12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma Divide and Conquer Intelligence, Computing, Multimedia (ICM)

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Divide and Conquer dulunya adalah strategi militer yang dikenal dengan nama divide ut imperes. Sekarang strategi tersebut menjadi strategi fundamental di dalam ilmu komputer dengan nama Divide and Conquer. 2 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Divide: membagi masalah menjadi beberapa upa-masalah yang memiliki kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil (idealnya berukuran hampir sama), Conquer: memecahkan (menyelesaikan) masing- masing upa-masalah (secara rekursif), dan Combine: mengabungkan solusi masing-masing upa-masalah sehingga membentuk solusi masalah semula. 3 Definisi CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Obyek permasalahan yang dibagi : masukan (input) atau instances yang berukuran n seperti: - tabel (larik), - matriks, - eksponen, - dll, bergantung pada masalahnya. Tiap-tiap upa-masalah mempunyai karakteristik yang sama (the same type) dengan karakteristik masalah asal, sehingga metode Divide and Conquer lebih natural diungkapkan dalam skema rekursif. 4 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Skema Umum Algoritma Divide and Conquer CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Jika pembagian selalu menghasilkan dua upa- masalah yang berukuran sama: CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Mencari Nilai Minimum dan Maksimum (MinMaks) Persoalan: Misalkan diberikan tabel A yang berukuran n elemen dan sudah berisi nilai integer. Carilah nilai minimum dan nilai maksimum sekaligus di dalam tabel tersebut. 7 Contoh-contoh masalah CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Penyelesaian dengan Algoritma Brute Force CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma T(n) = (n – 1) + (n – 1) = 2n – 2 = O(n)

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Penyelesaian dengan Divide and Conquer CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Ukuran tabel hasil pembagian dapat dibuat cukup kecil sehingga mencari minimum dan maksimum dapat diselesaikan (SOLVE) secara lebih mudah. Dalam hal ini, ukuran kecil yang dipilih adalah 1 elemen atau 2 elemen. 10 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 MinMaks(A, n, min, maks) Algoritma: 1. Untuk kasus n = 1 atau n = 2, SOLVE: Jika n = 1, maka min = maks = A[n] Jika n = 2, maka bandingkan kedua elemen untuk menentukan min dan maks. 2. Untuk kasus n > 2, (a) DIVIDE: Bagi dua tabel A menjadi dua bagian yang sama, A1 dan A2 (b) CONQUER: MinMaks(A1, n/2, min1, maks1) MInMaks(A2, n/2, min2, maks2) (c) COMBINE: if min1 <min2 then min <- min1 else min <- min2 if maks1 <maks2 then maks <- maks2 else maks <- maks1 11 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kompleksitas waktu asimptotik:

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 MinMaks1 secara brute force : T(n) = 2n – 2 MinMaks2 secara divide and conquer: T(n) = 3n/2 – 2 Perhatikan: 3n/2 – 2 < 2n – 2, n  2. Kesimpulan: algoritma MinMaks lebih mangkus dengan metode Divide and Conquer. 15 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Mencari Pasangan Titik yang Jaraknya Terdekat (Closest Pair) Persoalan: Diberikan himpunan titik, P, yang terdiri dari n buah titik, (x i, y i ), pada bidang 2-D. Tentukan jarak terdekat antara dua buah titik di dalam himpunan P. 16 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma Jarak dua buah titik p 1 = (x 1, y 1 ) dan p 2 = (x 2, y 2 ):

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Hitung jarak setiap pasang titik. Ada sebanyak C(n, 2) = n(n – 1)/2 pasangan titik Pilih pasangan titik yang mempunyai jarak terkecil. Kompleksitas algoritma adalah O(n 2 ). 18 Penyelesaian dengan Algoritma Brute Force CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Asumsi: n = 2 k dan titik-titik diurut berdasarkan absis (x). Algoritma Closest Pair: 1. SOLVE: jika n = 2, maka jarak kedua titik dihitung langsung dengan rumus Euclidean. 19 Penyelesaian dengan Divide and Conquer CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB DIVIDE: Bagi himpunan titik ke dalam dua bagian, P left dan P right, setiap bagian mempunyai jumlah titik yang sama.

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CONQUER: Secara rekursif, terapkan algoritma D-and-C pada masing-masing bagian. 4. Pasangan titik yang jaraknya terdekat ada tiga kemungkinan letaknya: (a) Pasangan titik terdekat terdapat di bagian P Left. (b) Pasangan titik terdekat terdapat di bagian P Right. 21 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 (c) Pasangan titik terdekat dipisahkan oleh garis batas L, yaitu satu titik di P Left dan satu titik di P Right. Jika kasusnya adalah (c), maka lakukan tahap COMBINE untuk mendapatkan jarak dua titik terdekat sebagai solusi persoalan semula. 22 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Jika terdapat pasangan titik p l and p r yang jaraknya lebih kecil dari delta, maka kasusnya adalah: (i) Absis x dari p l dan p r berbeda paling banyak sebesar delta. (ii) Ordinat y dari p l dan p r berbeda paling banyak sebesar delta. 24 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Ini berarti p l and p r adalah sepasang titik yang berada di daerah sekitar garis vertikal L:

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Oleh karena itu, implementasi tahap COMBINE sbb: (i)Temukan semua titik di P Left yang memiliki absis x minimal x n/2 – delta. (ii ) Temukan semua titik di P Right yang memiliki absis x maksimal x n/2+ delta. Sebut semua titik-titik yang ditemukan pada langkah (i) dan (ii) tersebut sebagai himpunanP strip yang berisi s buah titik. Urut titik-titik tersebut dalam urutan absis y yang menaik. Misalkan q1, q2,..., qs menyatakan hasil pengurutan.

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Langkah COMBINE: CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kompleksitas algoritma: Solusi dari persamaan di atas adalah T(n) = O(n log n).

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Algoritma Pengurutan dengan Metode Divide and Conquer CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Algoritma: 1. Untuk kasus n = 1, maka tabel A sudah terurut dengan sendirinya (langkah SOLVE). 2. Untuk kasus n > 1, maka (a) DIVIDE: bagi tabel A menjadi dua bagian, bagian kiri dan bagian kanan, masing-masing bagian berukuran n/2 elemen. (b) CONQUER: Secara rekursif, terapkan algoritma D-and- C pada masing-masing bagian. (c) MERGE: gabung hasil pengurutan kedua bagian sehingga diperoleh tabel A yang terurut. 32 (a) Merge Sort CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB (b) Insertion Sort CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma Prosedur Merge dapat diganti dengan prosedur penyisipan sebuah elemen pada tabel yang sudah terurut (lihat algoritma Insertion Sort versi iteratif).

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kompleksitas waktu algoritma Insertion Sort:

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Termasuk pada pendekatan sulit membagi, mudah menggabung (hard split/easy join) Tabel A dibagi (istilahnya: dipartisi) menjadi A1 dan A2 sedemikian sehingga elemen-elemen A1  elemen-elemen A2. 45 (c) Quick Sort CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Teknik mem-partisi tabel: (i) pilih x  { A[1], A[2],..., A[n] } sebagai pivot, (ii) pindai tabel dari kiri sampai ditemukan A[p]  x (iii) pindai tabel dari kanan sampai ditemukan A[q]  x (iv) pertukarkan A[p]  A[q] (v) ulangi (ii), dari posisi p + 1, dan (iii), dari posisi q – 1, sampai kedua pemindaian bertemu di tengah tabel 47 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Cara pemilihan pivot: 1. Pivot = elemen pertama/elemen terakhir/elemen tengah tabel 2. Pivot dipilih secara acak dari salah satu elemen tabel. 3. Pivot = elemen median tabel 54 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kasus terbaik (best case) Kasus terbaik terjadi bila pivot adalah elemen median sedemikian sehingga kedua upatabel berukuran relatif sama setiap kali pempartisian. 55 Kompleksitas Algoritma Quicksort: CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kasus terburuk (worst case) Kasus ini terjadi bila pada setiap partisi pivot selalu elemen maksimum (atau elemen minimum) tabel. Kasus jika tabel sudah terurut menaik/menurun 57 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Kasus rata-rata (average case) Kasus ini terjadi jika pivot dipilih secara acak dari elemen tabel, dan peluang setiap elemen dipilih menjadi pivot adalah sama. T avg (n) = O(n 2 log n). 59 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB (d) Selection Sort CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Misalkan a  R dan n adalah bilangan bulat tidak negatif: a n = a × a × … × a (n kali), jika n > 0 = 1, jika n = Perpangkatan a n CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Penyelesaian dengan Divide and Conquer Algoritma menghitung a n : 1. Untuk kasus n = 0, maka a n = Untuk kasus n > 0, bedakan menjadi dua kasus lagi: (i) jika n genap, maka a n = a n/2  a n/2 (ii) jika n ganjil, maka a n = a n/2  a n/2  a 66 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Perkalian Matriks Misalkan A dan B dua buah matrik berukuran n  n. Perkalian matriks: C = A × B

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Algoritma Perkalian Matriks Strassen Hitung matriks antara: M1 = (A12 – A22)(B21 + B22) M2 = (A11 + A22)(B11 + B22) M3 = (A11 – A21)(B11 + B12) M4 = (A11 + A12)B22 M5 = A11 (B12 – B22) M6 = A22 (B21 – B11) M7 = (A21 + A22)B11 maka, C11 = M1 + M2 – M4 + M6 C12 = M4 + M5 C21 = M6 + M7 C22 = M2 – M3 + M5 – M7

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Persoalan: Misalkan bilangan bulat X dan Y yang panjangnya n angka X = x 1 x 2 x 3 … x n Y = y 1 y 2 y3… y n Hitunglah hasil kali X dengan Y Perkalian Dua Buah Bilangan Bulat yang Besar CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 Penyelesaian: T(n) = O(n 2 ). Ternyata, perkalian dengan algoritma Divide and Conquer seperti di atas belum memperbaiki kompleksitas waktu algoritma perkalian secara brute force. Adakah algoritma perkalian yang lebih baik? 86 CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB Perbaikan (A.A Karatsuba, 1962):

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB CSG523/ Desain dan Analisis Algoritma

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB

12-CRS-0106 REVISED 8 FEB 2013 THANK YOU