Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”) Pertemuan 20 Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”)

Tujuan Mahasiswa dapat menguraikan tentang diferensial sederhana beserta kaidahnya shg mampu menggunakannya dalam menyelesai kan masalah ekonomi dan bisnis.

Pengertian Diferensial Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi.  

Kaidah Diferensial Diff konstanta, y = k  y’=0 Diff fungsi pangkat, y = x^n  y’=nx^n-1 Diff fungsi perkalian konstanta dgn fungsi y = k v  y’ = k v’ Diff fungsi pembagian konstanta dgn fungsi y = k/ v  y’ = ( -k v’)/ v² Diff fungsi penjumlahan y = u + v  y’ = u’ + v’ Diff perkalian fungsi y= u v  y’=uv’+vu’

Kaidah Diferensial(2) Diff pembagian fungsi y = u/v y’ = (v u’ + u v’) / v² Diff fungsi berpangkat y = u^n, u=f(x) u’ = n u^n-1. u’ Diff fungsi logaritmik y = ªlog x y’ = 1/ (x ln a) Diff fungsi komposit logaritmik y = ªlog u  y’ = (ªlog e)/u. u’

Kaidah Diferensial(3) Diff fungsi kompleks y = u^v ; u,v=f(x) y’ = v.u^v-1. u’ + u^v . lnu. v’ Diff fungsi balikan y = f(x) dan x = g(y)  dy/dx = 1/(dx/dy)

A. Hakekat Derivatif & Diferensial Kasus 1 : Y = C + S, bila pendapatan nasional naikmaka konsumsi dan tabungan akan naik, sehingga : DY = (1)C + (1)S  diferensial Karena C + S = dY  dY/dY = C/dy + S/dY  derivasi C/dY = MPC,S/dY = MPS, terbukti bahwa MPC + MPS = 1  

Kasus 2 : C = f(Y) C= Co + cY, bila pendapatan nasional naik maka konsumsi akan naik, sehingga : C + C = Co + c(Y + Y)  diferensial  C = Co + cY + cY – C  C = cY  C/Y = c  derivasi c  MPC

untuk kasus diferensiasi ini dijelaskan bahwa bila perubahan Y sangat kecil sekali hingga batasnya (limit) mendekati 0, maka C/Y = MPC, berbeda halnya bila Y = 5 atau 6, jadi bila y = f(x), untuk x mendekati 0, maka berlaku : y + f(x) = f(x + x) y = f(x + x) – f(x)  

Bila x mendekati 0, maka : diferensial y = dy = dy/dx (x) Ingatlah : Bila x mendekati 0, maka : dy/dx = y/x deferensiasi x = dx = x, diferensiasi y = dy = y jadi bisa ditulis diferensial y = dy = dy/dx (x)

Kasus :Bila diketahui x = 0 Kasus :Bila diketahui x = 0.0001 untuk kedudukan x = 2, tentukan apakah dy = y dari fungsi y = 3x2 – 4x + 5  Jawab : y = 3x2 – 4x + 5 dy/dx = 6x – 4  x = 2 maka dy/dx = 6 (2) – 4 = 8 Ingat: dy = dy/dx (x)  dy = 8 (0.0001) = 0.0008  y = f(x) = 3x2 – 4x + 5  x = 2  f(x) = 12 – 8 + 5 = 9

y = f (x + x) – f (x) y = 3 (x + x)2 – 4(x + x) + 5 – f (x) y = 3 (2 + 0.0001)2 –4 (2 + 0.0001) + 5 – 9 y = 3 (2 + 0.0001)2 –4 (2 + 0.0001) + 5 – 9 y = 12.0012 – 8.0004 + 5 – 9 = 0.0008 y = 0.0008 padahal dy = 0.0008 jadi bisa dibuktikan bahwa bila x mendekati 0, maka y = dy dengan demikian dalam pengertian selanjutnya : dy adalah merupakan taksiran dari y.

Gambar 1. “Under estimated”

Gambar 2. “Over estimated”

Contoh z = 2xy + 10y2 – 12x + 2000, Diferensial x dan y (total) adalah : Dz = 2yx + 2xy + 20yy - 12x Derivasi terhadap x,  z/x = 2y – 12 Derivasi terhadap y,  z/y = 2x + 20y