Riri Irawati, M.Kom 3 SKS Aljabar Proposisi.

Presentasi berjudul: "Riri Irawati, M.Kom 3 SKS Aljabar Proposisi."— Transcript presentasi:

1 Riri Irawati, M.Kom 3 SKS Aljabar Proposisi

2 AGENDA DEFINISI PROPOSISI TABEL KEBENARAN (Truth Table) HEURISTIK
TAUTOLOGI (Tautology) KONTRADIKSI (Contradiction) KONTIGENSI EKIVALEN LOGIC (Logical Equivalence) ALJABAR PROPOSISI (Algebra of Proposition) ATURAN PENYIMPULAN IMPLIKASI LOGIK (Logical Implication)

3 Definisi Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

4 “Gajah lebih besar daripada tikus.”
Permainan “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR

5 Permainan “520 < 111” Apakah ini sebuah proposisi? YA
Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH

6 Permainan TIDAK Apakah ini sebuah proposisi?
“y > 5” TIDAK Apakah ini sebuah proposisi? Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

7 “Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.”
Permainan “Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.” Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH

8 “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Permainan “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan.

9 Contoh Apakah semua kalimat di bawah ini merupakan proposisi ?
(a) 13 adalah bilangan ganjil (b) Soekarno adalah alumnus UGM. (c) = 2 (d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f)  Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

10 PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN
Suatu proposisi yang dinyatakan dengan : P(p,q,….), Q(p,q,….), ……atau P,Q,…. Adalah polinomial Boole dalam variabel p,q,…. Untuk menentukan harga kebenaran dari suatu proposisi dapat digunakan Tabel Kebenaran (Truth Table). Cara membuat tabel kebenaran ada 2 cara.

11 Cara I tabel kebenaran Tabel kebenaran dari Proposisi ~(p  ~q) adalah :

12 Cara II tabel kebenaran
~ (p ᴧ ~q)

13 Buatlah tabel kebenaran dgn menggunakan cara I dan II dari (p v ~q)  ~p

14 Heuristik Heuristik adalah cara untuk membantu bagaimana suatu kalimat majemuk diubah kedalam bentuk ekspresi logika. Langkah-langkah nya: Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek tanpa kata “dan”, “atau”, “jika..maka..”, “..jika dan hanya jika..”, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah. Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisi. Rangkailah variabel-variabel proposisi dengan perangkai yang relevan. Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat.

15 Contoh Jika Badu rajin belajar dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak rajin belajar dan tidak sehat, maka badu tidak lulus ujian. Buatlah ekspresi logika dari proposisi majemuk tersebut! Jawab: Langkah 1: Menentukan proposisi-proposisi yang tepat (1) Badu rajin belajar. (2) Badu sehat. (3) Badu lulus ujian. Langkah 2 : Mengganti proposisi dengan variabel proposisi p = Badu rajin belajar. q = Badu sehat. r = Badu lulus ujian. Langkah 3 : Perangkai yang relevan adalah implikasi (), negasi (-), atau (), dan (). Langkah 4 : Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk ((p  q) r) ((-p  -q) -r)

16 Contoh Latihan Buatlah ekspresi logika dari proposisi majemuk berikut:
1. Jika anda mengambil matakuliah logika matematika dan anda tidak memahami tautologi, maka anda tidak lulus.

17 TAUTOLOGI Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan tabel kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposional yang ada bernilai benar atau True, maka disebut Tautologi. Contoh : buktikan apakah (p-p) adalah tautologi. p ~p p v ~p

18 Contoh Buktikan apakah proposisi-proposisi berikut merupakan tautologi. 1. –(A  B)  B 2. (AB)(C(-B-C)) 3. ((AB) C) A

19 Kontradiksi Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi, yakni jika pada semua pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai salah atau False. Contoh : buktikan apakah (p  -p) adalah kontradiksi p ~p p  ~p

20 Contoh Buktikan apakah ((A  B)  A)  B) adalah kontradiksi !

21 Contoh Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut merupakan tautologi atau kontradiksi? a. ((p v q) ᴧ ~p) ᴧ ~q) b. ((p  q) v p)  p

22 KONTIGENSI Definisi : kontigensi adalah suatu proposisi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi. Contoh pada tabel kebenaran. p q p v q

23 Contoh Buktikan apakah proposisi berikut merupakan kontigensi: ((AB)(BC))(CA)

24 EKIVALEN LOGIK Perhatikan proposisi berikut !
1) Dewi sangat cantik dan peramah. 2) Dewi peramah dan sangat cantik. Dari kedua pernyataan tersebut diatas, secara sekilas tampak ekivalen atau sama saja, yang dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini: p: Dewi sangat cantik q: Dewi peramah Maka ekspresi logika tersebut adalah : 1) p ᴧ q 2) q ᴧ p Jika kedua ekspresi logika tersebut ekivalen secara logis, maka dapat ditulis (p ᴧ q ) ≡ (q ᴧ p)

25 EKIVALEN LOGIK Dua proposisi p dan q disebut ekivalen logik bila keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama. Contoh: Buktikan (p q)  ( q  p)  p  q

26 LATIHAN SOAL 1. Dgn menggunakan tabel kebenaran tunjukkan kesetaraan (ekivalen): a. ~(p ᴧ q) ≡ ~p v ~q c. p  (q v r) ≡ (p ᴧ ~q)  r b. p  (q v r) ≡ (p ᴧ ~r)  q 2. Tunjukkan pernyataan2 majemuk berikut ini merupakan suatu tautologi : a. ((~p ~q) ᴧ q) p b. (p ᴧ q)  (p  q) 3. Dengan menggunakan table kebenaran, selidiki apakah pernyataan berikut suatu tautologi, kontradiksi atau kontigensi ! a. p ᴧ ~q e. (p v q)  ~q b. ~(p v q)  ~p ᴧ ~q f. ~p v q c. (p ᴧ q) v ~p d. (p ᴧ ~q) v (~p ᴧ q)

27 Latihan Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekivalen dengan menggunakan tabel kebenaran. 1. AB  ( AB)(BA) 2. A(AB)  T 3. (AB)C  (AB)C 4. AB  (AB) 5. ((AB)B)  F Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logikan berikut termasuk tautologi, kontradiksi atau kontigensi. 6.   AA 7. A(B A) 8. (A  (A  B))B 9. AB ( AB) 10. (A(BC))((A B)(AC)) 11. (AB)((AB)(AB)) 12. (AB)(BC))(AC)

28 HUKUM ALJABAR PROPOSISI (ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan: Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel kebenaran) Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain menggunakan tabel kebenaran) Membuktikan ke-sah-an suatu argumen.

29 Hukum aljabar proposisi
1. Hukum Idempoten ( p  p )  p ( p  p )  p 2. Hukum Assosiatif ( p  q )  r  p  ( q v r ) ( p  q )  r  p  ( q  r ) 3. Hukum Komutatif ( p  q )  ( q  p ) ( p  q )  ( q v p ) 4. Hukum Distributif ( p  q )  r  ( p  r )  ( q  r ) ( p  q )  r  ( p v r )  ( q  r )

30 Hukum aljabar proposisi
5. Hukum Identitas p v F  p p v T  T p  F  F p  T  p 6. Hukum Komplemen p v ~ p  T p  ~ p  F ~(~ p)  p ~(T)  F dan ~ (F)  T 7. Transposisi p  q  ~ q  ~ p

31 Hukum aljabar proposisi
8. Hukum Implikasi p  q  ~ p v q 9. Hukum Ekivalensi p  q  ( p  q )  ( q  p ) p  q  ( p  q ) v ( ~ p  ~ q ) 10. Hukum Eksportasi p  ( q  r )  ( p  q )  r 11. Hukum de Morgan ~ ( p  q )  ~ p v ~ q ~ ( p v q )  ~ p  ~ q

32 ALJABAR PROPOSISI Proposisi berikut adalah ekivalen logik p  p  p
(p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) p  q  q  p p  q  q  p p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  f  p p  t  p p  t  t p  f  f p  ~ p  t p  ~ p  f ~~p  p ~t  f, ~ f  t ~(p q)  ~ p ᴧ~ q ~(p  q)  ~ p v ~ q

33 HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI
Proposisi berikut adalah ekivalen logik P  P  P Hukum Idem (P  Q)  R  P  (Q  R) Hukum Asosiatif P  Q  Q  P Hukum Komutatif P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) Hukum Distributif P  F  P Hukum Identitas P  T  T P  ~ P  T Hukum Komplemen ~~P P ~(P Q)  ~ P  ~ Q Hukum De Morgan

34 Contoh 1 Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran dan aljabar proposisi bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q keduanya ekivalen secara logik!

35 Penyelesaian Contoh 1 p  ~(p  q )  p  (~p  ~q) (Hukum De Morgan)  (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum distributif)  T  (p  ~q) (Hukum negasi)  p  ~q (Hukum identitas)

36 Contoh 2 Buktikan : p  (p  q) ≡ p

37 Penyelesaian Contoh 2 p  (p  q) ≡ (p  F)  (p  q) (Hukum Identitas) ≡ p  (F  q) (Hukum distributif) ≡ p  F (Hukum Null) ≡ p (Hukum Identitas)

38 Soal Latihan 1. Gunakan dalil de morgan untuk menentukan proposisi yang ekivalen dengan : a. ~ (p  ~q) b. ~ ((~p  q) v ~r) c. ~ (~(~p v q) v ~(r  ~s)) 2. Dengan menggunakan aljabar proposisi dan tabel kebenaran, buktikan bahwa proposisi majemuk berikut adalah tautologi. a. ((pq) ᴧ (q r)) (p r) b. ((pq) ᴧ ~q)  ~p c. ((qp) ᴧ (~r  ~p))  (r v ~q) 3. Buktikan bahwa : a. ~(~p  q)  (p  r) ≡ p  (~q  r) b. (pq) ᴧ (~q ᴧ (r v ~q)) ≡ ~(q v p) c. p v (p  (p v q)) ≡ p

39 Argumentasi (Aturan penyimpulan)
Argumen adalah kumpulan pernyataan – pernyataan atau premis- premis atau dasar pendapat serta kesimpulan (konklusi). Argumen merupakan suatu proposisi berbentuk : [ H1 ᴧ H2 ᴧ H3 ᴧ ... ᴧ Hn ]  K Notasi: H1 (p,q,…) H2 (p,q,…)  K (p,q,…) H1, H2,.. : masing-masing disebut premis. {H1, H2,..} : bersama-sama disebut hipotesa. K, ∴ : adalah kesimpulan/konklusi.

40 Kebenaran/validitas Argumen
Contoh: Jika biner maka disain logika Jika disain logika maka digital  Jika biner maka digital Nilai kebenaran argumen tergantung dari nilai kebenaran masing-masing premis dan kesimpulannya. Suatu argumen dikatakan benar bila masing-masing premisnya benar dan kesimpulannya juga benar.

41 Argumen tersebut dapat ditulis dengan notasi: p  q disebut premis 1
Untuk Contoh 1: Jika biner maka disain logika Jika disain logika maka digital  Jika biner maka digital Argumen tersebut dapat ditulis dengan notasi: p  q disebut premis 1 q  r disebut premis 2  p  r disebut konklusi

42 Argumen Suatu argumen dikatakan sah jika bentuk proposisinya adalah suatu tautologi. Perhatikan bahwa argumen yang sah merupakan suatu bentuk implikasi; artinya bila masing-masing H1, H2,..,Hn bernilai benar dan implikasi tersebut bernilai benar maka K haruslah bernilai benar. Dengan kata lain, jika semua premis bernilai benar dan argumen adalah sah maka kesimpulan pasti bernilai benar. Suatu argumen dikatakan tidak sah jika proposisinya bukan tautologi.

43 Contoh Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak sah.
“Jika hari hujan maka saya membawa payung. Ternyata, saya tidak membawa payung. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa hari tidak hujan. Jawab. Misalkan : p : hari hujan q : saya membawa payung Argumen diatas biasa dituliskan sebagai berikut ini : H1 : p  q H2 : ~q K : ~p

44 Lanjutan contoh Untuk memeriksa apakah argumen tersebut sah atau tidak sah, maka harus diperiksa apakah implikasi (H1 ᴧ H2)  K berupa suatu tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran.

45 Contoh Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak sah ! H1 : ~p
H2 : pq K : ~q Jawab: Dengan menggunakan tabel kebenaran akan diperiksa apakah proposisi (H1 ᴧ H )  K merupakan tautologi.

46 Contoh Periksa kesahan argumen berikut ini :
“Penggundulan hutan bakau mengakibatkan kota Jakarta banjir. Pada musim hujan yang lalu, kota Jakarta dilanda banjir. Maka dapat disimpulkan bahwa telah terjadi penggundulan hutan bakau.” Jawab : Dengan memisalkan : p : penggundulan hutan bakau q : kota jakarta banjir Maka argumen diatas dapat ditulikan sebagai berikut : H1 : p q H2 : q K : p Argumen tersebut dapat dituliskan sebagai ((p q) ᴧ q)  p dan untuk membuktikan argumen tersebut tautologi atau bukan gunakan dalil kesetaraan (ekivalen). ((p q) ᴧ q)  p ≡ T ???

47 ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
1. Modus Ponens (MP) Teorema : Jika proposisi p benar dan proposisi pq juga benar, maka kesimpulan q benar. Modus ponens dapat dituliskan sebagai berikut: p  q p ∴ q Modus ponens adalah suatu argumen yang sah karena ((p q) ᴧ p)  q suatu tautologi (buktikan!) ((p q) ᴧ p)  q ≡ T

48 Contoh Premis 1 : Jika ibu datang maka adik senang Premis 2 : Ibu datang Kesimpulan : Adik senang

49 Contoh Modus Ponens Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak!
“Segitiga ABC adalah suatu segitiga siku-siku. Jika segitiga ABC adalah siku-siku maka kuadrat sisi miring segitiga ABC sama dengan jumlah kuadrat sisi-sikunya. Jadi dapat disimpulkan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku ABC sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.” Jawab : p : q : Proposisi diatas dapat dinyatakan sbb : Menurut modus ponens, maka argumen tersebut adalah...

50 ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
2. Modus Tollens (MT) Modus tollens dapat dituliskan sebagai berikut: p  q ~ q ∴ ~ p Modus tollens adalah suatu argumen yang sah. Dengan menggunakan aljabar proposisi dapat ditunjukkan ke-sah-an argumen ini, yaitu dengan menunjukkan bahwa ((pq) ᴧ ~q) ~p ≡ T (buktikan!) Bila bentuk implikasi pada modus tollens diatas yakni p  q diganti dengan kontrapositifnya yakni ~q~p, maka diperoleh bentuk modus ponens.

51 Contoh Premis 1 : Jika hari hujan maka ibu memakai payung. Premis 2 : Ibu tidak memakai payung. Kesimpulan : Hari tidak hujan.

52 ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
3. Silogisme (Sil) Teorema : Jika dua implikasi p  q dan q  r adalah benar, maka kesimpulan p  r juga benar. Dengan lambang, kaidah silogisme dapat dituliskan dengan: p  q q  r ∴ p  r Argumen ini dapat diperiksa ke-sah-annya dengan menggunakan aljabar proposisi, yakni dengan menunjukkan ((p  q) ᴧ (q  r))  (p  r) ialah tautologi.

53 Untuk argumen yang mengandung lebih dari dua implikasi, kaidah silogisme tentunya juga berlaku.
p  q q  r r  s ∴ p  s Berdasarkan kaidah silogisma, argumen pada dua buah teladan berikut ini adalah sah. Untuk memudahkan, argumen pada teladan yang pertama dapat dituliskan dalam bentuk silogisme yang menyangkut dua buah implikasi. Sementara, untuk teladan kedua adalah silogisme yang menyangkut tiga buah implikasi.

54 Contoh kaidah silogisme
Perhatikan argumen berikut : “Ronaldo tidak berambut gondrong atau Rivaldo mendapat sepatu emas. Jika Rivaldo mendapat sepatu emas, maka Zidano membeli talas di Bogor. Ronaldo berambut gondrong atau tadi pagi turun hujan. Ternyata, Zidano tidak membeli talas di Bogor. Jadi kesimpulannya, tadi pagi turun hujan.” Tentukan kesahan argumen tersebut!

55 Jawab Dengan menggunakan aturan inferensia diperoleh:
H1 : p  q H2: q  r K1: p  r (kaidah silogisme) H4: ~r K2: ~p (modus tollens) H3: ~p  s K : s (modus ponens) Jadi argumen tersebut sah p: Ronaldo berambut gondrong q: Rivaldo mendapatkan sepatu emas r: Zidano membeli talas di bogor s: tadi pagi turun hujan Argumen tersebut dapat dituliskan sebagai : H1: ~p v q = p  q H2: q  r H3: p v s = ~p  s H4: ~r K : s

56 ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
4. Distruktif Silogisma (DS) p v q ~p ∴ q 5. Konstruktif Delema (KD) (pq) ∧ (r  s) p v r ∴ q v s 6. Distruktif Delema (DD) (p  q) ∧ (r  s) ~q v ~s ∴ ~p v ~r

57 ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
8. Simplifikasi (Simp) p ∧ q ∴ p 9. Adisi (Ad) p ∴ p v q 10. Konjungsi (Konj) q ∴ p ∧ q

58 Contoh soal

59 Contoh soal

60 Latihan Tentukan kesahan argumen-argumen dibawah ini! 1. “Jika gaji pegawai negri naik, maka harga sembako naik. Jika harga sembako naik, maka masyarakat berpenghasilan kurang dari Rp per bulan akan menderita penyakit maag. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika gaji pegawai negri naik, maka masyarakat berpenghasilan kurang dari Rp per bulan akan menderita penyakit maag. 2. “Jika hutan Kalimantan terbakar maka udara akan dicemari oleh abu. Jika udara dicemari abu, maka jarak pandang menjadi kurang dari 10m. Jika jarak pandang kurang dari 10m, maka semua penerbangan ke Kalimantan terganggu. Jika semua penerbangan ke Kalimantan terganggu, maka perekonomian di Kalimantan memburuk. Jadi dapat disimpulkan bahwa jika hutan kalimantan terbakar maka perekonomian di Kalimantan memburuk. 3. Jika hari ini hari ulang tahunku, maka pastilah hari ini tanggal 25 Desember. Hari ini tanggal 25 Desember. Oleh karena itu, hari ini adalah hari ulang tahunku. 4. Jika terdakwa bersalah, maka dia akan berada ditempat kejadian perkara. Terdakwa tidak berada ditempat kejadian perkara. Jadi terdakwa tidak bersalah. 5. Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau dia tidak menangis. Jika bayi tertawa, maka mukanya merah. Jadi, jika bayi lapar maka mukanya merah.