6. SISTEM PARTIKEL

6.1 Pusat Massa (center of mass) Sistem Partikel Untuk menentukan pusat massa (disingkat cm), perhatikan gambar berikut yang merupakan sistem partikel sederhana yang terdiri dari dua partikel.  x y m1 d cm xcm m2 (a) O Gambar 6.1 Sistem Partikel dengan Dua Massa  x y m1 d cm xcm m2 x1 x2 (b) O

Gambar 6.1 a menunjukkan dua buah partikel yang masing-masing mempunyai massa m1 dan m2 yang dipisahkan dalam jarak d.  x y m1 d cm xcm m2 (a) O Jika titik asal koordinat ditentukan berimpit dengan partikel m1 (Gambar 6.1.a) maka lokasi pusat massa dari partikel m1 dan m2 adalah (6.1)

 x y m1 d cm xcm m2 (a) O Jika m1 = 0 maka sistem hanya mempunyai satu partikel, yaitu m2, sehingga pers. (6.1) dpt ditulis sebagai xcm = d. Artinya pusat massa sistem terletak pada partikel m2. Sebaliknya jika m2 = 0 maka persamaan (6.1) menjadi xcm = d. Berarti pusat massa terletak pada partikel m1. Jika m1 = m2 , maka pers. (6.1) menjadi xcm = 1/2 d. Artinya pusat massa terletak ditengah-tengah antara m1 dan m2

Total massa dari sistem adalah m1 + m2 = M, sehingga  x y m1 d cm xcm m2 x1 x2 (b) O Jika titik asal pada Gambar 6.1a digeser ke kiri, maka bentuknya seperti ditunjukkan pada Gambar 6.1b dan lokasi pusat massa didefinisikan sebagai, (10.2) Total massa dari sistem adalah m1 + m2 = M, sehingga pers. (6.2) dapat ditulis menjadi (10.3)

Jika sistem terdiri dari n partikel, maka total massa seluruh partikel adalah M = m1 + m2 + … + mn Lokasi pusat massa (6.4)

Jika sejumlah n partikel terdistribusi pada ruang dimensi 3, maka pusat massa dihitung dengan pers.(6.5) berikut. (6.5)

 Contoh 6.1 Tiga buah partikel dengan massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg, dan m3 = 3,4 kg masing-masing diletakkan pada sudut segitiga sama sisi (lihat gambar). Jika panjang sisi segitiga adalah a = 140 cm, tentukan pusat dari massa ketiga partikel tersebut!  y x m1 m2 m3 Penyelesaian

Partikel Massa (kg) x (cm) y (cm) m1 1,2 m2 2,5 140 m3 3,4 70 121 Persamaan (10.4)

 y x m1 m2 m3 xcm ycm rcm

rcm = xcm i + ycm j + zcm k (6.7) Pusat massa juga dapat dinyatakan dalam bentuk vektor. Posisi masing-masing partikel pada koordinat xi, yi, dan zi ditunjukkan oleh persamaan vektor posisi berikut. ri = xi i + yi j + zi k (6.6) Posisi pusat massa dari n partikel ditunjukkan oleh vektor posisi berikut. rcm = xcm i + ycm j + zcm k (6.7) Selanjutnya persamaan (6.5) dapat ditulis sebagai sebuah persamaan vektor sebagai berikut. (6.8)

Dari persamaan (6.8) didapat (6.9) Differensiasikan persamaan (6.9) didapat (6.10) Differensiasikan persamaan (6.10) didapat (6.11) Karena m.a = F, maka persamaan (6.11) dapat ditulis (6.12)

M adalah massa benda atau objek, sedangkan V adalah volumenya. 6.2 Pusat Massa Benda Tegar Untuk menentukan lokasi pusat massa dari benda tegar pada ruang dimensi 3 digunakan rumus berikut. (6.13) Jika kerapatan benda seragam (uniform), maka berlaku (6.14) M adalah massa benda atau objek, sedangkan V adalah volumenya.

Substitusi persamaan (6.14) ke (6.13) didapat (6.15)

Penentuan pusat massa benda tegar tipis dapat dilakukan dengan cara menggantung benda tersebut pada beberapa titik. Perhatikan gambar 6.2 berikut. A B C Gambar 6.2 Menentukan lokasi pusat massa benda tegar tipis

 Latihan Diketahui tiga buah partikel massa seperti gambar berikut. Tentukan Koordinat pusat massa dari ketiga partikel tersebut. Apa yang terjadi jika maka yang terbesar ( 8 kg) secara berangsur-angsur diperbesar.  1 2 3,0 kg 4,0 kg 8,0 kg y (m) x (m)

6.3 Momentum Linier Memomentum linier atau sering disingkat dengan istilah momentum, dari sebuah partikel didefinisikan sebagai hasilkali antara massa dan kecepatannya. p = mv (6.16) Karena massa adalah besaran positif, maka arah vektor kecepatan sama dengan arah vektor momentum. Pada mulanya hukum Newton II dinyatakan dalam momentum, yaitu Laju perubahan momentum sebuah partikel sebanding dengan gaya netto yang bekerja pada partikel tersebut dengan arah sesuai dengan arah gaya netto.

Dalam bentuk persamaan dapat ditulis menjadi, (6.17) Substitusi pers. (6.12) ke (6.13) menghasilkan, (6.18)

6.4 Momentum Linier dari suatu Sistem Partikel Misal terdapat suatu sistem yang terdiri dari beberapa partikel yang masing-masing mempunyai massa, kecepatan, dan momentum linier. Masing-masing partikel dapat berinteraksi satu sama lain, dan gaya luar dapat bekerja pada masing-masing partikel tersebut. Jika momentum linier sistem secara keseluruhan adalah P yang didefinisikan sebagai penjumlahan vektor dari masing-masing momentum. Dalam bentuk rumus dapat dinyatakan sebagai, P = p1 + p2 + p3 + … + pn = m1v1 + m2v2 + m3v3 + … + mnvn (6.19)

Jika persamaan (6.19) dibandingkan dengan persamaan (6.10) didapat P = M vcm (6.20) Persamaan (6.20) disebut persaman momentum linier dari sebuah sistem partikel, yang menyatakan bahwa momentum linier dari suatu sistem partikel sama dengan perkalian massa total dengan kecepatan pusat massa. Jika kita turunkan persamaan (6.20) terhadap variabel waktu t, didapat (6.21)

Dari persamaan (6.21), kita dapat menyatakan Hukum newton II sebagai berikut. (6.22) 6.5 Kekekalan Momentum Jika sistem partikel diisolasi maka tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem (Fext) . Selain diisolasi, dimisalkan juga sistem merupakan sistem tertutup, artinya tidak ada partikel yanmg keluar maupun masuk sistem. Akibatnya persamaan (6.22) menjadi (6.23)

Sehingga untuk sistem yang tertutup dan diisolasi berlaku Pi = Pf (6.24) Persamaan (6.24) disebut hukum kekekalan momentum linier. Contoh 10.2 Sebuah gerbong kereta api yang mempunyai massa 10.000 kg bergerak dengan laju 24 m/s menabrak kereta lain yang sejenisnya dalam kondisi awal yang tidak bergerak. Jiuka kedua kereta tersambung akibat Tumbukan, berapa kecepatan akhir kereta tersebut? Penyelesaian

Syarat kekekalan momentum Pi = Pf  m1i v1i + m2i v2i = m1f v1f + m2f v2f Kondisi awal (sebelum tabrakan) m1i = m2i = 10.000 kg v1i = 24,0 m /detik v2i = 0 Kondisi akhir (setelah tabrakan) m1f = m2f = 10.000 kg v1f = v2f (10.000 kg)(24,0 m/det) + (10.000 kg)(0) = (10.000 kg)(v1f ) + (10.000 kg)(v1f ) 240.000 kg m/det = (20.000 kg)(v1f ) v1f = 12,0 m/detik

Latihan Sebuah gerbong kereta api 12.500 kg berjalan diatas rel mempunyai kelajuan konstan 18,0 km/jam. Jika beban tambahan sebesar 5750 kg dijatuhkan ke atas gerbong, berapa laju gerbong sekarang?