BAB 2. KOMBINATORIKA 2.1 HUKUM PENGGANDAAN Teorema: [Hukum penggandaan] Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap cara dapat dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya sampai sederetan k buah operasi, maka operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan n1 × n2 × n3 × … × nk cara Operasi-1 Operasi-2 ………. Operasi-k n1 cara n2 cara nk cara n1 × n2 × n3 × … × nk cara Contoh: 1. Misalkan dalam suatu ujian disediakan 5 soal tipe Benar Salah. Ada berapa cara kelima soal tersebut dapat dijawab. 2. Disediakan tiga angka, yaitu 4, 5 dan 6. Tentukan berapa banyak bilangan puluhan yang dapat dibentuk, jika setiap angka hanya boleh digunakan satu kali.

Teorema: [Hukum penjumlahan] Jika suatu operasi dapat diselesaikan dengan k alternatif, alternatif pertama dapat dilakukan dengan n1 cara ,alternatif kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya sampai alternatif ke-k dengan nk cara, maka operasi tersebut dapat dikerjakan dengan n1 + n2 + n3 + … + nk cara Operasi ………. Alternatif-1 Alternatif-2 Alternatif-k n1 cara n2 cara nk cara n1 + n2 + n3 + … + nk cara Contoh: Misalkan dalam suatu ujian disediakan 3 soal tipe Benar-Salah. Dari 3 soal cukup dikerjakan 2 soal saja. Ada berapa cara kedua soal tersebut dapat dijawab? 2.3 PERMUTASI Definisi: [Permutasi] Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya. Catatan: 1. Urutan diperhatikan dalam permutasi. 2. Permutasi merupakan bentuk khusus dari hukum penggandaan

P(n,n) = n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2× 1. Teorema: Jika ada n benda yang berbeda, maka banyaknya susunan yang berbeda (permutasi) dari n benda tersebut adalah P(n,n) = n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2× 1. Tempat-1 Tempat-2 ………. Tempat-n n cara n-1 cara 1 cara n × (n-1) × (n-2) × …× 2 × 1 cara Catatan: 1. P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n. 2. 0! = 1. Teorema: Jika benda sejenis tidak dibedakan, banyaknya permutasi dari n benda, dengan n1 benda memiliki jenis pertama, n2 benda memiliki jenis kedua, dan seterusnya hingga nk benda memiliki jenis ke k adalah dengan n1+ n2 + … + nk = n. Teorema: Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda, jika diambil r benda sekaligus adalah Catatan: P(n,r) dibaca permutasi tingkat r dari n.

Bukti: Tempat-1 Tempat-2 ………. Tempat-r n cara n-1 cara n - r + 1 cara n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1) cara Contoh: 1. Terdapat 3 buah buku matematika, 4 buah buku fisika dan 5 buah buku kimia. Buku-buku tersebut akan disusun memanjang dalam suatu rak buku. Tentukan banyak cara yang mungkin: a. jika semua buku dibedakan, b. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan, c. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan, tetapi kelompok buku matematika harus diletakkan paling awal, d. jika buku yang sama tidak dibedakan (buku matematika dan fisika semua berbeda, sedangkan buku kimia terdiri dari 3 buku Kimia I dan dua buku Kimia II). 2. Empat orang siswa akan membentuk suatu grup musik dengan alat musik: gitar, piano, drum dan keyboard. Ada berapa formasi grup musik yang dapat dibentuk: a. jika setiap siswa dapat memainkan keempat alat musik tersebut, b. jika siswa A hanya dapat bermain piano atau gitar, sedangkan ketiga temannya dapat memainkan semua alat musik, c. jika siswa A dan B hanya dapat bermain piano atau gitar, sedangkan kedua temannya dapat memainkan semua alat musik.

Definisi: [Permutasi melingkar] Permutasi melingkar adalah susunan melingkar yang dapat dibuat dari sekumpulan objek yang diambil seluruhnya atau sebagian. Catatan: 1. Permutasi melingkar hanya mempertimbangkan perbedaan posisi relatif suatu objek dengan objek di sebelah kanan dan kirinya. 2. Permutasi melingkar susunan berikut ABC, BCA dan CAB adalah sama. C B A C B A A B C 3. Jika xi melambangkan benda ke-i, maka n permutasi berikut x1 x2 x3 … xn-2 xn-1 xn x2 x3 x4 … xn-1 xn x1 x3 x4 x5 … xn x1 x2  xn x1 x2 … xn-3 xn-2 xn-1 dianggap sebagai satu permutasi melingkar saja.

Teorema: Banyaknya permutasi melingkar dari n benda yang berbeda adalah Contoh: Terdapat 15 balok yang terdiri atas: 6 balok putih, 4 balok merah, 3 balok biru dan 2 balok hitam. Balok-balok tersebut akan disusun melingkar. Tentukan banyaknya cara: a. jika semua balok dibedakan. b. jika balok sewarna dibedakan dan harus dikelompokkan. c. jika balok sewarna dibedakan dan harus dikelompokkan, serta kelompok putih harus bersebelahan dengan kelompok merah. 2.5 KOMBINASI Definisi: [Kombinasi] Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya. Catatan: urutan tidak diperhatikan dalam kombinasi Teorema: Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih sebanyak r benda adalah:

Teorema: Banyaknya cara membagi n benda yang berbeda ke dalam k buah sel, di mana sel pertama mempunyai kapasitas n1 benda, sel kedua mempunyai kapasitas n2 benda, dan seterusnya sampai sel ke-k mempunyai kapasitas nk benda, serta urutan benda dalam tiap sel tidak diperhatikan adalah : di mana n1 + n2 +…+ nk = n. Bukti: n benda Sel-1 Kapasitas n1 Sel-2 Kapasitas n2 Sel-k Kapasitas nk ………. cara cara cara cara Teorema: Jika ada n benda akan disebar ke k buah tempat, maka ada sebanyak kn cara penyebarannya. Catatan: Pada teorema di atas tidak terdapat batasan untuk kapasitas tempat.

Contoh: 1. Dalam ujian Matematika, mahasiswa diharuskan menjawab dan memilih 10 dari 12 soal yang diberikan. Tentukan: a. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin. b. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika 3 soal pertama harus dijawab. c. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika paling sedikit 3 dari 5 soal pertama harus dijawab. 2. Ada 3 guru dan 12 siswa yang akan pergi bertamasya dengan menggunakan 3 mobil. Mobil pertama, kedua dan ketiga masing-masing berkapasitas 4, 6 dan 5 orang. Tentukan banyaknya cara untuk: a. mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil. b. mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika di setiap mobil harus ada guru. c. mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika siswa A dan B harus berada dalam satu mobil. 3. Tiga buah kelereng akan disebar ke dua kotak. a. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin. b. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin, jika setiap kotak harus terisi paling sedikit 1 kelereng. 4. Empat orang guru akan ditempatkan pada 2 sekolah. a. Tentukan ada berapa cara penempatan. b. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika setiap sekolah minimal mendapat 1 guru. c. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika masing- masing sekolah mendapat 2 guru.