Dasar Logika

Apa itu Logika ??!! Logika adalah ilmu tentang penalaran (reasoning). Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argumen, mencari konsistensi dari pernyataan-pernyataan, dan membahas materi tentang kebenaran dan ketidak benaran. Logika hanya berhubungan dengan bentuk- bentuk logika dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut. Logika tidak mempermasalahkan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun isi dari pernyataan.

Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ? Contoh Manusia mempunyai 2 mata. Badu seorang manusia. Dengan demikian, Badu mempunyai 2 mata. Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ?

Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ? Contoh Binatang mempunyai 2 mata. Manusia mempunyai 2 mata. Dengan demikian, binatang sama dengan manusia. Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ?

Logika tidak mempermasalahkan arti atau isi suatu pernyataan, tetapi hanya bentuk logika dari pernyataan itu. Logika hanya menekankan bahwa premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar (valid), tetapi bukan kebenaran secata aktual atau kebenaran sehari-hari. Penakanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak, yang dibangun dengan memakai kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan perangkai logika, yakni “dan (and)”, “atau (or)”, “tidak (not)”, “jika…maka…(if…then…)”, “…jika dan hanya jika… (…if and only if…)”.

Statement (Proposition)

TRUE Valuable FALSE Sentence Meaningful Meaningless Declarative Not Declarative TRUE Valuable FALSE

√ √ Rumput bersepeda aku Siapa namamu? Australia beribukota Sidney Semoga kamu baik-baik saja Ambilkan sepatu itu! Rumput adalah tumbuhan 3 memakan Surabaya Betapa nyamannya Kota Malang! Rumput bersepeda aku Siapa namamu? Australia beribukota Sidney Semoga kamu baik-baik saja Ambilkan sepatu itu! Rumput adalah tumbuhan 3 memakan Surabaya Betapa nyamannya Kota Malang! meaningless Question – Not declarative √ Declarative expectation – Not declarative Instruction – Not declarative √ Declarative meaningless Opinion – Not declarative

1 & 0 Notasion of Proposition p, q, r ... etc Notasion of Values TRUE FALSE

p bernilai 0 (FALSE) q bernilai 1 (TRUE) PRIMITIVEPROPOSITION p : Indonesia beribukota Solo p bernilai 0 (FALSE) q : Rumput adalah tumbuhan q bernilai 1 (TRUE)

PRIMITIVEPROPOSITION c o n n p q e c t i v e COMPOUNDPROPOSITION

Penghubung Kalimat Simbol Arti Bentuk ~ Tidak / Not / Negasi Tidak …..  Dan / And / konjungsi …… dan …….  Atau / Or / Disjungsi …… atau ……  Imlikasi Jika …. Maka …..  Bi-Imlikasi ….. bila dan hanya bila ….

NEGATION (~) q : Rumput adalah tumbuhan ~q : Rumput bukan tumbuhan ¬Λ

TRUTHTABLE q ~q 1 1

CONJUCTION (Λ) p Λ q bernilai 0 (FALSE) p : Indonesia beribukota Solo q : Rumput adalah tumbuhan p Λ q bernilai 0 (FALSE)

TRUTHTABLE p q pΛq 1 1 1 1 1 p  q bernilai benar jika p maupun q benar, selain itu bernilai salah

DISJUCTION (V) p V q bernilai 1 (TRUE) p : Indonesia beribukota Solo q : Rumput adalah tumbuhan p V q bernilai 1 (TRUE)

p  q bernilai benar jika ada sedikitnya satu variabel bernilai benar TRUTHTABLE p q pVq 1 1 1 1 1 1 1 p  q bernilai benar jika ada sedikitnya satu variabel bernilai benar

p Å q bernilai 0 (FALSE) Exlcusive DISJUCTION (Å) p : Presiden adalah lelaki q : Presiden adalah perempuan p Å q bernilai 0 (FALSE)

TRUTHTABLE p q pÅq 1 1 1 1 1 1

q : Kamu dapat sepeda motor IMPLICATION (®) p : IP-mu di atas 3,5 q : Kamu dapat sepeda motor p ® q

Jika p maka q p ® q Bila p terjadi maka q juga terjadi Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi p ® q p: hipotesa (anteseden) q: konklusi (konsekuen)

p ® q Jika p maka q p berimplikasi q p hanya jika q q jika p

kalimat p  q akan berniali salah kalau p benar dan q salah TRUTHTABLE p q p®q 1 1 1 1 1 1 1 kalimat p  q akan berniali salah kalau p benar dan q salah

q : Kamu dapat sepeda motor BIIMPLICATION («) p : IP-mu di atas 3,5 q : Kamu dapat sepeda motor p « q

q terjadi jika dan hanya jika p juga terjadi hanya jika p maka q q terjadi jika dan hanya jika p juga terjadi

p  q ,berarti (p  q)  (q  p) p  q atau (p  q) ( q  p) 1 p  q bernilai benar maka p  q maupun q  p, keduanya harus bernilai benar

TRUTHTABLE p q p«q 1 1 1 1 1 1

Tabel Kebenaran 2 variabel p q ~p p  q p  q p  q p  q 1 ( T = True/benar, F = False/salah )

Tabel Kebenaran 3 Variabel p q r … 1 Secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 2n baris

Latihan : Misal k : Monde orang kaya, s : Monde bersuka cita Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut : Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita Monde orang kaya atau ia sedih Monde tidak kaya ataupun bersuka cita Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih. Anggaplah ingkaran kaya adalah miskin, ingkaran dari bersuka cita adalah sedih.

Latihan : Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika dibawah ini ! ~(~p  ~q) (p  q)  ~(p  q) ~(~p  q) (~p  (~q  r))  (q  r)  (p  r)

Latihan : Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat di bawah ini bernilai benar ? “Tidaklah benar kalau rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga benar kalau sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak.”

Ekuivalen (secara logika) Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduannya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p  q .

Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat di bawah ini ekuivalen ~(~p) dengan p ~(p  q) dengan ~p  ~q p  q dengan ~p  q

tabel kebenaran ~(~p) dengan p ~(~0) = ~(1) = 0 1 ~(~1) = ~(0) = 1 ~(~p)  p

tabel kebenaran ~(p  q) dengan ~p  ~q ~(0  0)=~(0)=1 ~0  ~0 = 1  1=1 1 ~(0  1)=~(0)=1 ~0  ~1 = 1  0=0 ~(1  0)=~(0)=1 ~1  ~0 = 0  1=0 ~(1  1)=~(1)=0 ~1  ~1 = 0  0=0 ~(p  q) ≠ ~p  ~q

tabel kebenaran p  q dengan ~p  q 0 0 = 1 ~0  0=1  0=1 1 0  1 = 1 ~0  1=1  1=1 1  0 = 0 ~1  0=0  0=0 1  1 = 1 ~1  1=0  1=1 p  q Ξ ~p  q

Hukum Ekuivalensi Logika Hukum Identitas p Λ T ≡ p p V F ≡ p Hukum Ikatan p V T ≡ T p Λ F ≡ F Hukum Komutatif p Λ q ≡ q Λ p p V q ≡ q V p Hukum Asosiatif (p Λq) Λ r ≡ p Λ(q Λr) (p V q) V r ≡ p V (q V r) Hukum Distributif p Λ(q V r) ≡ (p Λq) V (p Λr) p V (q Λr ) ≡ (p V q) Λ(p V r)

de MORGAN ¬( p V q ) ≡ ¬p Λ ¬q ¬( p Λ q ) ≡ ¬p V ¬q

Pembuktian dengan Hukum Ekuivalensi Contoh : Sederhanakan bentuk ~(~p  q)  (p  q) Penyelesaian : ~(~p  q)  (p  q)  (~(~p)  ~q)  (p  q)  (p  ~q)  (p  q)  p  (~q  q)  p  0  p Jadi ~(~p  q)  (p  q)  p

3 cara membuktikan ekuivalensi P  Q P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat Q Q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada) sehingga akhirnya didapat P. P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah ( dengan menggunakan hukum-hukum yang ada ) sehingga akhirnya sama-sama didapat R bentuk yang lebih kompleks diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.

Soal Latihan 6. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran ~(p  ~q) V (~p  ~q) Ξ ~p ~((~p  q)  (~p  ~q) )  (p  q) Ξ p (p  (~(~p  q)))  (p  q) Ξ p

Ekuivalensi (implikasi) & (bi-implikasi) Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang melibatkan penghubung  (implikasi) dan  (bi-implikasi), Kita harus terlebih dahulu mengubah penghubung  dan  menjadi penghubung ,  dan ~. (kenyataan bahwa (p  q)  (~p  q) mempermudah kita untuk melakukannya)

Ubahlah bentuk ~(p  q) sehingga hanya memuat penghubung ,  atau ~ Soal Latihan : Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran (q  p) Ξ (~p  ~q) (p  (q  r)) Ξ ((p  q)  r) Ubahlah bentuk ~(p  q) sehingga hanya memuat penghubung ,  atau ~

Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T) Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F)

p → (p V q) p q p V q p → p V q 1

Menggunakan hukum ekuivalensi p → (p V q) ~p  (p  q) (~p  p)  q) 1  q 1

(p↔q) Λ (pÅq) p q p↔q pÅq (p↔q) Λ (pÅq) 1

Soal latihan : Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran dan hukum equivalensi (p  q)  q q  (p  q) Tunjukkan bahwa (p  q)  (~q  ~p) berupakan Tautologi/kontradiksi/tidak keduanya, tanpa menggunakan tabel kebenaran

Konvers, Invers, & Kontraposisi Misal diketahui implikasi p  q Konvers-nya adalah q  p Invers-nya adalah ~p  ~q Kontraposisinya adalah ~q  ~p

Tabel Kebenaran p q ~p ~q p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p 1

Soal Latihan 11. Apakah Konvers, invers, dan Kontraposisi kalimat dibawah ini : Jika A merpakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu persegi panjang. Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil

Argumen Valid dan Invalid LOGICINFERENCE Menentukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai kebenarannya. Argumen Valid dan Invalid

Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

Single statement Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

Single statement Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

Multiple statement Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

PREMIS Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH CONCLUSION

ARGUMENT Semua anak gaul penggemar SM*SH Badu adalah anak gaul Badu adalah penggemar SM*SH

Menentukan Argumen Valid/Invalid Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar. Dalam Baris kritis tersebut, jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut invalid.

Contoh : Tentukan apakah Argumen ini Valid/Invalid. Penyelesaian : Ada 2 Hipotesa, masing-masing p  (q  r) dan ~ r. Kesimpulannya adalah p  q. Tabel kebenaran hipotesa2 dan kesimpulan adalah sbb : Baris Kritis adalah baris 2, 4, dan 6 (baris yang semua hipotesanya bernilai 1 ). Pada baris-baris tersebut kesimpulannya juga bernilai 1. Maka argumen tersebut bernilai valid.

h1 h2 h1 Λ h2 Λ ... Λ hn → c ... TAUTOLOGY? hn ARGUMENT is VALID ∴ c

h1: p h2: p h1: Jika Badu anak gaul maka ia penggemar SM*SH h2: Badu adalah anak gaul h2: Badu adalah anak gaul ∴ Badu adalah penggemar SM*SH h1: p h2: p

h1: p h2: p → h1: Jika Badu anak gaul maka ia penggemar SM*SH h2: Badu adalah anak gaul ∴ Badu adalah penggemar SM*SH h1: p h2: p →

h1: p h2: p → q c: q h1: Jika Badu anak gaul maka ia penggemar SM*SH h2: Badu adalah anak gaul ∴ Badu adalah penggemar SM*SH ∴ Badu adalah penggemar SM*SH h1: p h2: p → q c: q

Metode-metode Inferensi teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesayang ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran

Modus Ponen p → q p VALID ∴ q

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran yang tampak pada tabel berikut. Baris ke p q p  q * 1

Modus Tollen p → q ¬q ∴ ¬p Contoh: Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati Zeus tidak dapat mati ---------------------------------------------------------  Zeus bukan seorang manusia.

Silogisme p → q q → r ∴ p → r Silogisme Hipotesis Contoh : Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis dibagi 9 Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 -----------------------------------------------------------------------------------  18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.

p V q ¬q ∴ p Silogisme Disjungtif Contoh : Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di rumah Kunci kamarku tidak ada di sakuku -----------------------------------------------------------------  Kunci kamarku tertinggal di rumah

Simplifikasi p Λ q p Λ q ∴ p ∴ q Penyederhanaan Konjungtif Contoh : Lina menguasai bahasa Basic dan Pascal -------------------------------------------------  Lina mengusai bahasa Basic

Konjungsi p q ∴ p Λ q

Addition p ∴ p V q

Dilema Konstruktif (p→q)Λ(r→s) pVr ∴ qVs

Dilema Destruktif (p→q)Λ(r→s) ¬qV¬s ∴ ¬pV¬r

Exercise p Λ q (p V q) → r ∴ r

Exercise h1: Jika saya suka Informatika, maka saya belajar sungguh-sungguh h2: Saya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal ∴ Jika saya gagal, maka saya tidak suka informatika

Jika Sangkuni masuk ke TKP pada saat kejadian, maka Srikandi pasti melihatnya Yang bisa masuk ke TKP pada saat kejadian hanyalah Sangkuni atau Cakil Srikandi tidak melihat Sangkuni masuk ke TKP pada saat kejadian Jika Rahwana masuk ke TKP pada saat kejadian, maka pasti Rahwana pencurinya Jika Sangkuni masuk ke TKP pada saat kejadian, maka pasti Sangkuni pencurinya Jika Cakil masuk ke TKP pada saat kejadian, maka pasti Cakil pencurinya