i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c (3.17) dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga persamaan 3.17 menjadi, ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita harus menentukan akar-akarnya.

Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar tersebut. Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam bentuk , x+ = a (x2 + Bx + C)  B = b/a dan C = c/a Memperfaktorkan berarti menuliskannya dalam bentuk, (x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B ( 3.18 ) Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n

Contoh 3.18 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Penyelesaian B = 1 dan C = –6 ; mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3 Jadi x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 2 dan x2 = -3 Contoh 3.19 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 –4x – 12 = 0 Penyelesaian B = –4 dan C = –12 ; mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2 Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 6 dan x2 = –2

Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2+bx+c = 0 dengan x  bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk , a(x2 + x ) + c = a (x2 + x + ) – + c = 0 b a b2 4a 4a2 a(x + x )2 = – c  (x + )2 = – a 2b b2 4a2 c b 2a 1 x + =  =  =  b2 4a2 c a 4ac b2 4ac

x =  = 1 2a b2 4ac b b  b + x1 = b2 4ac 2a x2 = b atau (3.19) Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b2 – 4ac disebut diskriminan atau disingkat D. Contoh 3.20 Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan meng gunakan persamaan kuadrat! Penyelesaian Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21

4 + x1 = = = 3 42 4(1)(–21) 2a 16 + 84 2 4 x2 = = = –7 42 4(1)(–21) 2a 16 + 84 2

- Grafik fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril, a  0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a<0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu :

i) Verteks Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : h = – b/2a dan k = c – b2/4a (3.20 ) ii) Sumbu simetri Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah, x = h = – b/2a 3.21

iii) Titik potong dengan sumbu x Jika diskriminan (D) = 0 maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada x1 dan x2 iv) Titik potong dengan sumbu y Titik potong dengan sumbu y pada y = c Contoh 3.21 Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x -6 Tentukan verteks, sumbu simetri, ttk potong thd sumbu x dan y Penyelesaian Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6

h = –b/2a = – (5/–2) = 5/2 k = c – b2/4a = – 6 – 52/4 (–1) = – 6 +25/4 = 1/4 Verteks = V (h,k) = V (5/2 , 1/4) Sumbu simetri x = h = 5/2 Titik potong terhadap sumbu x  y = 0 x2 + 5x – 6 = –( x – 3)(x – 2) = 0  x1 = 3 ; x2 = 2 Jadi parabola memotong sum,bu x pada x = 2 dan x = 3 Titik potong terhadap sumbu y  x = 0. Didapat y = –6 Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6 Parabola membuka ke bawah karena a < 0

 y x O 2 3 1/4 –6 Sumbu simetri x = 5/2 Gambar 3.12

j. Fungsi pangkat tinggi Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi tersebut. - Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah satu faktor dari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi. Contoh 3.22 Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi y = f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24

Penyelesaian Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1)  0, maka x = 1 bukan akar dari f(x). Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x). Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu (x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagi dengan (x – 2).

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 x3

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 x3 – 2x2

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 x3 – 2x2

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24 – 12x

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24

x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x2 – x – 12 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2 + 2x – 12x + 24 Hasil bagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12 adalah faktor lain dari x3–3x2–10x+24. Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x–2)(x2–x–12). Akan tetapi faktor x2–x–12 masih mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua.

Persamaan dari x2–x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehingga secara keseluruhan persaman x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x–2)(x–4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x3–3x2–10x+24 adalah (x–2), (x–4) dan (x+3). Sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3. - Grafik fungsi pangkat tinggi Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh 3.23 Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x

Penyelesaian Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1). x : - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + x – 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + x + 1 - - - - 0+ + + + + + + + + + + + + + + + + x3 – x - - - - 0 + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + – 1 0 1

Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah y x –1 1 Gambar 3.13

a. Daerah definisi (domain) B. Fungsi pecah a. Daerah definisi (domain) Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : P(x) Q(x) f(x) = , Q(x)  0 (3.22) Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah.

Contoh 3.24 Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut! 2x – 1 x2 – x – 2 a) x + 3 x3 + 4x2 + x b) Penyelesaian a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) 2x – 1 x2 – x – 2 Himpunan daerah definisi adalah , {x|x semua bilangan ril, x  2 dan x  – 1} b) Perhatikan Q(x) : x3 + 4x2 + x = 4x (x + 1/2)2 x + 3 x3 + 4x2 + x Himpunan daerah definisi adalah , {x|x semua bilangan ril, x  0 dan x  – 1/2}

Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu b. Grafik fungsi pecah Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut : i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x) ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x). iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu dari f(x).

Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0. Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk mencari titik potong. Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut.

Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x – c merupakan vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v. vii) Misal fungsi pecah berbentuk : f(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + … + a1 x + a0 bm xm + bm - 1 xm-1 + … + b1 x + b0 - Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar. - Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar. - Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot tegak (positif atau negatif).

Contoh 3.25 Gambarkan grafik y = f(x) = 3x2 – x – 2 2x2 – x – 1 Penyelesaian 3x2 – x – 2 2x2 – x – 1 ( x – 1)(3x+ 2) (x – 1)(2x +1) = i) ii) Q(x) = (x – 1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = – 1/2. Jadi daerah definisi (domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan – 1/2. iii) Karena (x – 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka f(x) tak kontinu pada titik x = 1.

Titik potong dengan sumbu x. P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = – 2/3. Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3. Sedangkan x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1) merupakan faktor persektuan P(x) dan Q(x). Titik potong dengan sumbu y, x = 0  y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2. 3x2 + x + 3 x2 – x – 1 ( x – 1)(3x+ 2) (x – 1)(2x +1) = v) (3x+ 2) (2x +1) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v), maka x= –1/2 adalah asimtot tegak. vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3x+2 - - - - - - - viii) x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + 3x+2 - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + 2x + 1 - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - 3x2 – x – 2 2x2 – x – 1 ? – 2/3 – 1/2 1

-1/2 -2/3 0 1 y x Gambar 3.14  

3.2.3.2 Fungsi irasional Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk : (3.23) dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional (Df) dapat dijelaskan sebagai berikut : Dg bila n bilangan ganjil x|g(x)  0 bila n bilangan genap Df = (3.24) Dg adalah daerah definsi dari g.

Contoh 3.26 Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari y = 9x – x2 Penyelesaian Karena n genap (dalam hal ini 2), maka 9x – x2  0 9x – x2  0  x(9 – x )  0 x : - - - - - - - - ++++++++++++++++++ 9 – x ++++++++++++++ - - - - - - - - - - - - - 9x – x2 - - - - - - -- +++++++++ - - - - - - - - - - - - - - -   0 9 Jadi daerah definisi atau domain dari adalah 0  x  9 9x – x2

Daerah nilai dari dicari dengan cara 9x – x2 Daerah nilai dari dicari dengan cara 9x – x2 y =  y2 = 9x – x2  x2 – 9x + y2 = 0 Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y2 Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus ril. Artinya D  0. Secara otomatis b2 –4ac  0. Jika kita masukkan nilai a, b dan c maka didapat : (-9)2 -4(1)(y2)  0. 4y2  81  -9/2  y  9/2

Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y  -9/2 dan y  9/2. Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol, maka pertaksamaan y  -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan yang digunakan adalah y  9/2 dan y  0. Jadi daerah nilai untuk 9x – x2 f(x) = adalah 0  y  9/2 3.2.4 Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai, (f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)

Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai, (g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) Contoh 3.27 Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4

3.2.5 Fungsi satu ke satu Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua), sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.

Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan 2.2.6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga, i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : f(x) = y  g(y) = x 2.27 Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis, g = f -1 atau x = f -1 (x) 2.28

Contoh 2.27 Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3 f -1(y) = (y – 2)1/3 f -1(x) = (x – 2)1/3 2.2.7 Fungsi transenden 2.2.7.1 Fungsi eksponen Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = ax disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax dapat dijelaskan sebagai berikut :

i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax adalah semua bilangan positif. ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax v) Jik aterdapat x < z, maka (3.29) ax < az untuk a > 1 ax > az untuk 0 < a <1 Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak pada arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1, grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).

 1 O x y (a) (b) Gambar 3.15 Fungsi eksponen ex Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional yang besarnya adalah 2,7182818…

Persamaan eksponensial Misal a > 0 dan a  1 Jika (3.30) ax = az untuk x = z ax  az untuk x  z Contoh 3.28 Jika 27 = 3 , tentukan nilai x x x2 – 4 27 = 3  (33) = 3  3 = 3 x x2 – 4 3x 3x = x2 – 4  x2 – 3x – 4 = 0  (x – 4)(x +1) Didapat x1 = 4 , x2 = –1

Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9) Contoh 3.29 Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9) Penyelesaian : f(x) = ax  9 = a2  32 = a2 Jadi a = 3 3.2.7.2 Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1. Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis, loga y adalah bilangan unik x sedemikian, sehingga ax = y Jadi loga y = x  y = ax 3.31

dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama dengan a pangkat x”. Jika harga y pada pers. 3.31 sama dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi, loga 1 = 0 (3.32) loga a = 1 (3.33) Contoh 3.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi bentuk logaritma ! 103 b) 6251/4 Penyelesaian a) y = 103  log10 y = 3 b) y = 6251/4  log625 y = 1/4

Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi Contoh 3.31 Hitung a) log2 32 b) log16 1/4 Penyelesaan a) y = log2 32  2y = 32 = 25 . Jadi y = 5 b) y = log16 ¼  16y =1/4 = 4–1  24y = 2– 2 Jadi 4y = –2  y = –1/2 Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, f(x) = loga x untuk x > 0 Jika kita tulis logx a = loga x , maka dari persamaan 3.31 didapat, a = x , untuk x > 0 (3.34) loga x

Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi, loga ax = x , untuk setiap bilangan x (3.35) Hukum-hukum logaritma a) logb PQ = logb P + logb Q b) logb = logb P – logb Q P Q c) logb Pn = n logb P d) logb = logb P

Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma natural ditulis sebagai, loge x = ln x (3.36)