RING Suatu ring (R;+;x) adalah himpunan tidak kosong yang pada tiap elemennya berlaku dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian yang memenuhi axioma-axioma 1 s/d D.
Axioma ring:
Tipe – Tipe ring Ring Komutatif Definisi: Ring (R ; +; x) yang memenuhi sifat komutatif perkalian disebut ring komutatif ( axioma 1 s/d D + 5’ ) 5’ komutatif terhadap ( x) a x b = b x a
2. Ring dengan Elemen Satuan Definisi: ring ( R; +; x) yang mempunyai elemen satuan terhadap (x) disebut ring dengan elemen satuan terhadap perkalian (axioma 1 s/d D + 3’) 3’ terdapat elemen satuan (x) 1x a = a x 1 =a
Contoh soal Selidiki apakah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap + dan x suatu ring komutatif dengan elemen satuan
Jadi himpunan bilangan bulat modulo 7 merupakan ring
IDEAL Definisi: Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kiri bila hanya bila memenuhi sifat- sifat berikut: 1. 2.
Definisi: Suatu himpunan bagian tidak kosong I dari ring R disebut ideal kanan bila hanya bila memenuhi sifat berikut: 1. 2.
Definisi: Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal dua sisi (ideal) bila hanya bila memenuhi sifat berikut: 1. 2. dan
Contoh soal: Bila I dan J masing-masing ideal kiri dari ring R, maka I + J = { a + b | a I dan b J) adalah juga ideal kiri dari ring R.
2. Karena syarat (1) dan (2) dipenuhi oleh I + J maka I + J adalah ideal kiri dari ring R