Klik untuk melanjutkan Sudaryatno Sudirham Fungsi dan Grafik Klik untuk melanjutkan

dalam format pdf tersedia di dalam format pps beranimasi tersedia di Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org

Fungsi dan Grafik Buku (pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org

Pembahasan Fungsi dan Grafik Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar

1. Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x

panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Contoh: panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai yaitu: rentang terbuka a < x < b a b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV sumbu-y Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y] -4 -3 -2 -1 1 2 3 y sumbu-x Q[-2,2] II I P[2,1] -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x III IV S[3,-2] R[-3,-3]

(kita baca: “delta x per delta y”) Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi: Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x -1 1 2 3 4 dst. y -0,5 0,5 1,5 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 3 4 x y P R Q Kurva Δx Δy Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: (kita baca: “delta x per delta y”)

Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya) Contoh: y x y = u(x) 1 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1) y x -1 1 -10 -5 5 10 y = 1/x Tak terdefinisikan di x = 0 (y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya) y = 1/x

Simetri Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

tidak berubah bila x diganti x Contoh: y = 0,3x2 tidak berubah bila x diganti x x -6 -3 3 6 y (simetris terhadap sumbu-y) y = 0,05x3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y (simetris terhadap titik [0,0]) tidak berubah jika: x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y y2 + x2 = 9

Pernyataan bentuk implisit Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y -8 -4 4 8 -2 2 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 4 8 -1 1 2 3 x y 0,8 1,6 1 2 x y -1,6 -0,8 1 2 x y -0,8 0,8 1 2 3 4 x y 2 4 -4 -2 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Fungsi Bernilai Banyak Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: -10 -5 5 10 1 2 3 x y -2 -1 1 2 3 x y

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut x P  r y rsin rcos

Bentuk ini disebut cardioid Contoh: -3 -2 -1 1 2 3 -5 y x r  P[r,] Bentuk ini disebut cardioid

Contoh: -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 3 x y r  P[r,] y = 2

2. Fungsi Linier

Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai +. Contoh: y = 4 x - 4 5 y

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0] 1 2 -1 3 4 x y garis lurus melalui [0,0] Δx Δy kemiringan garis lurus Contoh: -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y y = 2x m > 0 y = x y = 0,5x y = -1,5 x m < 0

titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus pergeseran ke arah sumbu-x pergeseran ke arah sumbu-y -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y -4 -2 2 4 6 8 10 -1 1 3 x y y  2 = 2x y = 2x y = 2x titik potong dengan sumbu-y y =2(x–1) titik potong dengan sumbu-x Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif adalah menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positif Bentuk umum persamaan garis lurus

dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu y = -2x Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x Persamaan garis: atau

Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik Q -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y P [x2,y2] Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui P dan Q [x1,y1] Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q Contoh: [3,8] -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y persamaan garis: atau [1,4]

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. Perpotongan Garis Lurus Dua garis: dan Koordinat titik potong P harus memenuhi: Contoh: -30 -20 -10 10 20 30 -5 5 y x y2 y1 P Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. xP yP Titik potong:

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V  anoda katoda l Kuat medan listrik: Gaya pada elektron: gaya fungsi linier dari V Percepatan pada elektron: percepatan fungsi linier dari Fe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. gaya panjang tarikan konstanta pegas Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. G dan R adalah tetapan konduktansi resistansi panjang konduktor kerapatan arus resistivitas Luas penampang konduktor

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain Contoh: Peristiwa difusi: materi menembus materi lain xa x Ca Cx x materi masuk di xa Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan materi keluar di x gradien konsentrasi Fluksi materi yang berdifusi ke arah x koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

3. Gabungan Fungsi Linier

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan 2 5 x y 1 Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 muncul pada x = 0 Secara umum amplitudo Contoh: - 4 5 x y

Fungsi anak tangga tergeser Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif Contoh: -4 5 x y 1

Fungsi Ramp Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga) kemiringan Fungsi ramp satuan : kemiringan a = 1 Fungsi ramp tergeser: Contoh: 1 2 3 4 5 6 -1 x y y2 = 2xu(x) y1 = xu(x) y3 = 1,5(x-2)u(x-2) Pergeseran searah sumbu-x

Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1 Contoh: lebar pulsa y1=2u(x-1) -2 -1 1 2 3 4 x y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) perioda x y y2 = 2u(x2) Deretan Pulsa:

Perkalian Ramp dan Pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja ramp Contoh: y3 = y1 y2 2 4 6 8 10 -1 1 3 5 x y y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

Contoh: x y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y2 = {u(x)-u(x-b)} 2 4 6 8 10 -1 1 3 5 y x b y1 = mxu(x) y2 = {u(x)-u(x-b)}

Gabungan Fungsi Ramp Contoh: y3= 2xu(x)2(x2)u(x2) y x y1= 2xu(x) -8 -4 4 8 12 1 2 3 5 x y1= 2xu(x) Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentu y2= 2(x2)u(x2)

Contoh: y3= 2xu(x)4(x2)u(x2) y x y1=2xu(x) -10 -5 5 10 15 1 2 3 4 x y y1=2xu(x) y2 lebih cepat menurun dari y1 maka y3 menurun mulai dari x tertentu y2= 4(x2)u(x2)

Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1 x  3 Contoh: Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1 x  3 y3= {2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 5 10 15 1 2 3 4 x y y1= 2xu(x) y2= 4(x-2)u(x-2)

4. Mononom dan Polinom

Mononom

Mononom Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: Karena x2  0,maka jika k > 0  y > 0 jika k < 0  y < 0 Contoh: y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 x y = 5x2 y = 3x2 -100 -80 -60 -40 -20 - 5 4 3 2 1 y x y = x2 y memiliki nilai minimum y memiliki nilai maksimum

Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3 = 10(x2)2 + 30 -5 -3 3 5 x 50 100 -1 1 y Pergeseran ke arah sumbu-y positif y1 = 10x2 y2 = 10(x2)2 Pergeseran ke arah sumbu-x positif

Koordinat titik potong antara kurva Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh: Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak y2 = 2x4 y3 = 2x6 y1 = 2x2 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Koordinat titik potong antara kurva 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0] Pangkat ganjil terendah: linier -3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3 y x Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom Pangkat Tiga y y x x Mononom pangkat tiga Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x2)3 + 100 -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -2 -1 1 y -5 -4 -3 2 3 4 5 x -5 -3 3 5 x -600 -400 -200 200 400 600 -1 1 y y = 10x3 y = 10(x2)3 Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif

Polinom

Polinom Pangkat Dua y y x x -150 150 x -10 10 x -10 y -150 150 10 y1=2x2 y1=2x2 y2=15x y4 = 2x2+15x y3=13 x = 15/2 y2=15x Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu-x

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: y4 = 2x2+15x x y -150 150 -10 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 10 y4 = 2x2+15x 15/2 x y -150 150 -10 sumbu simetri 15/4 10 Sumbu simetri dari Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: memotong sumbu-x di: Koordinat titik puncak:

Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c y x Sumbu simetri: x2 x1 y = ax2 Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua -2000 2000 -10 10 y x y1 = 4x3 -2000 2000 -10 10 x y y1 y2 Penjumlahan: y3 = y1 + y2 Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2) y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1

Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3 = y1+y2 2000 -10 10 y2 y1 y3 = y1 + y2 -2000 Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat y3 = y1 + y2 -2000 2000 -10 15 y3 = y1 + y2 y1 y2 -2000 -10 15 2000 a < 0 Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

5. Bangun Geometris

Simetri jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh: Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh: -4 4 y x tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

Jarak Antara Dua Titik Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka Contoh: y x -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y [1,4] [3,8]

Parabola Bentuk kurva disebut parabola [0,0] y x P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y y=kx2 P[x,y] ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q[0,p] Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik R[x,p] Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

Contoh: Parabola dapat kita tuliskan Direktrik: Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

Contoh: [0,0] x y 0,5 -1 1 r r = 1

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips x y X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] kwadratkan sederhanakan kwadratkan

[0,b] [a,0] [a,0] [0,b] y sumbu pendek = 2b x sumbu panjang = 2a X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [a,0] sumbu pendek = 2b [a,0] sumbu panjang = 2a [0,b] Elips tergeser 1 -1 2 x y

Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan y x X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ  2c < 2a  c2  a2 = b2 persamaan hiperbola

[-a,0] [a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y +  X(x,y) -c c y x [-a,0] [a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Persamaan parabola: Lingkaran: F = 1 Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y] -5 5 x y Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.

6. Fungsi Trigonometri

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi Cosecan [0,0] -1 1 x y Fungsi sinus Fungsi Tangent O P r = 1 Q  - Fungsi Cosinus Fungsi Cotangent P’ Fungsi Secan

Relasi-Relasi sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos y 1  -1 1 [0,0] x y sin cos cos sin sin sin   cos sin  cos cos

Relasi-Relasi sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos Karena -1 1 [0,0] x y sin cos cos sin sin sin   cos sin  cos cos Karena

Contoh:

Contoh:

Fungsi Trigonometri Normal

pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Fungsi Sinus Fungsi Cosinus x y -1 1   2 2 perioda -1 1 x y 2   perioda pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif Contoh:

Fungsi Tangent Rentang: -/4 < tan < /4 -3 -2 -1 1 2 3 -3/4 -/2 /4 /2 3/4 -/4 Rentang: -/4 < tan < /4 /4 < tan < 3/4 dst. Lebar rentang: /2 asimptot

Fungsi Cotangent asimptot Rentang: 0 < tan < /2 dst. -3 -2 -1 1 2 3 -3/4 -/2 -/4 /4 /2 3/4 Rentang: 0 < tan < /2 -/2 < tan < 0 dst. Lebar rentang: /2

Fungsi Secan Fungsi Cosecan Rentang: -/2 < tan < /2 -3 -2 -1 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 Fungsi Secan Rentang: -/2 < tan < /2 /2 < tan < 3/2 dst. Lebar rentang:  asimptot Fungsi Cosecan -3 -2 -1 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 Rentang: 0 < tan <  -< tan < 0 dst. Lebar rentang: 

Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi y y 1 x y x x Sudut y yang sinusnya = x -1 1   2 2 y x 1 -0,5 -0,25 0,25 0,5 -1 -0,5 0,5 1 x y Kurva nilai utama -/2 < sin-1x </2 -1 < x < 1 Kurva lengkap

Cosinus Inversi y y 1 y x x x Kurva nilai utama 0 < cos-1x <  1   0,25 0,5 0,75 1 -1 -0,5 0,5 1 x y y x 1 Kurva nilai utama 0 < cos-1x <  -1 < x < 1 Kurva lengkap

Tangent Inversi x y 1 Kurva nilai utama Kurva lengkap -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 y x -0,5 -0,25 0,25 0,5 -10 -5 5 10 x y y x 1 Kurva nilai utama Kurva lengkap

Cotangent inversi dengan nilai utama 1 y x Kurva nilai utama 0,5 1 0,5 1 -10 -5 5 10 y x Kurva nilai utama

Secan Inversi dengan nilai utama y x y 1 x Kurva nilai utama 0,25 0,25 0,5 0,75  -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y x 1 Kurva nilai utama

Cosecan Inversi dengan nilai utama x 1 y Kurva nilai utama y -0,5 -0,25 0,25 0,5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y x 1 Kurva nilai utama

7. Gabungan Fungsi Sinus

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus sudut fasa amplitudo frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, 0, dengan hubungan

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan perioda Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: T0 -A A t y T0 -A A t y Ts Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya y y = 1 + 3 cos 2f0t -4 4 -5 15 t y y = 3 cos 2f0t -4 4 -5 15 t y t - 4 5 15 -4 1 -5 15 Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi Contoh: Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi sinus dasar (fundamental). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.

Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin

Suatu persamaan gelombang: Contoh: Suatu persamaan gelombang: Frekuensi f0 2 f0 4 f0 Amplitudo 10 30 15 7,5 Sudut fasa  /2  /2 2 1 2 3 4 5 Sudut Fasa Frekuensi [f0] /2 2 10 20 30 40 1 2 3 4 5 Frekuensi [f0] Amplitudo Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: T0 t y

Contoh: T0 A t y Contoh: T0 A t y

8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

8. Fungsi Log Natural

Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,7182818284

Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x t 1 2 3 4 5 6 y 1/t luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x ln x x Kurva y = ln x 1 2 3 4 x -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1,5 y y = ln x e = 2,7182818284….. e

Sifat-Sifat

9. Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial Antilogaritma Fungsi Eksponensial Antilogaritma adalah inversi dari logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0,2 0,4 0,6 0,8 y Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x e x e2x Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah yang dituliskan dengan singkat  = 1/a disebut konstanta waktu makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5

Gabungan Fungsi Eksponensial t/ A 1 2 3 4 5

10. Fungsi Hiperbolik

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Fungsi hiperbolik yang lain

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x

-1 1 2 3 4 -2 y x

x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x

Identitas Beberapa Identitas: Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan: untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan Beberapa Identitas:

11. Koordinat Polar

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku [0,0] x y xP yP P(xP ,yP) P[r,]  r

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah [0,0] x y Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah [0,0] x y a Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah [0,0] x y b a  r Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

Bentuk ini disebut cardioid Contoh: -3 -2 -1 1 2 3 -5 y x r  P[r,] Bentuk ini disebut cardioid

Contoh:  y x -3 -2 -1 1 2 3 -5 5 r P[r,]

Contoh: -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 3 x y  =   = 2  = 3  = 4 r  0,5 1 1,5 2 3 x y  =   = 2  = 3  = 4 r  P[r,] y = 2

Persamaan Garis Lurus O y x l1 a r  P[r,]

O y x b l2 r  P[r,]

 l3 r  P[r,] O y x  a A

O y x l4 r  P[r,]  a

Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas x y Eksentrisitas: A direktriks k D B  r P[r,] F titik fokus Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Parabola: Elips: (misal es = 0,5) (misal es = 2) Hiperbola:

Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan F1[a,] F2[a,0] P[r,] r   = 0  =   = /2 Misalkan Buat b dan a berrelasi b = ka

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1 Lemniskat Kondisi khusus: k = 1  = 0  =   = /2 -0,6 -0,2 0,2 0,6 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1  = 0  =   = /2 -1 -0,5 0,5 1 -2 2 Kurva dengan a = 1

Oval Cassini Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8  = 0  =   = /2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 -2 2

Bahan Kuliah Terbuka Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham