MATEMATIKA BISNIS BY : ERVI COFRIYANTI

BAB 1. HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek dan didefinisikan dgn jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Simbol himpunan : A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z (dengan huruf kapital) Simbol anggota suatu himpunan : a, b, c, p, q, r, x, y atau z.

Penulisan Matematis (Notasi) : p ∈ A berarti obyek p merupakan anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A p ∉ A berarti obyek p BUKAN anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A

PENYAJIAN HIMPUNAN : Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam cara yaitu : 1. Cara daftar 2. Cara kaidah

Cara daftar : Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Contoh : HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4}

Cara Kaidah : Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut . Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘ | ‘ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = {x | x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebgai B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama dengan 8} B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≤8} yang ekuivalen dengan B = {2, 4, 6, 8}

JENIS-JENIS HIMPUNAN : Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Simbol himpunan semesta : S atau U. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : ∅ atau { } Contoh : E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0

JENIS-JENIS HIMPUNAN : Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A Notasi : A ⊆ B Contoh : {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3} A = {p, q, r} bukan himpunan bagian dari B = {m, p, q, t, u} karena r ∈ A tetapi r ∉ B

JENIS-JENIS HIMPUNAN : Himpunan yang Sama Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap B merupakan elemen A. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak sama dengan B. Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh Himpunan yang Sama dan Tidak Sama : Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x-1) = 0}, maka A = B Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = B Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

JENIS-JENIS HIMPUNAN : 5. Himpunan yang saling lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Contoh : Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30,…}, maka A // B

OPERASI HIMPUNAN : 1. Gabungan (Union) A U B = {x| x Є A atau x Є B} 2. Irisan (Intersection) A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B} 3. Selisih A - B = A|B {x| x Є A tetapi x Є B} 4. Pelengkap (Complement) Ā atau Ac= {x| x Є U tetapi x Є A} = U – A

DIAGRAM VENN : Gabungan ( A U B ) U B A Irisan U A B

DIAGRAM VENN : Selisih ( A – B = A|B ) A B U Pelengkap / complement (Ac atau Ā) A U B

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Latihan Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā