11. MOMENTUM SUDUT

11.1 Besar Momentum Sudut Momentum sudut (angular momentum), disimbolkan dengan ℓ , merupakan besaran vektor . Gambar 11.1 menunjukkan sebuah partikel dengan momentum linier p = mv diletakkan pada titik P pada bidang xy. Momentum sudut ℓ dari partikel tersebut terhadap titik asal O didefinisikan sebagai ℓ = r x p = m(r x v) (11.1) dimana r adalah vektor posisi dari partikel terhadap titik asal O. Besar dari momentumn sudut ℓ = r p sin = r m v sin (11.2)

 Massa m P r p p ℓ = r x p z y x (a) P r p  ℓ = r x p z y x r (b) Gambar 11.1 Dari Gambar 11.1a, persamaan (11.2) dapat ditulis menjadi ℓ = r p = r m v (11.3) atau ℓ = r p = r m v (11.4) Besaran r adalah jarak tegak lurus antara titik asal dengan perpanjangan momentum linier p (Gambar 11.1b).

11.2 Hukum Newton II dalam Bentuk Sudut (Angular) Hukum II Newton dapat ditulis dalam bentuk (11.5) Persamaan (11.5) berlaku untuk satu partikel. Differensiasi persamaan (11.1), didapat (11.6)

Karena dv/dt adalah percepatan partikel, a, dan dr/dt adalah kecepatan, v, maka pers. (11.6) dapat ditulis menjadi Karena v x v dengan nol, maka (11.7) Dari Hukum Newton, F = m a, sehingga (11.8) r x F adalah torsi yang dihasilkan oleh gaya F, maka persamaan (11.9) dapat ditulis menjadi (11.9)

11.3 Momentum Sudut untuk Sistem partikel Gerak dari suatu sistem partikel adalah gerak dari beberapa partikel termasuk termasuk benda tegar. Momentum sudut total L dari sistem partikel adalah jumlah vektor dari masing-masing momentum sudut partikel, atau (11.10) (11.11)

Dari persamaan (11.9) , sehingga (11.12) Torsi yang terjadi pada sistem partikel berasal dari gaya internal dan eksternal. Torsi yang berasal dari gaya internal partikel saling meniadakan (hukum Newton tentang aksi dan reaksi), sehingga hanya torsi yang berhubungan dengan gaya luar yang diperhitungkan, sehingga persamaan (11.2) menjadi, (11.13)

Tabel 11.1 Relasi antara garak translasi and rotasi Gerak Translasi Gerak Rotasi Gaya F Torsi  (= r x F) Momentum Linier p Momentum Sudut ℓ (= r x F) Momentum Linier b P (= pi) Momentum Sudut b L(= ℓn) P = M vcm Momentum Sudut c L = I Hukum Newton b Fext = dP/dt ext = dL/dt Hukum Kekekalan d P = konstan L = konstan b Untuk sistem partikel dan benda tegar c Untuk benda tegar di sekitar sumbu tetap dan L adalah komponen sepanjang sumbu d Untuk sistem yang diisolasi

Contoh 11.1 Sebuah pesawat udara dengan massa 1200 kg, terbang dengan ketinggian 1,3 km, dan kecepatan 80 m/s searah garis lurus. Berapakah besar momentum sudut pesawat terhadap titik di bawahnya? Diketahui m = 1200 kg; r = 1,3 km = 1300 m; v = 80 m/s;  = 900 Ditanya ℓ Penyelesaian Dari persamaan (11.2) ℓ = r p sin = r m v sin = (1300 m)(1200 kg)(80 m/s)(sin 900) = 1248 x 105 kg.m2/s

Dua buah objek bergerak seperti gambar berikut. Contoh 11.2 Dua buah objek bergerak seperti gambar berikut. Berapakah momentum sudut total di sekitar titik O?  6,5 kg 3,1 kg 2,2 m/s 3,6 m/s 1,5 m 2,8 m O L = ℓ1 +ℓ2 = – m1 r1 v1 + m2 r2 v2 = –(6,5 kg)(1,5 m)(2,2 m/s) + (3,1 kg)(2,8 m)(3,6 m/s) = 9,8 kg.m2/s

Momentum sudut partikel di sekitar titik asal Latihan Sebuah partikel P dengan massa 2,0 kg mempunyai vektor posisi r (r = 3,0 m) dan v (v = 4,0 m/s). Partikel tersebut dikenakan gaya F (F = 2,0 N). Ketiga vektor r, v, dan F terletak pada bidang xy. Tentukan: Momentum sudut partikel di sekitar titik asal Torsi yang bekerja pada partikel  300 450 O x y