7. TUMBUKAN (COLLISION)

7.1 Tumbukan Dalam kejadian sehari-hari, tumbukan dapat terjadi dalam peristiwa, misalnya raket memukul bola tenis, dua bola bilyard yang bertumbukan, sebuah gerbong kereta menabrak gerbong lainnya, dll. Pada kejadian tumbukan dua buah benda, keduanya dapat berubah bentuk, bisa nyata ataupun tidak. Jika gaya yang terjadi pada saat tumbukan besar, biasanya perubahan bentuk benda yang bertumbukan akan kelihatan. Ketika terjadi tumbukan, gaya meningkat dari nol menjadi sangat besar dalam waktu yang sangat singkat dan kembali ke nol juga dalam waktu yang singkat (Gambar 7.1)

R L F(t) –F(t) x Gambar 7.1 Tumbukan dua benda

7.2 Impuls dan Momentum Linier Gambar 7.1 menunjukkan dua gaya yang sama besar tapi berlawanan arah, yaitu F(t) dan – F(t) yang bekerja pada saat terjadi tumbukan antara dua buah partikel yang mempunyai massa yang berbeda. Dari hukum Newton dp = F(t) dt (7.1) F(t) adalah gaya sebagai fungsi dari waktu sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.2.

Gambar 7.2 Gaya sebagai fungsi waktu yang bekerja pada saat terjadi tumbukan dua benda t t F J ti tf F(t)

Dari persamaan (7.1) didapat (7.2) Ruas kiri persamaan (7.2) menghasilkan pf – pi yang merupakan perubahan momentum linier dari partikel R (lihat Gambar 7.1). Sedangkan ruas kanan persamaan (7.2) disebut tumbukan Impuls J. Jadi (7.3) Persamaan (7.3) merupakan definisi dari Impuls dan besarnya sama dengan luas bidang yang dibatasi oleh F(t).

Dari persamaan (7.2 dan (7.3) disimpulkan bahwa perubahan momentum linier pada masing-masing benda pada saat terjadi tumbukan sama dengan impuls pada benda tersebut, atau pf – pi = p = J (7.4) Persamaan (7.4) sesuai dengan teorema Momentum Linier-Impuls Dari kekekalan momentum diketahui bahwa p pada partikel R sama dengan –p pada benda L (lihat Gambar 7.1), sehingga persamaan (7.4) dapat ditulis dalam bentuk, pfx – pix = px = Jx (7.5) pfy – piy = py = Jy (7.6) pfz – piz = pz = Jz (7.7)

Impuls dan momentum adalah besaran vektor Impuls dan momentum adalah besaran vektor . Kedua-duanya mempunyai satuan dan dimensi yang sama. JikaF adalah besar gaya rata-rata, maka besar dari impuls adalah J =F t (7.8) F dipilih sedemikian rupa sehingga luas persegi panjang pada gambar 7.2 sama dengan luas bidang yang dibatasi oleh kurva F(t). Misal terdapat sejumlah benda yang mempunyai momentum yang sama sebesar mv membentur benda R dalam posisi tetap (Gambar 7.3)

Gambar 7.3 Rangkaian benda yang membentur benda R yang berada pada posisi tetap x  v R Impuls J pada benda R dan perubahan momentum linier p dari benda yang bertumbukan mempunyai besar yang sama dan arah yang berlawanan. Jika benda yang menabrak benda R berjumlah n buah dalam interval waktu t, maka impuls total J pada benda R dalam selang waktu t adalah J = – n p (7.9)

Substitusi (7.9) ke (7.8) didapat (7.10) Besaran (n/t) adalah banyak benda yang membentur benda R (lihat Gambar 7.3) Jika tumbukan berhenti pada saat tabrakan sedang berlangsung, maka dari persamaan (7.10) didapat v = vf – vi = 0 – vi = –v (7.11) Jika benda-benda yang menabrak benda R terpental kebelakang, maka kecepatan benda tidak berubah; hanya arahnya yang berubah, sehingga vf = –v.

Selanjutnya didapat v = vf – vi = –v – v = – 2v (7.12) Dalam interval waktu t, jumlah massa m = nm menabrak benda R, sehingga persamaan (7.10) dapat ditulis sebagai, (7.13) dimana m/t adalaj jumlah massa dalam interval waktu t yang menabrak benda R.

Contoh 7.1 Sebuah bola baseball , dengan massa 140 gram dilempar secara horizontal dengan laju 39 m/detik dan dipukul ke arah yang berlawanan dengan laju 39 m/detik. Pertanyaan: Berapakah impuls pada bola baseball pada saat kontak dengan alat pemukul? Jika waktu terjadi benturan antara bola baseball dan alat pemukul 12 x 10 – 4 detik, berapakah besar gaya rata-rata pada baseball? c) Berapakah percepatan rata-rata bola baseball? Penyelesaian

Diketahui: m = 140 g = 0,14 kg vi = – 39 m/detik ; vf = 39 m/detik t = 0,0012 detik a) J = pf – pi = mvf – mvi = (0,14 kg)(39 m/detik) – (0,14 kg)(–39 m/detik) = 10,9 kg.m/detik

Contoh 7.2 Sebuah bola baseball , dengan massa 140 gram dilempar secara horizontal dengan laju 39 m/detik dan dipukul ke arah 300 terhadap sumbu x dengan laju 45 m/detik. Berapakah gaya rata-rata yang dikenakan pada bola baseball jika benturan antara bola baseball dan alat pemukul berlangsung selama 12 x 10 – 4 detik? Penyelesaian

m = 140 g = 0,14 kg t = 0,0012 detik 300 vf = 45 m/det vi = 39 m/det

x y vf vf y vi vf x vf x = vf cos 300 = (45 m/detik)(cos 300) vf y = vf sin 300 = (45 m/detik)(sin 300) = 22,5 m/detik

J Jx = pfx – pix = m vf x – m vi x = (0,14 kg)(39 m/detik) – (0,14 kg)(– 39 m/detik) = (0,14 kg)( 39 m/detik + 39 m/detik) = 10,92 kg m/detik Jy = pf y – pi y = m vf y – m vi y = (0,14 kg)(22,5 m/detik) – (0,14 kg)(0) = 3,15 kg m/detik J

7.3 Tumbukan Elastis Satu Dimensi 7.3.1 Target Pada Awalnya Tidak Bergerak Misal terdapat dua benda yang mempunyai massa yang berbeda. Salah satu benda dalam keadaan diam pada saat sebelum terjadi tumbukan, selanjutnya disebut sebagai target. Sedangkan benda lainnya bergerak, selanjutnya disebut projektil. Asumsi Sistem yang terdiri dari dua benda ini sebagai sistem diisolasi dan tertutup, artinya tidak ada gaya luar yang berkerja pada sistem dan tidak ada massa yang masuk dan keluar sistem. Besar energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan sama, sehingga dikatakan bahwa tumbukan terjadi secara elastis.

mengalami tumbukan elastis  m1 m2 v1i v2i Sebelum tumbukan x  m1 m2 vcm b) Sedang terjadi tumbukan x  m1 m2 v1 f v2 f c) Sedang terjadi tumbukan x Gambar 7.4 Dua benda yang mengalami tumbukan elastis

Dengan menerapkan hukum kekekalan momentum linier pada Gambar 7 Dengan menerapkan hukum kekekalan momentum linier pada Gambar 7.4 menghasilkan m1 v1i = m1 v1 f + m2 v2 f (7.14) atau m1(v1i – v1 f ) = m2 v2 f (7.15) Sedangkan penerapan hukum kekekalan energi kinetik pada Gambar 7.4 menghasilkan (7.16) atau (7.17)

Bagi persamaan7.17 dengan 7.15 menghasilkan v2 f = v1 i + v1 f (7.18) Substitusi v2 f pada (7.18) ke (7.15) didapat m1(v1i – v1 f ) = m2 (v1 i + v1 f) v1i (m1 – m2) = v1 f (m1 + m2) (7.19) Substitusi v1 f pada (7.18) ke (7.15) didapat m1v1i = m1 (v2 f – v1i) + m2 v2 f m1v1i + m1v1i = m1 v2 f + m2 v2 f 2m1v1i = (m1 + m2) v2 f (7.20)

  Massa Proyektil Sama Dengan Massa Target Jika massa benda 1 (proyektil) sama dengan massa benda 2 (target) atau m1 – m2, maka dari persamaan (7.19) dan (7.20) dapat disimpulkan bahwa v1 f = 0 dan v2 f = v1i (7.21) Artinya, jika dua benda yang mempunyai massa yang sama, maka setelah terjadi tumbukan, benda 1 akhirnya akan berhenti (v1 f = 0 ), sedangkan benda 2 yang awalnya diam, akhirnya bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan benda 1.  m1  m2 x

  Massa Proyektil Jauh Lebih Kecil dari Massa target Dalam hal massa target jauh lebih besar dari massa proyektil, maka persamaan (7.19) dan (7.20) menjadi, (7.22) Persamaan (7.21) menunjukkan bahwa massa benda 1 (proyektil) akan terpental ke arah posisi semula dengan laju sama dengan laju awal. Sedangkan benda 2 akan bergerak maju dengan laju yang sangat kecil.  m2  m1 x

  Massa Proyektil Jauh Lebih Besar dari Massa Target Jika massa proyektil jauh lebih besar dari massa target, maka, (7.19) dan (7.20) menjadi, v1 f = v1i dan v2 f = 2v1i (7.23)  m1  m2 x Gerak Pusat Massa Pusat massa dari dua benda yang bertumbukan selalu bergerak tanpa dipengaruhi oleh tumbukan. Berdasarkan hukum kekekalan momentum linier dan persamaan (6.20), P = M vcm = (m1 + m2) vcm (7.24)

Persamaan (7.24) menghubungkan momentum linier P dari sistem yang terdiri dari dua benda dengan kecepatan pusat massa, vcm. Karena momentum P tidak mengalami perubahan selama terjadi tumbukan, maka vcm juga tidak berubah. Pusat massa selalu bergerak pada arah dan laju yang sama. Dari persamaan (7.24) kecepatan pusat massa dari tumbukan dua buah benda adalah 7.25

7.3.2 Target Pada Awalnya Sudah Bergerak Jika kedua benda, baik proyektil maupun target, bergerak maka kekekalan momentum linier adalah m1 v1i + m2 v2i = m1 v1 f + m2 v2 f (7.26) atau m1 ( v1i – v1 f ) = – m2 (v2i – v2 f) (7.27) Sedangkan kekekalan energi kinetik adalah (7.28) atau m1(v1i – v1 f )(v1i + v1 f ) = – m2(v2i – v2 f)(v2i + v2 f) (7.29)

Bagi persamaan (7.29) dengan persamaan (7.28), didapat v1i + v1 f = v2i + v2 f (7.30) Substitusi v2 f pada pers. (7.30) ke pers. (7.26), didapat (7.31) Substitusi v21f pada pers. (7.30) ke pers. (7.26), didapat (7.32)

Contoh 7.3 Dua buah bola baja digantungkan pada seutas tali. Pada awalnya kedua bola bersentukan. Massa bola baja 1 adalah 30 g dan massa bola baja 2 adalah 75 g. Mula-mula bola baja 1 ditarik ke arah kiri dengan jarak vertikal dengan posisi awal adalah 8,0 cm. Setelah dilepas, bola tersebut menumbuk bola baja 2. Tentukan laju bola baja 1 setelah bertumbukan dengan bola baja 2! b) Tentukan jarak vertikal bola baja 1 terhadap posisi awal pada saat bola bergerak ke kiri setalah bertumbukan dengan bola baja 2! c) Berapa kecepatan bola baja 2 segera setelah bertumbukan dengan bola baja 1? d) Tentukan jarak vertikal bola baja 2 terhadap posisi awal setelah terjadi tumbukan dengan bola baja 1?

Diketahui m1 = 30 g ; m2 = 75 g ; h1 = 8,0 cm Ditanya: a) v1 f ; b) h1 ; c) v2 f Penyelesaian h1 h1 v1 i

Dari persamaan (7.19) h1 v1 f

h1 v1 f

c) Dari persamaan (7.20)

h1 h2

Latihan Dua buah balok meluncur diatas permukaan tanpa gesekan, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut. Berapakah kecepatan balok yang mempunyai massa 1,6 kg setelah terjadi tumbukan dengan balok yang mempunyai massa 2,4 kg? 1,6 kg 2,4 kg 5,5 m/s 2,5 m/s 1,6 kg 2,4 kg v m/s 4,9 m/s

7.4 Tumbukan Tidak-Elastis Sempurna Satu Dimensi 7.4.1 Target Pada AwalnyaTidak Bergerak Tumbukan tidak elastis sempurna adalah tumbukan yang terjadi jika energi kinetik pada sistem tidak kekal dan secara keseluruhan dikonversikan menjadi bentuk energi lainnya, misal energi panas. Jika diasumsikan bahwa sistem diisolasi dan tertutup, maka pada sistem tetap berlaku kekekalan momentum. Misal sistem terdiri dari dua benda. Benda 1 mempunyai massa m1 dan bergerak dengan kec. v1. Benda 2 mempunyai massa m2 & dalam keadaan diam (kecepatan v2 = 0). Setelah terjadi tumbukan, benda 1 dan 2 bergabung menjadi satu, sehingga keduanya mempunyai kec. yang sama, yaitu v (Gambar 7.5).

  m1 m2 v1 v2 = 0 Sebelum tumbukan x m1 m2 v b) Sedang terjadi Gambar 7.5 Dua benda yang mengalami tumbukan tidak elastis sempurna Dengan menerapkan hukum kekekalan momentum linier pada Gambar 7.4 menghasilkan m1 v1 = m1 v + m2 v (7.33) atau (7.34)

7.4.2 Target Pada Awalnya Sudah Bergerak Jika kedua benda pada awalnya sudah bergerak, maka kekekalan momentum dari sistem adalah m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v (7.35) atau (7.36)

Contoh 7.4 Sebuah gerbong kereta 10.000 kg bergerak dengan kecepatan 24 m/s menabrak gerbong kereta lainnya yang sejenis dalam keadaan diam. Jika kedua gerbong tersebut akahirnya tersambung akibat terjadinya tumbukan, berapa Kecepatan keduanya setelah terjadi tumbukan? Besar energi kinetik awal yang diubah menjadi bentuk energi lainnya? Penyelesaian

m1 v1 = 24 m/s m2 v1 = 0 Sebelum tumbukan m1 + m1 v Setelah tumbukan

b) Besar energi kinetik awal yang diubah menjadi bentuk energi lainnya. Energi kinetik awal (sebelum terjadi tumbukan)

Energi kinetik akhir (setelah terjadi tumbukan) Besar energi kinetik awal yang diubah menjadi bentuk energi lainnya adalah 1,88 x 106 J – 1,44 x 10 J = 1,44 x 106 J

7.5 Tumbukan Dua Dimensi Elastis Pada tumbukan dua dimensi elastis, kekekalan momentum dan kekekalan energi kinetik juga tetap berlaku. Misal dua partikel dengan massa m1 dan m2 yang mempunyai jarak vertikal antara masing-masing titik pusat sebesar b (lihat Gambar 7.5). Setelah tumbukan terjadi kedua partikel akan bergerak pada arah x dan y.

Tumbukan dua dimensi elastis x y 2 1 Gambar 7.5 Tumbukan dua dimensi elastis

Tumbukan dua dimensi elastis y x 2 1 m2 m1 v1i v2f v1f Gambar 7.5 Tumbukan dua dimensi elastis

Kekekalan momentum Arah sumbu x m1v1i = m1 v1f cos1 + m2 v2f cos2 (7.37) Arah sumbu y 0 = –m1 v1f sin1 + m2 v2f sin2 (7.38) (7.39)

Contoh 7.5 Sebuah bola bilyard A yang mempunyai massa 0,400 kg dan bergerak dengan laju 1,80 m/detik menabrak bola bilyard B dalam keadaan diam yang mempunyai massa 0,500 kg. Sebagai akibat tumbukan yang terjadi, bola A berbelok arah sebesar 300 terhadap sumbu x dan kecepatannya menurun menjadi 1,10 m/detik. Tulis persamaan kekekalan momentum untuk komponen x dan y. Tentukan kecepatan bola B dan sudut antara bola B dan sumbu x. Penyelesaian

Diketahui: mA = 0,400 kg ; mB = 0,500 kg ; vAi = 1,80 m/s ; vA f = 1,10 m/s ; vB i = 0 ; A = 300. Kekekalan momentum arah sumbu x mA vAi + mB vBi = mA vA f cosA + mB vB f cosB mA vAi = mA vA f cosA + mB vB f cosB Kekekalan momentum arah sumbu y 0 + 0 = mA vA f sinA – mB vB f sinB 0 = mAvA f sin A – mB vB f sinB

b) Dari kekekalan momentum a) didapat mA vAi + mB vBi = mA vA f cosA + mB vB f cosB mA vAi = mA vA f cosA + mB vB f cosB

Latihan Sebuah bola dengan massa 0,44 kg yang bergerak ke arah timur dengan laju 3,70 m/s menumbuk bola lain yang awalnya dalam keadaan diam dan mempunyai massa 0,22 kg. Jika tumbukan kedua bola tersebut terjadi secara lenting, tentukan kecepatan masing-masing bola setelah terjadi tumbukan.