Mathematics III TS 4353 Class B

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Mathematics III TS 4353 Class B
Advertisements

Teknik Pengintegralan
ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig
ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig
Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
Pertemuan I Kalkulus I 3 sks.
PERSAMAAN BEDA Sistem Rekursif dan Nonrekursif
Berkelas.
Menyusun Persamaan Kuadrat
Mathematics III TS 4353 Class B
NINIK RAHAYU, MODEL PERPINDAHAN KALOR PADA MESIN PENGERING PADI.
6. Persamaan Diferensial Tidak Eksak
PERSAMAAN DIFFRENSIAL
PERSAMAAN KUADRAT Farida Sepriana Putri.
FUNGSI KUADRAT.
Persamaan Non Linier.
PENERAPAN ALJABAR LINEAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL
IRPAN SUSANTO, DERET FOURIER, KONSEP DAN TERAPANNYA PADA PERSAMAAN GELOMBANG SATU DIMENSI.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
FUNGSI KUADRAT.
Computational Method in Chemical Engineering (TKK-2109) 14/15 Semester 5 Instructor: Rama Oktavian Office Hr.: M.13-15, T.
Pertemuan 4 Penyelesaian Persamaan Linear
PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y.
Transformasi laplace fungsi F(t) didefinisikan sebagai :
Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y.
M ATHEMATICS III TS 4353 C LASS B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University.
Suharmadi Sanjaya - Matematika ITS. BACKGROUND A Good course has a clear purpose: Applied Mathematics is alive and very vigorous Teaching of Apllied Mathematics.
9. TEKNIK PENGINTEGRALAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN KUADRAT.
DETERMINAN Ronny Susetyoko Matematika 1.
Kalkulus 4 Kalkulus 4 Teknik Mesin Fakultas Teknologi Industri
PERTIDAKSAMAAN.
IR. Tony hartono bagio, mt, mm
BAB 6 PERTIDAKSAMAAN.
Representasi sistem, model, dan transformasi Laplace Pertemuan 2
Aljabar Linier dan Matriks
MATEMATIKA I Vivi Tri Widyaningrum,S.Kom, MT.
Penjelasan Awal Perkuliahan
PD Tingkat n (n > 1 dan linier) Bentuk umum :
BAB 3 PERSAMAAN KUADRAT.
Persamaan Kuadrat (2).
PEMBAHASAN LATIHAN SOAL
Pengintegralan Fungsi Rasional Memakai Pecahan Parsial
Mathematics III TS 4353 Class B
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Matematika Teknik II Anhar, ST. MT..
Persamaan Kuadrat Lisa Prasetyowati.
Persamaan Kuadrat HOME NEXT PREV Persamaan Kuadrat
Matematika Pertemuan 14 Matakuliah : D0024/Matematika Industri II
Aljabar Linier dan Matriks
Transformasi Laplace.
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT.
Motivasi Apa anda juga ingin seperti orang ini Berusaha mendapatkan
Matematika PERSAMAAN KUADRAT Quadratic Equations Quadratic Equations
INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan.
Integral Tak Tentu INTEGRAL TAK TENTU TRIGONOMETRI SUBTITUSI PARSIAL
MATEMATIKA SMU Kelas I – Semester 1 BAB 1
MATEMATIKA SMU Kelas I – Semester 1 BAB 1
Persamaan Kuadrat (2).
Peta Konsep. Peta Konsep B. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat.
B. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat
Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung
Transcript presentasi:

Mathematics III TS 4353 Class B Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

Time Schedule Tuesday 1.30 – 3.20 pm P 621.A Theory Thursday 1.30 – 3.20 pm Responsive Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Expectations Attend class regularly  presence min 75% Come on time Do your own work, exam Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Grading Policy Assignments 10% Test/ Quiz 20% Midterm exam 35% Final exam 35% Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Textbook Boyce, W.E., Diprima, R.C., 1986, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons Inc., New York. Kreyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc., New York. Anton, H., 1991, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons Inc., Singapore. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Basic Course Outline Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Integral Rangkap Midterm Transformasi Laplace Deret Fourier Final Aljabar Matrik Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Pengertian Persamaan Diferensial Adalah persamaan yang mengandung turunan suatu fungsi yang belum diketahui, yang disebut y(x) dan persamaan tersebut yang harus dicari. Persamaan diferensial dibedakan menjadi 2, yaitu: 1. Persamaan diferensial (PD) biasa 2. Persamaan diferensial (PD) parsial Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Biasa Adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan suatu fungsi y yang belum diketahui; persamaan tersebut mungkin juga melibatkan y itu sendiri, fungsi peubah x dan konstanta. Contoh: y’ = cos x y” + 4y = 0 x2y”’y’ +2exy” = (x2 + 2)y2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Parsial Adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan parsial suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas. Contoh: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Linier PD linier tingkat 1 PD linier tingkat 2 PD linier tingkat 2 homogen (if r(x)=0) PD linier tingkat 2 non homogen (if r(x)≠0; r(x) = f(x)) (1) (2) (3) (4) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

p, q dan r adalah sembarang fungsi dari x Jika suku pertama pada persamaan ke(2), misal f(x)y”, maka kita harus membagi dengan f(x) untuk memperoleh bentuk baku persamaan (2), dengan y” sebagai suku pertama. p, q dan r adalah sembarang fungsi dari x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Linier Homogen Tingkat 2 Jika p & q konstanta dan nyata Maka, (5) Subtitusi (5) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Persamaan karakteristik Persamaan kuadrat di atas mempunyai akar persamaan yang berbeda, tergantung pada nilai diskriminan p2-4q: Kasus I : Dua akar nyata & berlainan, if p2-4q > 0 Kasus II : Dua akar nyata dan kembar, if p2-4q = 0 Kasus III : Dua akar kompleks/ imajiner, if p2-4q < 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example Dua akar nyata & berlainan y” + y’ – 2y =0 k2 + k – 2 = 0 k = 1 dan k = -2 y1 = ex dan y2 = e-2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar nyata dan kembar y” - 2y’ + y =0 k2 - 2k + 1 = 0 (k-1)(k-1)=0 k = 1 dan k = 1 y1 = ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kompleks/ imajiner y” + y =0 k2 + 1 = 0 k = i (= √-1) dan -i y1 = eix dan y2 = e-ix Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar nyata dan berlainan k1 and k2 The general solution is k1 ≠ k2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y”-5y’+6y = 0 substitute k2 – 5k + 6 = 0 k1 = 2 or k2 = 3 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

(4c1e2x + 9c2e3x) – 5(2c1e2x + 3c2e3x) + 6(c1e2x + c2e3x) = 0 y”-5y’+6y = 0 (4c1e2x + 9c2e3x) – 5(2c1e2x + 3c2e3x) + 6(c1e2x + c2e3x) = 0 (4 – 10 + 6)c1e2x + (9 – 15 + 6)c2e3x = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y”-6y’- 7y = 0 substitute k2 – 6k - 7 = 0 (k+1)(k-7) = 0 k1 = -1 or k2 = 7 y”-6y’- 7y = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

(c1e-x + 49c2e7x) – 6(-c1e-x + 7c2e7x) - 7(c1e-x + c2e7x) = 0 y”-6y’+ 7y = 0 (c1e-x + 49c2e7x) – 6(-c1e-x + 7c2e7x) - 7(c1e-x + c2e7x) = 0 (1 + 6 - 7)c1e-x + (49 – 42 - 7)c2e7x = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ y’- 2y = 0, y(0)=4, y’(0)=-5 k2 + k - 2 = 0 (k+2)(k-1) = 0 k1 = -2 dan k2 = 1 y (x) = c1ex + c2e-2x  y(0) = c1 + c2 = 4 y’(x) = c1ex - 2c2e-2x  y’(0) = c1 - 2c2 = -5 c1 = 1; c2 = 3  y = ex + 3e-2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kembar k1=k2 The general solution is y = emx (c1 + c2x) k1 = k2 = m Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y”-6y’+9y = 0 substitute k2 – 6k + 9 = 0 (k – 3)(k-3) = 0 k1 = k2 = m = 3 y = e3x(c1+c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y”-4y’+4y = 0 substitute k2 – 4k + 4 = 0 (k – 2)(k - 2) = 0 k1 = k2 = m = 2 y = e2x(c1+c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ y’+ 0,25y = 0, y(0)=3, y’(0)=-3,5 k2 + k + 0,25 = 0 k1 = -0,5 dan k2 = -0,5 y (x) = e-0,5x (c1 + c2x)  y(0) = c1 = 3 y’(x) = c2e-0,5x -0,5(c1+ c2x)e-0,5x  y’(0) = c2 – 0,5c1 = -3,5 c1 = 3; c2 = -2  y = (3-2x)e-0,5x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Dua akar kompleks/ imajiner The general solution is y = eax(c1 cos bx + c2 sin bx) k1,2 = a ± bi; i = √-1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1: y” – 6y’ + 13y = 0 substitute k2 – 6k + 13 = 0 = 3 ± 2i y = e3x(c1cos 2x + c2 sin 2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2: y” + 4y’ + 13y = 0 substitute k2 + 4k + 13 = 0 = -2 ± 3i y = e-2x(c1cos 3x + c2 sin 3x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3: y”+ 0,4y’+ 9,04y = 0, y(0)=0, y’(0)= 3 k2 + 0,4k + 9,04 = 0 k1 = k2 = -0,2±3i, b = 3 y = e-0,2x (c1cos 3x+ c2sin 3x)  y(0) = c1 = 0 y = c2e-0,2x sin 3x y’(x) = c2(-0.2e-0,2x sin 3x + 3e-0,2x cos 3x)  y’(0) = 3c2 = 3 c1 = 0; c2 = 1  y =e-0,2xsin 3x

Summary Kasus Akar dari Persamaan dasar Persamaan umum I Nyata & berbeda k1, k2 ek1x , ek2x y = c1 ek1x + c2 ek2x II Kembar k1 = k2 = m emx , xemx y = emx (c1 + c2x) III Kompleks/ imajiner k1,2 = a ± bi eax cos bx, eax sin bx y = eax(c1 cos bx + c2 sin bx)

Exercise y” – 6y’ + 8y = 0 y” + 8y’ + 16y = 0 2y” + y’ – y = 0