Definisi dan Relasi Pokok Yenni Astuti, S.T., M.Eng. yenni.stta@gmail.com

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Notasi “Kendall” untuk sistem antrian: Proses kedatangan; Distribusi waktu layanan; Contoh – contoh. Hasil “Little”: Hasil pokok; Pembuktian;

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Notasi “Kendall” untuk sistem antrian Kedatangan eksponensial Kedatangan umum Layanan eksponensial Layanan umum posisi tunggu tak-terbatas posisi tunggu tak-terbatas Layanan eksponensial Layanan hiper-eksponensial Kedatangan Erlang Kedatangan umum posisi tunggu terbatas posisi tunggu tak-terbatas Gambar 1: Berbagai sistem antrian Pertanyaannya: Bagaimana cara merepresentasikan dalam bentuk yang kompak?

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Komponen yang harus disebutkan: Proses kedatangan; Distribusi waktu layanan; Banyak server yang dimiliki sistem; Adakah tempat antri dalam sistem; Jika ada, berapa banyak tempat tunggu yang dimiliki; Apa aturan layanannya’ Adakah aturan khusus yang digunakan dalam sistem: Adakah kekosongan server’ Apakah kedatangan terjadi dalam kelompok atau tidak; Adakah prioritas dalam layanan untuk pelanggan tertentu. Catatan: kita harus menyebutkan setidaknya kelas kedatangannya, kelas departure nya, jumlah server

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Notasi Sederhana dari Sistem Antrian: Kendall pada tahun 1960-an; Mengusulkan untuk menggunakan huruf untuk menyebutkan karakteristik sistem antrian; Huruf – huruf dipisahkan dengan ‘garis miring’ (5 posisi): / / / /  Posisi Pertama digunakan untuk menyebutkan proses kedatangan: M: eksponensial (M diambil dari Markovian); Ek: Erlang dengan orde-k; Hk: Hipereksponen dengan orde-k; D: konstan; PH: tipe fase; GI: (general uncorrelated) umum tak terkorelasi; G: (general) umum.

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Beberapa proses waktu-kontinyu terkenal: IPP: Interrupted Poisson Process; SPP: Switched Poisson Process; MMPP: Markov Modulated Poisson Process; MAP: Markovian Arrival Process; BMAP: Batch Markovian Arrival process; Beberapa proses waktu-diskret terkenal: IBP: Interrupted Bernoulli Process; SBP: Switched Bernoulli Process; MMBP: Markov Modulated Bernoulli Process; D-MAP: Discrete-time Markovian Arrival Process; D-BMAP: Discrete-time Batch Markovian Arrival process;

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Posisi kedua: proses layanan: M: eksponensial (M diambil dari Markovian); Ek: Erlang dengan orde-k; Hk: Hipereksponen dengan orde-k; D: konstan; PH: tipe fase; G: (general) umum. Perlu diperhatikan: Waktu layanan biasanya diasumsikan tak-terkorelasi (dalam hal ini G merupakan tak-terkorelasi) Terkadang, hal ini tidak benar. Posisi ketiga: Waktu layanan; Setidaknya harus ada satu server; dapat bernilai 

Beberapa contoh sistem antrian dalam notasi Kendall sbb: Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Beberapa contoh sistem antrian dalam notasi Kendall sbb: M/M/1 M/PH/10 MAP/PH/1/ Posisi lainnya (ke-4 dan ke-5) diasumsikan sebagai tak-terbatas. Tempat keempat: kapasitas sistem: Harus setidaknya ada 1; Kapasitas dari bukan jumlah posisi antrian; Kapasitas = jumlah posisi antrian – jumlah server. M/PH/10/N, M/M/1/K. Jika , tempat keempat ini dapat dilewati;

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Bisa tak-terbatas: Posisi kelima: populasi kedatangan: Bisa terbatas: Proses kedatangan mesin rusak di antrian tukang reparasi (jumlah mesin terbatas) Bisa tak-terbatas: Proses kedatangan panggilan pada exchange telpon. Diabaikan bila tak-terbatas! Hal-hal berikut ini penting: Posisi kelima biasanya salah dinotasikan sebagai aturan layanan; Aturan layanan harus diberikan secara terpisah (bukan di notasi Kendall) ! Aturan layanan yang umum digunakan: FCFS (First Come, First Serve), misalnya: urutan kedatangan; Urutan acak (RANDOM); LCFS (Last Come, First Serve); PS (Processor Sharing)

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Gambar 2: Berbagai jenis sistem antrian dan notasi Kendallnya

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 2. Hasil Little: Merupakan hasil yang paling umum dan paling dapat diandalkan. Dapat digunakan untuk berbagai sistem antrian; Berkaitan dengan hal-hal berikut: Nilai rerata pelanggan dalam sistem (panjang antrian rerata) Waktu tinggal rerata pelanggan dalam sistem; Jumlah rerata pelanggan masuk ke sistem per unit waktu. Mari kita definisikan: L: rerata panjang antrian; W: rerata waktu tunggu pelanggan dalam sistem (waktu tinggal); : rerata jumlah pelanggan masuk sistem per unit waktu;

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Aturan Little: L = W Hasil ini pertama kali dipublikasikan oleh Little tahun 1961. Catatan untuk Hasil Little: Ditujukan untuk menjaga kestabilan antrian (laju layanan > laju kedatangan); Satu-satunya hasil yang berlaku untuk semua sistem antrian;  merupakan laju kedatangan aktual! Gambar 3: Laju kedatangan aktual ketika jumlah posisi tunggu terbatas

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 2.1. Penjelasan intuitif dari Hasil Little Dalam sistem antrian: Tidak menjadi masalah jenis proses kedatangannya; Tidak menjadi masalah jenis proses layanannya; Untuk memudahkan, kita mengasumsikan jumlah posisi tunggu tak-terbatas. Strategi Pengoperasian sebagai berikut: Pelanggan masuk sistem dalam waktu acak; Buffer digunakan untuk menunggu selama belum dilayani; Setelah layanan, pelanggan meninggalkan sistem. Perlu diperhatikan: Proses kedatangan sebagai jumlah kumulatif dari kedatangan [0,t); Proses departure sebagai jumlah kumulatif dari departure [0,t).

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Gambar 4: Ilustrasi kuantitas yang berbeda terkait dengan suatu antrian

L(T) = A(T)/T = W(T)N(T)/T = (T)W(T). Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Diasumsikan suatu periode waktu T dan digunakan notasi berikut: N(T): jumlah kedatangan dalam periode T; A(T): waktu layanan total dari semua pelanggan dalam periode T: Area antara kurva; Arti fisik: volume trafik yang dibawa. (T) = N(T)/T: rerata laju kedatangan dalam periode T; W(T) = A(T)/N(T): waktu holding rerata dalam sistem per pelanggan dalam periode T; L(T)/T: jumlah rerata pelanggan dalam sistem dalam selama periode T. Maka, relasi antar variabel sebagai berikut: L(T) = A(T)/T = W(T)N(T)/T = (T)W(T).

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Diasumsikan berlaku nilai limit berikut: Maka, limit berikut juga akan terjadi: Akhirnya, diperoleh formula Little: L = W L: jumlah rerata pelanggan; : Laju pelanggan masuk ke sistem; W: waktu tunggu rerata. Penting!: Koneksi hasil Little Parameter masukan : biasanya diketahui; Parameter keluaran L dan W: kita tidak mengetahuinya.

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 2.2 Contoh: cara untuk menggunakan hasil Little. Dalam suatu sistem antrian sederhana, sistem antrian M/M/1. Sistem antrian tersebut dikarakterkan dengan: Proses kedatangan bergantian dengan waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial; Waktu layanan terdistribusi eksponensial; Server tunggal; Posisi tunggu yang berjumlah tak-terbatas. Didefinisikan berikut: : laju kedatangan rerata pelanggan dalam sistem; µ: laju layanan rerata server; E[W]: waktu tunggu rerata, E[T]: waktu tinggal rerata.

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Untuk kestabilan kita asumsikan  = µ: Untuk kasus ini jumlah pelanggan tidak bertambah hingga tak-terbatas. Dapat ditunjukkan bahwa: E[N] = /(1) Kita akan menurunkan hasil ini kemudian dalam materi berikutnya. Kita bisa memperoleh waktu tinggal rerata dan waktu tunggu rerata: E[T] = E[N]/ = 1/(µ(1)), E[W] = (E[N]/)  (1/µ) = /(µ(1)). Catatan: E[N]   dan E[W]   ketika    dan aturan Little tidak dapat digunakan!

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 2.2 Pembuktian aturan Little Perhatikan hal berikut: Terdapat sejumlah bukti untuk aturan Little. Untuk sistem antrian tertentu, bukti-bukti tersebut muncul! Diberikan bukti untuk kasus:  = µ; Catatan: secara eksplisit diimplikasikan bahwa sistem kosong secara tak-terbatas sering. Diasumsikan sebagai berikut: Diawali dengan sistem kosong; Pada interval waktu [0,t); t merupakan waktu ketika sistem juga kosong; A(t) jumlah kedatangan dalam [0,t); C(t) jumlah penyelesaian layanan dalam [0,t).

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 Gambar 4: Ilustrasi waktu yang dihabiskan dalam sistem Ti, i=1,2,…

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012

Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012