KONVOLUSI

𝑦 𝑡 bukan perkalian 𝑥 𝑡 dengan ℎ(𝑡) Konvolusi 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ(𝑡) 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 .𝑦 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 Secara visual konvolusi berarti Cerminkan ℎ(𝜏) Geser ℎ(𝜏) untuk seluruh nilai 𝑡 yang mungkin, sampai melewati 𝑥 𝑡 Dari rumus konvolusi di atas, proses konvolusi berarti : Pencerminan Pergeseran Perkalian  𝑥 𝜏 .𝑦 𝑡−𝜏 Penjumlahan (Integral) 𝑦 𝑡 bukan perkalian 𝑥 𝑡 dengan ℎ(𝑡) 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 .𝑦 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

Sifat-sifat Konvolusi Komutatif 𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 =ℎ 𝑡 ∗𝑥(𝑡) Distributif 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 1 𝑡 + ℎ 2 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ ℎ 1 𝑡 +𝑥 𝑡 ∗ ℎ 2 𝑡 Asosiatif 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 1 𝑡 ∗ ℎ 2 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ ℎ 1 𝑡 * ℎ 2 𝑡

Contoh 1 * 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 𝑥(𝑡) ℎ(𝑡) 𝑡 𝑡 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 .ℎ 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 1 2 1 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 * 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 .ℎ 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

Cerminkan salah satu sinyal. Geser ℎ(𝜏) untuk seluruh nilai 𝑡 yang mungkin sampai melewati 𝑥(𝑡), rentan 𝑡 dari −∞ 𝑠.𝑑 ∞ sesuai batas integral. 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 1 2 ℎ(−𝜏) 𝜏 -1 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 … …

Karena hasil kali kedua buah sinyal = nol Untuk 𝑡<0 𝑦 𝑡 =0 Karena hasil kali kedua buah sinyal = nol 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 t-1 t 3

Untuk 0≤𝑡<1 𝑦 𝑡 = 0 𝑡 1.2 𝑑𝑡 =2𝑡 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 Yang menjadi batas atas dan batas bawah integral adalah irisan domain waktu dua buah sinyal t-1 t 3 4

Untuk 1≤𝑡<2 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 𝑡 1.2 𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑡−1 𝑡 =2𝑡− 2𝑡−2 =2 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 1 2 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 𝑡 1.2 𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑡−1 𝑡 =2𝑡− 2𝑡−2 =2 1 2 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 t-1 t 3 4

Untuk 2≤𝑡<3 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 2 1.2 𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑡−1 2 =2.2− 2𝑡−2 =6−2𝑡 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 2 1.2 𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑡−1 2 =2.2− 2𝑡−2 =6−2𝑡 1 2 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 t-1 t 3 4

Untuk t≥3 𝑦 𝑡 =0 1 2 ℎ(𝑡−𝜏) 𝑡 t-1 t 3 4

𝑦(𝑡) Sehingga: 0 ; t < 0 2t ; 0  t < 1 2 ; 1  t < 2 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 Sehingga: 0 ; t < 0 2t ; 0  t < 1 2 ; 1  t < 2 6t – 2 ; 2 t < 3 0 ; t ≥ 3 y(t) =

Karena pada konvolusi bersifat komutatif, maka Contoh 2 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 -1 -2 1 2 𝑥(𝑡) 𝑡 Karena pada konvolusi bersifat komutatif, maka

Misal pada kasus diatas sinyal yang dicerminkan adalah x(t) 1 Misal pada kasus diatas sinyal yang dicerminkan adalah x(t) 1 2 𝑥(𝑡) 𝑡 1 2 𝑥(𝜏) 𝜏 -1 -2 1 2 𝑥(𝜏) 𝑡 2 Geser x(τ) untuk seluruh nilai t yang mungkin sampai melalui h(t) Rentang t dari - s.d  (sesuai batas integral) . . . . . .

“Hasil kali kedua sinyal = nol” untuk t < 0 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 -3 y(t) = 0 “Hasil kali kedua sinyal = nol” t t-2

untuk 0  t < 1 𝑦(𝑡) 𝑡 Catatan: 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 -3 t t-2 Catatan: Yang menjadi batas atas dan bawah integral adalah irisan domain waktu dua buah sinyal

untuk 1  t < 2 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 -3 t t-2

untuk 2  t < 3 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 -3 t t-2

“Hasil kali kedua sinyal = nol” untuk t ≥ 3 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 -3 y(t) = 0 “Hasil kali kedua sinyal = nol” t t-2

𝑦(𝑡) Sehingga: 0 ; t < 0 -2t ; 0  t < 1 -2 ; 1  t < 2 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 Sehingga: 0 ; t < 0 -2t ; 0  t < 1 -2 ; 1  t < 2 2t – 6 ; 2 t < 3 0 ; t ≥ 3 y(t) =

Contoh 3 * 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 𝑥(𝑡) ℎ(𝑡) 𝑡 𝑡 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ ℎ 𝜏 .𝑥 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 1 2 1 1 2 ℎ(𝑡) 𝑡 -1 -2 * 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ ℎ 𝜏 .𝑥 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

Cerminkan salah satu sinyal. Geser 𝑥(𝜏) untuk seluruh nilai 𝑡 yang mungkin sampai melewati ℎ(𝑡), rentan 𝑡 dari −∞ 𝑠.𝑑 ∞ sesuai batas integral. 1 2 𝑥(𝑡) 𝑡 1 2 𝑥(−𝜏) 𝜏 -1 1 2 𝑥(𝑡) 𝑡 … …

Untuk 𝑡<−1 𝑦(𝑡) 𝑦 𝑡 =0 Karena hasil kali dua buah sinyal = nol 𝑡 3 3 -1 -2 1 2 𝑦(𝑡) 𝑦 𝑡 =0 Karena hasil kali dua buah sinyal = nol t-1 t

Untuk −1≤𝑡<0 𝑦 𝑡 = −1 𝑡 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 −1 𝑡 𝑦(𝑡) 𝑦 𝑡 = −1 𝑡 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 −1 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑡 2 − −1 2 = 𝑡 2 −1 𝑡 3 -1 -2 1 2 𝑦(𝑡) t-1 t

Untuk 0≤𝑡<1 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 𝑡 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑡−1 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑡 2 − 𝑡−1 2 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 𝑡 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑡−1 𝑡 = 𝑡 2 − 𝑡−1 2 = 𝑡 2 − 𝑡 2 +2𝑡−1 𝑦 𝑡 =2𝑡−1 𝑡 3 -1 -2 1 2 𝑦(𝑡) t-1 t

Untuk 1≤𝑡<2 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 1 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑡−1 1 𝑦(𝑡) =1− 𝑡−1 2 𝑦 𝑡 = 𝑡−1 1 2.𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑡−1 1 =1− 𝑡−1 2 =1− 𝑡 2 +2𝑡−1 𝑦 𝑡 =− 𝑡 2 +2𝑡 𝑡 3 -1 -2 1 2 𝑦(𝑡) t-1 t

Untuk 𝑡≥2 𝑦(𝑡) 𝑦 0 =0 Karena hasil kali dua buah sinyal = nol 𝑡 3 -1 3 -1 -2 1 2 𝑦(𝑡) 𝑦 0 =0 Karena hasil kali dua buah sinyal = nol t-1 t

𝑦(𝑡) Sehingga: 0 ; 𝑡<−1 𝑡 2 −1 ; −1≤𝑡<0 2𝑡−1 ; 0≤𝑡<1 3 2 4 1 𝑦(𝑡) 𝑡 -1 -2 0.5 Sehingga: 0 ; 𝑡<−1 𝑡 2 −1 ; −1≤𝑡<0 2𝑡−1 ; 0≤𝑡<1 − 𝑡 2 +2𝑡 ; ≤𝑡<2 0 ; 𝑡≥2 y(t) =