BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan Linier a1x1 + a2x2 +…+ an xn= b Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a1x1 + a2x2 +…+ an xn= b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat selain satu dari variabelnya serta bukan sebagai fungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial.

Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linier, caranya : 1. Jika 2 variabel Tentukan sembarang nilai salah satu variabel dan selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai variabel lain. Jika 3 variabel atau lebih (n) Tentukan sembarang nilai (n-1) variabel dan selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai variabel lain.

Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Linier adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan–persamaan linier. Secara grafik ada 3 kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linier, yaitu :

Tak terhingga banyaknya pemecahan Tidak ada pemecahan Satu pemecahan Tak terhingga banyaknya pemecahan l1 l1 dan l2 y l2 y y l2 l1 x x x (a) (b) (c)

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tak konsisten. Sebuah sistem persamaan yang mempunyai setidak-tidaknya satu pemecahan dikatakan konsisten.

Note : Bila kita membentuk sebuah matriks yang diperbesar, maka bilangan-bilangan tak diketahui harus dituliskan dalam urutan (orde) yang sama dalam masing-masing persamaan.

Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier adalah untuk menggantikan sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang mudah, salah satunya dengan operasi baris elementer. Langkah – Langkah Pemecahan SPL Dengan Operasi Baris Elementer Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol. Pertukarkanlah dua baris tersebut. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

ELIMINASI GAUSS Langkah-langkah membentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi, yaitu ; Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita menamakan ini 1 utama). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Prosedur untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi seperti langkah diatas dinamakan eliminasi Gauss-Jordan. Sedangkan jika hanya menggunakan prosedur untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris sampai langkah ketiga dinamakan eliminasi Gauss.

SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Sebuah SPL dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol, yakni sistem tersebut mempunyai bentuk : a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0 a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0 . . . am1x1 + am2 x2 + … + amnxn = 0

Tiap – tiap SPL homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1=0,x2=0,…,xn=0 selalu merupakan pemecahan, dan disebut sebagai pemecahan trivial (trivial solution). Sedangkan jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan tak trivial (nontrivial solution).

TEOREMA Sistem Persamaan Linier Homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui daripada banyaknya persamaan selalu mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan.