PROBABILITAS (LANJUTAN)

Presentasi berjudul: "PROBABILITAS (LANJUTAN)"— Transcript presentasi:

1 PROBABILITAS (LANJUTAN)

2 PELUANG SUATU KEJADIAN
Teori peluang bagi ruang sampel terhingga memberikan segugus bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang, dengan nilai dari 0 sampai 1, yang memungkinkan menghitung peluang terjadinya suatu kejadian. Peluang himpunan Ø adalah nol dan peluang S adalah 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ø) = 0; P(S) = 1

3 Contoh 1 : Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Berapa peluang sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali? Penyelesaian : Ruang contoh bagi percobaan ini adalah : S = {GG, GA, AG, AA} Bila uang itu setimbang, setiap kejadian mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Dengan demikian, kita berikan peluang yang sama w pada setiap titik contoh. Maka 4w = 1 atau w = ¼. Bila B adalah kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali maka P(B) = 3/4.

4 Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan ini menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A adalah:

5 KAIDAH PENJUMLAHAN Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A Ս B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Bila A dan B saling terpisah, maka P(A Ս B) = P(A) + P(B) Bila A1, A2, …, An saling terpisah, maka P(A1 Ս A2 Ս … Ս An ) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen P(A) + P(A’) = 1

6 Contoh : Peluang seorang mahasiswa lulus Matematika adalah 2/3, dan peluang lulus Bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu? Penyelesaian : Bila M adalah kejadian “lulus matematika” dan E adalah kejadian “lulus Bahasa Inggris”, maka dapat diperoleh : P(A Ս B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/3 + 4/9 – 4/5 = 14/45 Soal : Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan?

7 PELUANG BERSYARAT Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain A telah terjadi disebut peluang bersyarat, dilambangkan dengan P(B | A), dan didefinisikan sebagai :

8 Contoh : Peluang suatu penerbangan reguler berangkat tepat waktu adalah P(D) = 0,83; peluang penerbangan itu mendarat tepat waktu adalah P(A) = 0,92; dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat waktu adalah P(D Ç A) = 0,78. Hitung peluang bahwa suatu pesawat pada penerbangan itu : Mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat itu berangkat tepat waktu. b. Berangkat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat itu mendarat tepat waktu

9 KAIDAH PENGGANDAAN Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) Bila dua kejadian A dan B bebas, maka P(A ∩ B) = P(A) P(B) Bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak dapat terjadi, maka P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1 ∩ A2) ... P(Ak | A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak-1) Bila kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak bebas, maka P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2) P(A3) … P(Ak)

10 Contoh : Tiga kartu diambil berturut-turut dan tanpa pemulihan. Tentukan peluang bahwa kartu yang pertama terambil adalah as merah, yang kedua sepuluh atau jack, dan yang ketiga lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 7. Penyelesaian : Pertama-tama kita definisikan kejadian : A1 = kartu pertama adalah kartu as merah A2 = kartu kedua adalah sepuluh atau jack A3 = kartu ketiga adalah lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 7 P(A1) = 2/52 P(A2 | A1) = 8/51 P (A3 | A1 ∩ A2) = 12/50 Sehingga P (A­1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2) = (2/52) (8/51) (12/50) = 8/5525

11 P(A) = P(B1)P(A\B1) + P(B2)P(A\B2) + … + P(Bk)P(A\Bk)
KAIDAH BAYES Dalil Peluang Total yaitu Bila kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku : P(A) = P(B1)P(A\B1) + P(B2)P(A\B2) + … + P(Bk)P(A\Bk) KAIDAH BAYES bila kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(Bi) ¹ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0,

12 Contoh : Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan menjadi ketua. Peluang Tuan Adams terpilih adalah 0,3; peluang Tuan Brown terpilih adalah 0,5; dan peluang Nyonya Cooper terpilih adalah 0,2. Seandainya Tuan Adams terpilih, peluang terjadinya kenaikan iuran anggota adalah 0,8. Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper terpilih, peluang kenaikan iuran anggota masing-masing adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang terjadinya kenaikan iuran anggota?

13 Penyelesaian : Perhatikan kejadian-kejadian berikut : A = iuran anggota dinaikkan B1 = Tuan Adams terpilih B2 = Tuan Brown terpilih B3 = Nyonya Cooper terpilih Dengan menerapkan kaidah eliminasi, dipeoleh : P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) Dari diagram pohon dalam gambar dibawah ini, ketiga cabang itu memberikan peluang-peluang P(B1)P(A|B1) = (0.4)(0.8) = 0.24 P(B2)P(A|B2) = (0.5)(0.1) = 0.05 P(B3)P(A|B3) = (0.2)(0.4) = 0.08 Sehingga : P(A) = = 0.37

14 Contoh : Untuk masalah pada soal sebelumnya, misalnya seseorang bermaksud menjadianggota organisasi tersebut, tetapi ia menunda keputusannya beberapa minggu. Ternyata iuran anggotanya telah dinaikkan. Berapa peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi organisasi tersebut? Penyelesaian : Dengan menggunakan kaidah bayes didapatkan :