑥−𝑎 − 𝑝 𝑚 ⇔ 3y+15=9x−18−2 ⇔ 3y+15=9x−20 ⇔ 9x−3y−35=0 ⇔ y=3x− 35 3

Latihan Soal Tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang lactus rectum dari parabola-parabola berikut : a. 𝑦 2 =20𝑥 c. 𝑥 2 =−24𝑦 b. 𝑦 2 =−15𝑥 d. 𝑥 2 =10𝑦 Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -8) dan persamaan direktrisnya y = 6. Tentukan pula panjang lactus rectumnya

Latihan Soal Diberikan persamaan parabola y = 4 (𝑥−3) 2 −2. Tentukan titik puncak, fokus, persamaan direktris, dan sumbu simetri. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di P(1, 2) dan persamaan direktrisnya x = 5. Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦 2 = -12x yang bergradien 5. Tentukan persamaan garis singgung parabola (𝑦+2) 2 =4(x + 1) pada titik (5, 0)

Thank You !