Mathematics III TS 4353 Class B Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

Time Schedule Tuesday 1.30 – 3.20 pm P 621.A Theory Thursday 1.30 – 3.20 pm Responsive Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Expectations Attend class regularly  presence min 75% Come on time Do your own work, exam Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Grading Policy Assignments 10% Test/ Quiz 20% Midterm exam 35% Final exam 35% Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Textbook Boyce, W.E., Diprima, R.C., 1986, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons Inc., New York. Kreyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc., New York. Anton, H., 1991, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons Inc., Singapore. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Basic Course Outline Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Integral Rangkap Midterm Transformasi Laplace Deret Fourier Final Aljabar Matrik Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Pengertian Persamaan Diferensial Adalah persamaan yang mengandung turunan suatu fungsi yang belum diketahui, yang disebut y(x) dan persamaan tersebut yang harus dicari. Persamaan diferensial dibedakan menjadi 2, yaitu: 1. Persamaan diferensial (PD) biasa 2. Persamaan diferensial (PD) parsial Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Biasa Adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan suatu fungsi y yang belum diketahui; persamaan tersebut mungkin juga melibatkan y itu sendiri, fungsi peubah x dan konstanta. Contoh: y’ = cos x y” + 4y = 0 x2y”’y’ +2exy” = (x2 + 2)y2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Parsial Adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan parsial suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas. Contoh: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Linier PD linier tingkat 1 PD linier tingkat 2 PD linier tingkat 2 homogen (if r(x)=0) PD linier tingkat 2 non homogen (if r(x)≠0; r(x) = f(x)) (1) (2) (3) (4) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

p, q dan r adalah sembarang fungsi dari x Jika suku pertama pada persamaan ke(2), misal f(x)y”, maka kita harus membagi dengan f(x) untuk memperoleh bentuk baku persamaan (2), dengan y” sebagai suku pertama. p, q dan r adalah sembarang fungsi dari x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Linier Homogen Tingkat 2 Jika p & q konstanta dan nyata Maka, (5) Subtitusi (5) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Persamaan karakteristik Persamaan kuadrat di atas mempunyai akar persamaan yang berbeda, tergantung pada nilai diskriminan p2-4q: Kasus I : Dua akar nyata & berlainan, if p2-4q > 0 Kasus II : Dua akar nyata dan kembar, if p2-4q = 0 Kasus III : Dua akar kompleks/ imajiner, if p2-4q < 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example Dua akar nyata & berlainan y” + y’ – 2y =0 k2 + k – 2 = 0 k = 1 dan k = -2 y1 = ex dan y2 = e-2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar nyata dan kembar y” - 2y’ + y =0 k2 - 2k + 1 = 0 (k-1)(k-1)=0 k = 1 dan k = 1 y1 = ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kompleks/ imajiner y” + y =0 k2 + 1 = 0 k = i (= √-1) dan -i y1 = eix dan y2 = e-ix Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar nyata dan berlainan k1 and k2 The general solution is k1 ≠ k2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y”-5y’+6y = 0 substitute k2 – 5k + 6 = 0 k1 = 2 or k2 = 3 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

(4c1e2x + 9c2e3x) – 5(2c1e2x + 3c2e3x) + 6(c1e2x + c2e3x) = 0 y”-5y’+6y = 0 (4c1e2x + 9c2e3x) – 5(2c1e2x + 3c2e3x) + 6(c1e2x + c2e3x) = 0 (4 – 10 + 6)c1e2x + (9 – 15 + 6)c2e3x = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y”-6y’- 7y = 0 substitute k2 – 6k - 7 = 0 (k+1)(k-7) = 0 k1 = -1 or k2 = 7 y”-6y’- 7y = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

(c1e-x + 49c2e7x) – 6(-c1e-x + 7c2e7x) - 7(c1e-x + c2e7x) = 0 y”-6y’+ 7y = 0 (c1e-x + 49c2e7x) – 6(-c1e-x + 7c2e7x) - 7(c1e-x + c2e7x) = 0 (1 + 6 - 7)c1e-x + (49 – 42 - 7)c2e7x = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ y’- 2y = 0, y(0)=4, y’(0)=-5 k2 + k - 2 = 0 (k+2)(k-1) = 0 k1 = -2 dan k2 = 1 y (x) = c1ex + c2e-2x  y(0) = c1 + c2 = 4 y’(x) = c1ex - 2c2e-2x  y’(0) = c1 - 2c2 = -5 c1 = 1; c2 = 3  y = ex + 3e-2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kembar k1=k2 The general solution is y = emx (c1 + c2x) k1 = k2 = m Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y”-6y’+9y = 0 substitute k2 – 6k + 9 = 0 (k – 3)(k-3) = 0 k1 = k2 = m = 3 y = e3x(c1+c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y”-4y’+4y = 0 substitute k2 – 4k + 4 = 0 (k – 2)(k - 2) = 0 k1 = k2 = m = 2 y = e2x(c1+c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ y’+ 0,25y = 0, y(0)=3, y’(0)=-3,5 k2 + k + 0,25 = 0 k1 = -0,5 dan k2 = -0,5 y (x) = e-0,5x (c1 + c2x)  y(0) = c1 = 3 y’(x) = c2e-0,5x -0,5(c1+ c2x)e-0,5x  y’(0) = c2 – 0,5c1 = -3,5 c1 = 3; c2 = -2  y = (3-2x)e-0,5x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kompleks/ imajiner The general solution is y = eax(c1 cos bx + c2 sin bx) k1,2 = a ± bi; i = √-1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y” – 6y’ + 13y = 0 substitute k2 – 6k + 13 = 0 = 3 ± 2i y = e3x(c1cos 2x + c2 sin 2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y” + 4y’ + 13y = 0 substitute k2 + 4k + 13 = 0 = -2 ± 3i y = e-2x(c1cos 3x + c2 sin 3x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ 0,4y’+ 9,04y = 0, y(0)=0, y’(0)= 3 k2 + 0,4k + 9,04 = 0 k1 = k2 = -0,2±3i, b = 3 y = e-0,2x (c1cos 3x+ c2sin 3x)  y(0) = c1 = 0 y = c2e-0,2x sin 3x y’(x) = c2(-0.2e-0,2x sin 3x + 3e-0,2x cos 3x)  y’(0) = 3c2 = 3 c1 = 0; c2 = 1  y =e-0,2xsin 3x

Summary Kasus Akar dari Persamaan dasar Persamaan umum I Nyata & berbeda k1, k2 ek1x , ek2x y = c1 ek1x + c2 ek2x II Kembar k1 = k2 = m emx , xemx y = emx (c1 + c2x) III Kompleks/ imajiner k1,2 = a ± bi eax cos bx, eax sin bx y = eax(c1 cos bx + c2 sin bx)

Exercise y” – 6y’ + 8y = 0 y” + 8y’ + 16y = 0 2y” + y’ – y = 0