Nonparametrik: Data Peringkat II Bab 13B Nonparametrik: Data Peringkat II

NONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT II ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B NONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT II A. Pendahuluan 1. Data Statistika Dua kelompok data digabungkan dan disusun dalam satu peringkat Peringkat yang dimiliki tiap kelompok dipisahkan dan dijumlahkan Jumlah peringkat ini dijadikan dasar untuk pengujian hipotesis

Pengujian hipotesis dilakukan pada satu sampel atau sampel berpasangan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ----------------------------------------------------------------------------- 2. Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis dilakukan pada satu sampel atau sampel berpasangan Satu sampel atau sampel berpasangan (selisih sampel berpasangan menghasilkan satu sampel) Pengujian hipotesis dikenal sebagai uji Wilcoxon (satu sampel atau sampel berpasangan) Pengujian hipotesis dilakukan pada dua sampel independen Dua sampel independen Pengujian hipotesis dikenal sebagai uji U atau uji Mann-Whitney

B. Uji Wilcoxon Satu Sampel 1. Tujuan Pengujian Hipotesis ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ B. Uji Wilcoxon Satu Sampel 1. Tujuan Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis dilakukan terhadap median, apakah median sama dengan suatu nilai tertentu M > M0 M < M0 M ≠ M0 Pengujian dapat juga dilakukan terhadap rerata (walaupun pengujian rerata dapat dilakukan secara parametrik), apakah rerata sama dengan suatu nilai tertentu  > 0  < 0  ≠ 0 Dua kelompok data terbentuk dari kelompok data di atas median (atau rerata) dan kelompok data di bawah median (atau rerata)

2. Pembentukan Peringkat ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Pembentukan Peringkat Data X dikelompokkan berdasarkan letak mereka pada X  M0 atau X  0 Kelompok di atas diberi tanda + dan kelompok di bawah diberi tanda  (sama adalah 0, diabaikan) Data 10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16 Median M0 = 12,5 Data Simpangan Data Simpangan X X  M0 X X  M0 10  2,5 9  3,5 13 0,5 12  0,5 14 1,5 9  3,5 13 0,5 11  1,5 15 2,5 13 0,5 11  1,5 16 3,5 10  2,5

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat Urutan Pering- Pering- Tanda peringkat simpang kat se- kat +  an mentara 0,5 1 2,5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0,5 3 2,5 2,5  0,5 4 2,5 2,5 1,5 5 6 6  1,5 6 6 6  1,5 7 6 6  2,5 8 9 9 2,5 9 9 9  2,5 10 9 9  3,5 11 12 12  3,5 12 12 12 3,5 13 12 12 34,5 56,5 J+ J

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 1 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut 99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125 Untuk median M0 = 107 Data simpangan Data simpangan X X  107 X X  107 99  8 119 + 12 100  7 104  3 90  17 127 + 20 94  13 109 + 2 135 + 28 117 + 10 108 + 1 105  2 107 0 125 + 18 111 + 4

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat Urutan Pering- Pering- Tanda peringkat simpang kat se- kat +  an mentara 1 1 1 1 2 2 2,5 2,5  2 3 2,5 2,5  3 4 4 4 4 5 5 5  7 6 6 6  8 7 7 7 10 8 8 8 12 9 9 9  13 10 10 10  17 11 11 11 18 12 12 12 20 13 13 13 28 14 14 14 64,5 40,5 J+ J

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap median M0 = 3,50 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap median M0 = 3,50 1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,75 3,25 3,10 2,70 3,00 Contoh 3 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap median M0 = 97,5 93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6 Contoh 4 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap rerata 0 = 8,41 8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap rerata 0 =30 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 5 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap median M0 = 163,5 188,0 211,2 170,8 212,4 156,9 223,1 235,9 183,9 214,4 221,0 162,0 222,8 174,1 210,3 195,2 Contoh 6 Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap rerata 0 =30 23,8 26,0 26,9 27,4 28,0 30,3 30,7 31,2 31,3 32,8 33,2 33,9 34,3 34,9 35,0 35,9 36,1 36,4 36,6 37,2 37,3 37,9 38,2 39,6 40,6 41,1 42,3 42,8 44,0 45,8

Hitung jumlah peringkat pada sampel data terhadap rerata 0 = 60 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 7 Hitung jumlah peringkat pada sampel data terhadap rerata 0 = 60 61,38 62,55 60,40 59,48 60,77 62,06 61,10 60,53 56,36 66,63 63,45 65,48 60,03 64,93 64,50 62,65 59,38 67,70 66,13 66,56 65,47 66,40 62,46 58,58 57,75 67,33 61,62 57,40 58,02 60,93 61,42 55,77 45,33 73,36 75,40 48,82 43,35 69,57 77,33 53,50 50,88 49,32 49,88 68,88 71,68 46,28 54,65 72,98 72,08

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 8 Hitung jumlah peringkat pada sampel data berikut terhadap median M0 = 31,45 25,20 26,00 26,80 26,85 26,95 27,00 27,15 27,65 27,75 27,80 27,95 28,50 28,60 28,65 28,70 28,75 28,75 28,80 28,80 28,90 28,95 29,10 29,55 30,40 30,50 30,55 30,70 31,45 32,25 32,30 32,55 33,10 33,10 33,20 33,25 33,35 33,40 33,90 34,20 34,30 34,35 34,50 34,75 34,85 34,90 35,00 35,05 36,10 36,65 37,70 38,80 39,35 39,90 40,45 41,00

Kalau J+ dan J- tidak seimbang (sampai batas tertentu) maka H0 ditolak ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 3. Pengujian Hipotesis Jika median atau rerata adalah seperti H0 maka jumlah J+ dan J- adalah seimbang Kalau J+ dan J- tidak seimbang (sampai batas tertentu) maka H0 ditolak Pada sampel besar (n > 25) distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilias normal Pendekatan ke distribusi probabilitas normal ini dibagi lagi untuk tanpa peringkat sama dan untuk dengan peringkat sama Pada sampel kecil (n  25) terdapat tabel khusus untuk nilai kritis pengujian hipotesis

4. Uji Hipotesis Sampel Besar Tanpa Peringkat Sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 4. Uji Hipotesis Sampel Besar Tanpa Peringkat Sama Jika median atau rarata seperti pada H0 maka jumlah J+ dan J- adalah seimbang Keseimbangan ini ditentukan oleh jarak ke rerata berdasarkan kekeliruan baku Jika median (atau rerata) lebih dari M0 (atau 0) maka J+ akan besar dan J- akan kecil Jika median (atau rerata) kurang dari M0 (atau 0) maka J- akan besar dan J+ akan kecil Batas besar atau kecil ditentukan oleh nilai kritis pada distribusi probabilitas normal untuk taraf signifikansi tertentu

Rerata dan kekeliruan baku ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Rerata dan kekeliruan baku Rerata Kekeliruan baku

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 9 Pada taraf signifikansi 0,05, diuji apakah median lebih dari 100, diperoleh data sampel n = 30 J+ = 363 J- = 102 Peringkat +  Peringkat +  1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 4 4 19 19 5 5 20 20 6 6 21 21 7 7 22 22 8 8 23 23 9 9 24 24 10 10 25 25 11 11 26 26 12 12 27 27 13 13 28 28 14 14 29 29 15 15 30 30 363 102

Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Hipotesis H0 : M = 100 H1 : M > 100 Sampel n = 30 J+ = 363 J- = 102 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal Rerata Kekeliruan baku

Di sini kita menggunakan J+ ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik uji Di sini kita menggunakan J+ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 10 Pada taraf signifikansi 0,05, uji X > 30 apabila sampel adalah seperti pada contoh 6 Contoh 11 Pada taraf signifikansi 0,05, uji X > 60 apabila sampel adalah seperti pada contoh 7 Contoh 12 Pada taraf signifikansi 0,05, uji M0 < 500, jika sampel acak menunjukkan n = 35 J+ = 210 J- = 420

5. Uji Hipotesis Sampel Besar dengan Peringkat Sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ----------------------------------------------------------------------------- 5. Uji Hipotesis Sampel Besar dengan Peringkat Sama Diperlukan koreksi peringkat sama pada kekeliruan baku Selain koreksi ini, pengujian hipotesis adalah sama seperti pada kasus tanpa peringkat sama Koreksi peringkat sama untuk setiap peringkat sama Pada peringkat sama terdapat t data Koreksi Kekeliruan baku menjadi

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05, diuji M0 ≠ 100, dengan sampel menunjukkan peringkat sebagai berikut Peringkat +  Peringkat +  1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 5 5 20 20 5 5 20 20 5 5 20 20 7 7 22 22 8 8 23 23 9,5 9,5 24 24 9,5 9,5 25,5 25,5 11 11 25,5 25,5 12 12 27 27 13,5 13,5 28 28 13,5 13,5 29 29 15 15 30 30 289 139 J+ J-

Distribusi probabilitas pensampelan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Hipotesis H0 : M = 100 H1 : M ≠ 100 Sampel n = 30 J+ = 289 J- = 139 Distribusi probabilitas pensampelan Didekatkan ke distribusi probabilitas normal Koreksi peringkat sama Peringkat t (t3 – t) / 48 5 3 0,5 9,5 2 0,125 13,5 2 0,125 20 3 0,5 25,5 2 0,125 Σ T = 1,375

Rerata Kekeliruan baku Statistik uji ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Rerata Kekeliruan baku Statistik uji

Tolak H0 jika z <  1,960 atau z > 1,960 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujung Nilai kritis z(0,025) =  1,960 z(0,975) = 1,960 Tolak H0 jika z <  1,960 atau z > 1,960 Terima H0 jika 1,960  z  1,960 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0 Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis X ≠ 60 untuk data pada contoh 8

5. Uji Hipotesis Sampel Kecil Sampel adalah kecil jika n  25 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 5. Uji Hipotesis Sampel Kecil Sampel adalah kecil jika n  25 Makin tidak seimbang nilai J+ dan nilai J- makin jauh kita dari H0 Sampai pada ketidakseimbangan tertentu, kita menolak H0 Ada dua kemungkinan untuk menentukan batas yakni nilai besar atau nilai kecil Disediakan tabel nilai kritis khusus untuk J, yakni nilai yang terkecil di antara J+ dan J- Kriteria pengujian adalah Tolak H0 jika J < Jtabel Terima H0 jika J  Jtabel

Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon n  = 0,01  = 0,05 6 -- 0 7 -- 2 8 0 4 9 2 6 10 3 8 11 5 11 12 7 14 13 10 17 14 13 21 15 16 25 16 20 30 17 23 35 18 28 40 19 32 46 20 38 52 21 43 59 22 49 66 23 55 73 24 61 81 25 68 89

Dari contoh 1, ditemukan bahwa n = 15 J+ = 64,5 J- = 40,5 J = 40,5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 15 Dari sampel pada contoh 1, uji hipotesis M ≠ 107 pada taraf signifikansi 0,05 Hipotesis H0 : M = 107 H1 : M ≠ 107 Sampel Dari contoh 1, ditemukan bahwa n = 15 J+ = 64,5 J- = 40,5 J = 40,5 Kriteria pengujian Dari tabel diperoleh Jtabel = 25 Tolak H0 jika J < 25 Terima H0 jika J  25 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 16 Dengan data pada contoh 2, uji hipotesis M ≠ M0 pada taraf signifikansi 0,05 Contoh 17 Dengan data pada contoh 3, uji hipotesis M ≠ M0 pada taraf signifikansi 0,05 Contoh 18 Dengan data pada contoh 4, uji hipotesis  ≠ 0 pada taraf signifikansi 0,05 Contoh 19 Dengan data pada contoh 5, uji hipotesis M ≠ M0 pada taraf signifikansi 0,05

C. Uji Wilcoxon Sampel Berpasangan 1. Pendahuluan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ C. Uji Wilcoxon Sampel Berpasangan 1. Pendahuluan Sampel berpasangan berarti bahwa setiap data di dalam sampel adalah berpasangan Misal Harga Toko A Toko B beras Xberas Yberas gula Xgula Ygula sabun Xsabun Ysabun Nilai pasangan sampel dikurangi satu dari lainnya maka diperoleh satu nilai selisih Selanjutnya nilai selisih ini dapat diperlakukan seperti pada uji Wilconxon satu sampel

Misal apakah harga di Toko A sama dengan harga di Toko B ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Pengujian Hipotesis Tujuan pengujian hipotesis adalah menguji apakah distribusi populasi berpasangan itu sama atau tidak sama Misal apakah harga di Toko A sama dengan harga di Toko B Kesamaan distribusi populasi ini dilakukan dengan mencari selisih mereka secara berpasangan Selisih data berpasangan ini digunakan untuk pengujian hipotesis Karena selisih hanya terdiri atas satu sampel maka pengujian hipotesis dilakukan melalui uji Wilcoxon satu sampel yakni melalui Uji sampel besar tanpa peringkat sama Uji sampel besar dengan peringkat sama Uji sampel kecil

H0 : Distribusi populasi X dan Y sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 20 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan populasi Y apabila 30 pasangan sampel acak adalah X 17 16 21 14 17 20 21 19 23 16 Y 19 16 21 13 17 20 17 15 22 15 X 25 16 20 19 17 20 20 17 23 25 Y 20 13 15 16 18 19 21 12 15 23 X 19 21 17 19 24 28 24 18 21 19 Y 17 19 20 21 23 24 16 16 18 20 Hipotesis H0 : Distribusi populasi X dan Y sama H1 : Distribusi populasi X dan Y tidak sama

Dengan d, pengujian selanjutnya mengikuti uji Wilcoxon satu sampel ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Sampel X Y d X Y d 17 19  2 20 19 1 16 16 0 20 21  1 21 21 0 17 12 5 14 13 1 23 15 8 17 17 0 25 23 2 20 20 0 19 17 2 21 17 4 21 19 2 19 15 4 17 20  3 23 22 1 19 21  2 16 15 1 24 23 1 25 20 5 28 24 4 16 13 3 24 16 8 20 15 5 18 16 2 19 16 3 21 18 3 17 18  1 19 20  1 Dengan d, pengujian selanjutnya mengikuti uji Wilcoxon satu sampel

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 21 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan Y untuk sampel X 69,9 46,0 63,7 55,9 53,9 72,9 53,9 36,5 Y 49,9 45,9 47,5 57,9 47,1 50,3 36,7 31,4 Contoh 22 X 6,3 3,6 4,5 6,3 5,7 4,7 4,8 5,6 6,6 5,5 Y 6,4 3,4 4,8 6,6 5,4 5,8 5,1 6,2 6,1 6,8 X 5,8 4,0 5,4 3,1 4,2 Y 6,3 4,7 6,8 4,4 4,8

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 23 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan Y untuk sampel X 1160 1870 1980 1520 3155 1485 1150 Y 1500 2220 2080 2160 3040 2030 1370 X 1740 3260 4950 1440 1770 2850 2860 Y 2370 4060 5070 1680 1750 3730 3430 X 1530 3770 2260 3370 2570 2810 Y 1570 3750 2840 3500 2640 3260

D. Uji U Mann-Whitney pada Dua Sampel Independen 1. Pendahuluan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ D. Uji U Mann-Whitney pada Dua Sampel Independen 1. Pendahuluan Pengujian dilakukan dengan data jumlah peringkat seperti pada uji Wilconxon Pengujian dilakukan pada dua populasi independen untuk kesamaan median (atau rerata) Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun dalam satu peringkat Peringkat untuk X dan Y dipisahkan dan masing-masing dijumlahkan sebagai jumlah peringkat Dari jumlah peringkat ini dihitung statistik U yang digunakan untuk pengujian hipotesis

Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Jumlah Peringkat dan Statistik U Sampel data X dan sampel data Y digabung dan disusun ke dalam peringkat Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX Peringkat untuk Y dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wY Dengan wX dan wy dihitung statistik uji UX, UY, dan dalam hal tertentu statistik U Statistik U digunakan untuk pengujian hipotesis pada taraf signifikansi tertentu

Sampel X dan Y adalah sebagai berikut X 1,9 0,5 2,8 3,1 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 24 Sampel X dan Y adalah sebagai berikut X 1,9 0,5 2,8 3,1 Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9 Digabung dan disusun ke dalam peringkat dan dipilah Asal Data Peringkat Per X Per Y X 0,5 1 1 Y 0,9 2 2 Y 1,4 3 3 X 1,9 4 4 Y 2,1 5 5 X 2,8 6 6 X 3,1 7 7 Y 4,6 8 8 Y 5,3 9 9 18 27 wX wY

Hitunglah wX dan UX serta wY dan UY pada sampel berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik U nX = 4 wX = 18 nY = 5 wY = 27 Contoh 25 Hitunglah wX dan UX serta wY dan UY pada sampel berikut X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 15 18 14 22 25 16 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 26 Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 15 18 14 22 25 16 Y 23 11 26 24 17 19 15 Contoh 27 X 43 38 39 44 53 42 55 47 Y 41 40 52 48 46 51 57 45 Contoh 28 X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 29 Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 22,1 24,0 26,3 25,4 24,8 23,7 26,1 23,3 Y 24,1 20,6 23,1 22,5 24,0 26,2 21,6 22,2 21,9 25,4 Contoh 30 X 34 28 46 42 56 85 48 25 37 49 Y 43 49 41 55 39 45 65 50 47 51 Contoh 31 X 102 114 127 111 122 108 117 115 Y 105 114 120 124 132 118 125 125 123

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 32 Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 64 59 47 74 48 55 48 71 59 63 64 Y 73 58 55 72 64 62 63 72 49 55 Contoh 33 X 63 86 60 29 81 38 27 10 16 46 25 32 72 45 73 39 91 Y 50 78 44 49 41 82 31 55 58 79 66 23 88 37 51 13 43 54 48 83 26 74 63 Contoh 34 X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20 Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30 90 80 50 30 66 83

Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 35 Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini X 14,8 7,3 5,6 6,3 9,0 4,2 10,6 12,5 12,9 16,1 11,4 2,7 Y 12,7 14,2 12,6 2,1 17,7 11,8 16,9 7,9 16,0 10,6 5,6 5,6 7,6 11,3 8,3 6,7 3,6 1,0 2,4 6,4 9,1 6,7 18,6 3,2 6,2 6,1 15,3 10,6 1,8 5,9 9,9 10,6 14,8 5,0 2,6 4,0 Contoh 36 X 652 556 618 500 500 526 511 538 440 547 605 500 437 481 572 589 605 436 724 515 552 722 778 677 680 428 Y 876 556 493 348 530 780 569 546 766 819 710

Hitunglah w dan U dari sampel berikut ini ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 37 Hitunglah w dan U dari sampel berikut ini X 6 7 7 7 7 7 8 8 9 10 10 10 10 12 12 13 Y 6 8 8 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 17

Kategori (1) 1 menggunakan tabel khusus langsung ke nilai probabilitas ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 3. Pengujian hipotesis Bergantung kepada ukuran sampel, pengujian hipotesis dipilah menjadi tiga kategori (1) nterbesar  8 (2) 9  nterbedar  20 (3) nterbesar > 20 Kategori (1) 1 menggunakan tabel khusus langsung ke nilai probabilitas Kategori (2) menggunakan tabel khusus Kategori (3) menggunakan distribusi probabilitas pensampelan yang didekatkan ke distribusi probabilitas normal

4. Uji Hipotesis pada n > 20 Tanpa Peringkat Sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 4. Uji Hipotesis pada n > 20 Tanpa Peringkat Sama Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilitas normal dengan Rerata Kekeliruan baku Rarata U terletak sama jauh dari Ux dan UY sehingga pengujian hipotesis dapat menggunakan U yang besar untuk pengujian pada ujung atas U yang kecil untuk pengujian pada ujung bawah

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 38 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel acak Asal Peringkat Per X Per Y X 1 1 Y 2 2 Y 3 3 Y 4 4 X 5 5 Y 6 6 Y 7 7 Y 8 8 Y 9 9 Y 10 10 Y 11 11 Y 12 12 X 13 13 Y 14 14 Y 15 15 Y 16 16 Y 17 17 Y 18 18

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Asal Peringkat Per X Per Y X 19 19 Y 20 20 X 21 21 Y 22 22 X 23 23 Y 24 24 X 25 25 Y 26 26 X 27 27 Y 28 28 Y 29 29 Y 30 30 wX = 134 wY = 331 UX = 134 – (8)(9) / 2 = 98 UY = 331 – (22)(23) / 2 = 78

H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 8 wX = 134 UX = 98 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Hipotesis H0 : Populasi X dan Y sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 8 wX = 134 UX = 98 nY = 22 wY = 331 UY = 78 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal dengan Rerata Kekeliruan baku

Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0 (Catatan: pengujian dapat juga dilakukan pada ujung bawah dengan mengambil Ukecil)

Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 5. Uji Hipotesis pada n > 20 dengan Peringkat Sama Adanya peringkat sama menyebabkan dilakukannya koreksi karena peringkat sama Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi Kekeliruan baku mengalamai koreksi sehingga menjadi

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 39 Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 33 Contoh 40 Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 34 Contoh 41 Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 35 Contoh 42 Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 36 Contoh 43 Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 37

6. Uji Hipotesis pada Ukuran Sampel 9  nbesar  20 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 6. Uji Hipotesis pada Ukuran Sampel 9  nbesar  20 Dasar pengujian hipotesis adalah sama dengan pengujian pada sampel besar Hipotesis H0 menunjukkan bahwa ada keseimbangan di antara UX dan UY Jika salah satu U terlalu besar, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak Jika salah satu U terlalu kecil, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak Batas ini disusun dalam tabel nilai kritis sebagai kriteria pengujian hipotesis Batas yang ditabelkan adalah U yang kecil sehingga dalam pengujian hipotesis ini U adalah nilai terkecil di antara UX dan UY

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,001 pada satu ujung atau  = 0,002 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 3 5 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 6 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 8 5 6 8 9 11 12 14 15 17 18 20 21 9 7 8 10 12 14 15 17 19 21 23 25 26 10 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 32 11 10 12 15 17 20 22 24 27 29 32 34 37 12 12 14 17 20 23 25 28 31 34 37 40 42 13 14 17 20 23 26 29 32 35 38 42 45 48 14 15 19 22 25 29 32 36 39 43 46 50 54 15 17 21 24 28 32 36 40 43 47 51 55 59 16 19 23 27 31 35 39 43 48 52 56 60 65 17 21 25 29 34 38 43 47 52 57 61 66 70 18 23 27 32 37 42 46 51 56 61 66 71 76 19 25 29 34 40 45 50 55 60 66 71 77 82 20 26 32 37 42 48 54 59 65 70 76 82 88

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,01 pada satu ujung atau  = 0,02 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 7 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 7 9 11 12 14 16 17 19 21 23 24 26 28 8 11 13 15 17 20 22 24 26 28 30 32 34 9 14 16 18 21 23 26 28 31 33 36 38 40 10 16 19 22 24 27 30 33 36 38 41 44 47 11 18 22 25 28 31 34 37 41 44 47 50 53 12 21 24 28 31 35 38 42 46 49 53 56 60 13 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 14 26 30 34 38 43 47 51 56 60 65 69 73 15 28 33 37 42 47 51 56 61 66 70 75 80 16 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 82 87 17 33 38 44 49 55 60 66 71 77 82 88 91 18 36 41 47 53 59 65 70 76 82 88 94 100 19 38 44 50 56 63 69 75 82 88 94 101 107 20 40 47 53 60 67 73 80 87 93 100 107 114

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,025 pada satu ujung atau  = 0,05 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney = 0,05 pada satu ujung atau  = 0,10 pada dua ujung n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25 6 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 10 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 42 48 54 60 65 71 77 83 89 92 101 107 17 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 44 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y, pada sampel acak yang berbentuk peringkat berikut Asal Peringkat Per X PerY Y 1 1 X 2 2 Y 3 3 X 4 4 Y 5 5 X 6 6 Y 7 7 Y 8 8 X 9 9 Y 10 10 X 11 11 Y 12 12 Y 13 13 Y 14 14 Y 15 15 Y 16 16 32 104 wX wY

H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 5 wX = 32 nY = 11 wY = 104 Yang terkecil di antaranya dijadikan U U = 17

Dari tabel pada  = 0,05 dua ujung untuk n1 = 5 dan n2 = 11 Utabel = 9 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujung Dari tabel pada  = 0,05 dua ujung untuk n1 = 5 dan n2 = 11 Utabel = 9 Tolak H0 jika U < 9 Terima H0 jika U  9 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 45 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 29 Contoh 46 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 30 Contoh 47 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 31 Contoh 48 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 32

7. Uji Hipotesis pada ukuran Sampel nbesar  8 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ 7. Uji Hipotesis pada ukuran Sampel nbesar  8 Pengujian hipotesis untuk sampel  8 menggunakan tabel nilai kritis khusus Tabel nilai kritis ini telah langsung dihitung dalam bentuk probabilitas P(U) Nilai p ditemukan melalui n1, n2, dan U; di sini U adalah yang terkecil di antara UX dan UY Nilai p langsung dibandingkan dengan taraf signifikansi  dengan Tolak H0 jika P(U) <  Terima H0 jika P(U)  

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 3 n2 = 4 n1 n1 U 1 2 3 U 1 2 3 4 0 0,250 0,100 0,050 0 0,200 0,067 0,028 0,014 1 0,500 0,200 0,100 1 0,400 0,133 0,057 0,029 2 0,750 0,400 0,200 2 0,600 0,267 0,114 0,057 3 0,600 0,350 3 0,400 0,200 0,100 4 0,500 4 0,600 0,314 0,171 5 0,650 5 0,429 0,243 6 0,571 0,343 7 0,443 8 0,557

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 5 n1 U 1 2 3 4 5 0 0,167 0,047 0,018 0,008 0,004 1 0,333 0,095 0,036 0,016 0,008 2 0,500 0,190 0,071 0,032 0,016 3 0,667 0,286 0,125 0,056 0,028 4 0,429 0,196 0,095 0,048 5 0,571 0,286 0,143 0,075 6 0,393 0,206 0,111 7 0,500 0,278 0,155 8 0,607 0,365 0,210 9 0,452 0,274 10 0,548 0,345 11 0,421 12 0,500 13 0,579

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 6 n1 U 1 2 3 4 5 6 0 0,143 0,036 0,012 0,005 0,002 0,001 1 0,286 0,071 0,024 0,010 0,004 0,002 2 0,428 0,143 0,048 0,019 0,009 0,004 3 0,571 0,214 0,083 0,033 0,015 0,008 4 0,321 0,131 0,057 0,026 0,013 5 0,429 0,190 0,086 0,041 0,021 6 0,571 0,274 0,129 0,063 0,032 7 0,357 0,176 0,089 0,047 8 0,452 0,238 0,123 0,066 9 0,548 0,305 0,165 0,090 10 0,381 0,214 0,120 11 0,457 0,268 0,155 12 0,545 0,331 0,197 13 0,396 0,242 14 0,465 0,294 15 0,535 0,350 16 0,409 17 0,469 18 0,531

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n 2 = 7 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 0 0,125 0,028 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 1 0,250 0,056 0,017 0,006 0,003 0,001 0,001 2 0,375 0,111 0,033 0,012 0,005 0,002 0,001 3 0,500 0,167 0,058 0,021 0,009 0,004 0,002 4 0,625 0,250 0,092 0,036 0,015 0,007 0,003 5 0,333 0,133 0,055 0,024 0,011 0,006 6 0,444 0,192 0,082 0,037 0,017 0,009 7 0,556 0,258 0,115 0,053 0,026 0,013 8 0,333 0,158 0,074 0,037 0,019 9 0,417 0,206 0,101 0,051 0,027 10 0,500 0,264 0,134 0,069 0,036 11 0,583 0,324 0,172 0,090 0,049 12 0,394 0,216 0,117 0,064 13 0,464 0,265 0,147 0,082 14 0,538 0,319 0,183 0,104 15 0,378 0,223 0,130

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 7 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 16 0,438 0,267 0,159 17 0,500 0,314 0,191 18 0,562 0,365 0,228 19 0,418 0,267 20 0,473 0,310 21 0,527 0,355 22 0,402 23 0,451 24 0,500 25 0,549

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 8 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,111 0,022 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 1 0,222 0,044 0,012 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 2 0,333 0,089 0,024 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 3 0,444 0,133 0,042 0,014 0,005 0,002 0,001 0,001 4 0,556 0,200 0,067 0,024 0,009 0,004 0,002 0,001 5 0,267 0,097 0,036 0,015 0,006 0,003 0,001 6 0,356 0,139 0,055 0,023 0,010 0,005 0,002 7 0,444 0,188 0,077 0,033 0,015 0,007 0,003 8 0,556 0,248 0,107 0,047 0,021 0,010 0,005 9 0,315 0,141 0,064 0,030 0,014 0,007 10 0,387 0,184 0,085 0,041 0,020 0,010 11 0,461 0,230 0,111 0,054 0,027 0,014 12 0,539 0,285 0,142 0,071 0,036 0,019 13 0,341 0,177 0,091 0,047 0,025 14 0,404 0,217 0,114 0,060 0,032 15 0,467 0,262 0,141 0,076 0,041 16 0,533 0,311 0,172 0,095 0,052

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney n2 = 8 n1 U 1 2 3 4 5 6 7 8 17 0,362 0,207 0,116 0,065 18 0,416 0,245 0,140 0,080 19 0,472 0,286 0,168 0,097 20 0,528 0,331 0,198 0,117 21 0,377 0,232 0,139 22 0,426 0,268 0,164 23 0,475 0,306 0,191 24 0,525 0,347 0,221 25 0,389 0,253 26 0,433 0,287 27 0,478 0,323 28 0,522 0,360 29 0,399 30 0,439 31 0,480 32 0,520

H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama ------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 49 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 24 Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel Dari contoh 24 diketahui nx = 4, nY = 5, wX = 18, wY = 27, Ux = 8, UY = 12 sehingga U = 8

Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 13B ----------------------------------------------------------------------------- Kriteria pengujian Taraf signifkansi  = 0,05 Dari tabel n2 = 5, n1 = 4, dan U = 8, ditemukan bahwa P(U) = 0,365 P(U) > 0,05 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0 Contoh 50 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 25

------------------------------------------------------------------------------ Bab 13B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 51 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 26 Contoh 52 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 27 Contoh 53 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 28