Disampaikan Oleh : Yusuf Nurrachman, ST, MMSI

Presentasi berjudul: "Disampaikan Oleh : Yusuf Nurrachman, ST, MMSI"— Transcript presentasi:

1 Disampaikan Oleh : Yusuf Nurrachman, ST, MMSI
Teknik Searching Dengan Metode Pencarian Heuristik (Heuristic Searching) Disampaikan Oleh : Yusuf Nurrachman, ST, MMSI

2 Metode Heuristic Searching
Kata Heuristic berasal dari sebuah kata kerja bahasa Yunani, heuriskien, yang berarti ‘mencari’ atau ‘menemukan’. Di dalam mempelajari metode – metode pencarian , kata heuristik diartikan sebagai suatu fungsi yang memberikan suatu nilai berupa biaya perkiraan (estimasi) dari suatu solusi

3 Metode – metode Generate and Test
Hill Climbing (Simple Hill Climbing & Steepest-Ascent Hill Climbing) Simulated Annealing Best First Search Algoritma A*

4 Pembangkitan & Pengujian (Generate and Test)
Metode ini merupakan penggabungan antara Depth First Search dengan pelacakan mundur (backtracking), yaitu bergerak ke belakang menuju pada suatu keadaan awal. Nilai pengujian berupa jawaban ‘ya’ atau ‘tidak’.

5 Pembangkitan & Pengujian (Generate and Test)
Algoritma Bangkitkan suatu kemungkinan solusi (membangkitkan suatu titik tertentu atau lintasan tertentu dari keadaan awal) Uji apakah node tersebut benar – benar merupakan solusinya dengan cara membandingkan node tersebut atau node akhir dari suatu lintasan yang dipilih dengan kumpulan tujuan yang diharapkan. Jika solusi ditemukan, keluar. Jika tidak, ulangi kembali langkah yang pertama.

6 Contoh Kasus: Traveling Salesman Problem ( TSP )
Seorang salesman ingin mengunjungi “n” kota. Jarak antara tiap – tiap kota sudah diketahui. Kita ingin mengetahui rute terpendek dimana setiap kota hanya boleh dikunjungi tepat 1 kali. Misalkan ada 4 kota dengan jarak antara tiap – tiap kota seperti terlihat pada gambar berikut ini :

7 Traveling Salesman Problem ( TSP )
Disini, penyelesaian dengan menggunakan generate & Test dilakukan dengan membangkitkan solusi – solusi yang mungkin dengan menyusun kota – kota dalam urutan abjad, yaitu : A B C D 8 3 4 6 7 5 A – B – C – D A – B – D – C A – C – B – D A – C – D – B Dst….

8 Metode Generate dan Test
Langkah awal mulai dari node A Pilih sebagai keadaan awal adalah lintasan ABCD dengan panjang lintasan (19) Lakukan Bactracking untuk mendapatkan lintasan ABDC dengan panjang lintasan (=18) Bandingkan ABDC dengan Lintasan ABCD ternyata ABDC < ABCD, sehingga terpilih lintasan ABDC Lakukan kembali langkah Bactracking untuk mendapatkan lintasan ACBD (=12), ternyata ACBD < ABDC, maka lintasan terpilih sekarang adalah ACBD. Demikian seterusnya sampai ditemukan solusi yang sebenarnya. A B C D

9 Panjang Lintasan Terpilih
Tabel alur pencarian dengan Generate & Test Pencarian ke - Lintasan Panjang Lintasan Lintasan Terpilih Panjang Lintasan Terpilih 1 ABCD 19 2 ABDC 18 3 ACBD 12 4 ACDB 13 5 ADBC 16 6 ADCB 7 BACD 17 8 BADC 21 9 BCAD 15 10 BCDA 11 BDAC 14 BDCA CABD CADB CBAD 20 CBDA CDAB

10 Panjang Lintasan Terpilih
Tabel alur pencarian dengan Generate & Test Pencarian ke - Lintasan Panjang Lintasan Lintasan Terpilih Panjang Lintasan Terpilih 18 CDBA ACBD 12 19 DABC 20 DACB 15 21 DBAC 22 DBCA ACBD atau DBCA 23 DCAB 17 24 DCBA

11 Metode Generate dan Test (Kelemahan)
Salah satu kelemahan dari Generate dan Test adalah perlu membangkitkan semua kemungkinan sebelum dilakukan pengujian, sehingga membutuhkan waktu yang cukup besar dalam pencariannya.

12 Pendakian Bukit (Hill Climbing)
Metode ini hampir sama dengan metode pembangkitan & pengujian dilakukan dengan fungsi heuristik. Pembangkitan keadaan berikutnya sangat tergantung pada feedback dari prosedur pengetesan. Tes yang berupa fungsi heuristik ini akan menunjukkan seberapa baiknya nilai terkaan yang diambil terhadap keadaan – keadaan lainnya yang mungkin.

13 Simple Hill Climbing Algoritma :
Mulai dari keadaan awal, lakukan pengujian: jika merupakan tujuan maka, berhenti dan jika tidak lanjutkan dengan keadaan sekarang sebagai keadaan awal Kerjakan langkah – langkah berikut sampai solusinya di temukan atau sampai tidak ada operator baru yang akan diaplikasikan pada keadaan sekarang: Cari operator yang belum pernah digunakan; gunakan operator ini untuk mendapatkan keadaan yang baru. Evaluasi keadaan baru tersebut. Jika keadaan baru merupakan tujuan, keluar. Jika bukan tujuan, namun nilainya lebih baik daripada keadaan sekarang , maka jadikanlah keadaan baru tersebut menjadi keadaan sekarang. Jika keadaan baru tidak lebih baik daripada keadaan sekarang, maka lanjutkan iterasi.

14 3 Masalah yang mungkin pada Simple Hill Climbing
Algoritma akan berhenti kalau mencapai nilai optimum lokal. Urutan penggunaan operator akan sangat berpengaruh pada penemuan solusi. Tidak diijinkan untuk melihat satupun langkah sebelumnya

15 TSP Problem dengan Simple Hill Climbing dengan 6 operator
(19) ABCD Tk.1,2 Disebut dengan Succesor Tk.2,3 Tk.3,4 Tk 1,3 Tk.4,1 Tk.2,4 (17) BACD ACBD ABDC DBCA ADCB CBAD ABCD (15) BCAD BADC DACB BDCA CABD (20) CBAD BACD (18) BCDA (17) DCAB (14) BDAC ACBD Solusinya adalah Node (DBCA) = 12 (15) DBAC (21) BADC (13) BDCA CDAB BCAD ADBC (12) DBCA BCDA BDAC ADCB BACD CDBA BDCA (19) DCBA (15) DBAC (19) ABCD (15) DACB (16) CBDA

16 How ? Operator yang digunakan adalah menukar urutan posisi 2 kota dalam satu lintasan. Apabila ada “n” kota, dan kita ingin mencari kombinasi lintasan dengan menukar posisi urutan 2 kota maka akan mendapatkan sebanyak: n!/2(n-2)! Sehingga kalau ada 4 kota, kita bisa memperoleh: 4!/2!(4-2)!=6 kombinasi 6 operator akan kita pakai semuanya sebagai operator : yaitu : Tukar 1,2 (menukar urutan posisi kota ke-1 dengan kota ke-2) Tukar 2,3 (menukar urutan posisi kota ke-2 dengan kota ke-3) Tukar 3,4 (menukar urutan posisi kota ke-3 dengan kota ke-4) Tukar 4,1 (menukar urutan posisi kota ke-4 dengan kota ke-1) Tukar 2,4 (menukar urutan posisi kota ke-2 dengan kota ke-4) Tukar 1,3 (menukar urutan posisi kota ke-1 dengan kota ke-3)

17 TSP Problem dengan Simple Hill Climbing dengan 4 operator
(19) ABCD Tk.1,2 Tk.2,3 Tk.3,4 Tk.4,1 (17) BACD ACBD ABDC DBCA ABCD (15) BCAD BADC DACB (20) CBAD BACD (18) BCDA (17) DCAB Solusinya adalah Succesor (BCAD) = 15

18 Metode Steepest Ascent Hill Climbing
Steepest –ascent hill climbing hampir sama dengan simple hill climbing, tetapi gerakannya yang berbeda, pada simple hill dimulai dari kiri lalu selanjutnya disesuaikan dengan succesor nilai yang terkecil/nilai heuristic yang terbaik. Sedang Steepest Ascent Hill dimulai dari berdasarkan nilai heuristic yang terbaik

19 Algoritma Steepest-Ascent Hill Climbing
Mulai dari keadaan awal, lakukan pengujian : Jika merupakan tujuan, maka berhenti dan jika tidak, lanjutkan dengan keadaan sekarang sebagai keadaan awal. Kerjakan hingga tujuan tercapai atau hingga iterasi tidak memberikan perubahan pada keadaan sekarang. Gunakan operator tersebut dan bentuk keadaan baru Evaluasi keadaan baru tersebut. Jika merupakan tujuan, keluar. Jika bukan, bandingkan nilai heuristiknya dengan SUCC. Jika lebih baik, jadikan nilai heuristik keadaan baru tersebut sebagai SUCC. Namun jika tidak lebih baik, nilai SUCC tidak berubah. Jika SUCC lebih baik daripada nilai heuristik keadaan sekarang, ubah node SUCC menjadi keadaan sekarang.

20 3 Masalah pada Steepest-Ascent Hill Climbing
Local optimum : keadaan semua tetangga lebih buruk atau sama dengan keadaan dirinya. Plateau : Keadaan semua tetangga sama dengan keadaan dirinya. Ridge: Local optimum yang lebih disebabkan karena ketidak mampuan untuk menggunakan 2 operator sekaligus

21 TSP Problem dengan Steepest Ascent Hill Climbing dengan 6 operator
(19) ABCD Tk.1,2 Tk.2,3 Tk 1,3 Tk.3,4 Tk.4,1 Tk.2,4 (17) BACD (12) ACBD (18) ABDC (12) DBCA (18) ADCB (20) CBAD (15) CABD (19) ABCD (13) ACDB (19) DCBA (16) ADBC (15) BCAD Solusinya adalah Node (ACBD) = 12

22 Pencarian Terbaik Pertama (Best-First Search)
Metode Best-First Search merupakan kombinasi dari metode depth first search dan metode breath-first search dengan mengambil kelebihan dari kedua metode tersebut. Apabila pada pencarian dengan metode hill climbing tidak diperbolehkan untuk kembali ke node pada level yang lebih rendah meskipun node pada yang lebih rendah tersebut memiliki nilai heuristik yang lebih baik, lain halnya dengan metode best search. Pada metode best-first search, pencarian diperbolehkan mengunjungi node yang ada di level rendah, jika ternyata node pada yang lebih tinggi wternyata memiliki nilai heuristik yang buruk Ada 2 metode pada Best – First Search yaitu : Metode Greedy Best-First Search dan A*

23 Pencarian Terbaik Pertama (Best-First Search)
Algoritma Best-First Search Open berisi initial state/keadaan awal dan closed masih kosong. Ulangi sampai goal ditemukan atau sampai tidak ada nodes didalam open. Ambil simpul terbaik yang ada di open Jika simpul tersebut sama dengan goal maka sukses. Jika tidak, masukkan simpul tersebut ke dalam closed Bangkitkan semua suksesor dari simpul tersebut. Untuk setiap suksesor kerjakan : Jika suksesor tersebut belum pernah dibangkitkan , evaluasi suksesor tersebut , tambahkan ke OPEN dan catat parent atau orang tuanya. Jika suksesor tersebut sudah pernah dibangkitkan, ubah parentnya jika jalur melalui parent ini lebih baik daripada jalur melalui parent yang sebelumnya. Selanjutnya perbaharui biaya untuk suksesor tersebut dan nodes lain yang berada pada level dibawahnya.

24 Penjelasan OPEN adalah suatu list yang digunakan menyimpan simpul – simpul yang pernah dibangkitkan dan nilai heuristiknya telah dihitung tetapi belum terpilih sebagai simpul terbaik. OPEN berisi simpul – simpul yang memiliki peluang (peluangnya terbuka) untuk terpilih menjadi simpul terbaik. CLOSED berisi simpul – simpul yang tidak mungkin terpilih sebagai simpul terbaik (peluang untuk terpilih sudah tertutup)

25 Metode Greedy Best-First Search
Algoritma Greedy ini merupakan yang paling sederhana karena hanya memperhitungkan biaya perkiraan (estimated cost) yakni : f(n) = h(n). Biaya sebenarnya actual cost tidak diperhitungkan Dengan hanya memperhitungkan biaya perkiraan yang belum tentu benar mengakibatkan algoritma ini menjadi tidak optimal

26 Contoh Kasus penyelesaian jarak terpendek dengan metode Greedy
B F G C D E J M L H K 90 10 25 30 35 5 40 50 52 15 20 80 Contoh Kasus penyelesaian jarak terpendek dengan metode Greedy Busur menyatakan jarak sebenarnya antara satu kota dengan kota lainnya dan h(n) menyatakan biaya perkiraan (jarak garis lurus) dari simpul n menuju simpul G. Carilah jalur terpendek dari S menuju G n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

27 Penyelesaian masalah dari gambar
Langkah 1 S A B C D E 10 25 30 35 f=80 f=60 f=70 f=85 f=74 OPEN berisi 1 simpul S Karena S hanya terdapat 1 simpul, maka S terpilih menjadi simpul terbaik dipindahkan CLOSED. Bangkitkan semua suksesor S, yaitu A, B, C, D, E. Karena ke-5 nya belum pernah di OPEN atau di CLOSED maka ke-5 nya dimasukkan kedalam OPEN. Langkah 1. menghasilkan OPEN = [A, B, C, D, E] dan CLOSED = [S] n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

28 Penyelesaian masalah dari gambar
Langkah 2 Karena Greedy Best First hanya memperhitungkan biaya perkiraan, Maka f(n)=h(n) Maka B terpilih dengan biaya terkecil yaitu f(B)=h(B)=60 sebagai simpul yang terbaik.dan dipindahkan CLOSED. Bangkitkan suksesor B yaitu : A, F, dan K, karena F dan K belum pernah ada di OPEN maupun CLOSED, maka keduanya dimasukkan ke OPEN Karena simpul A sudah sudah ada di OPEN, maka harus di cek apakah parent dari A perlu diganti atau tidak. Karena hanya memperhitungkan biaya perkiraan (h) maka perkiraan dari S ke A maupun biaya perkiraan dari S ke A melalui B adalah sama yaitu h(A)=80. Oleh karena itu A tidak perlu diubah. Langkah ke dua ini menghasilkan OPEN = [A,C,D,E,F,K,J] dan CLOSED=[S,B] S A B C D E 10 25 30 35 F K f=80 f=60 f=70 f=85 f=74 f=30 50 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

29 Penyelesaian masalah dari gambar
C D E 10 25 30 35 F K f=80 f=60 f=70 f=85 f=74 f=30 50 G f=0 Langkah 3 K dengan biaya terkecil, maka K terpilih yaitu f(K)=h(K)=30 sebagai simpul yang terbaikdan dipindahkan ke CLOSED. Selanjutnya semua suksesor dibangkitkan , yaitu G. Karena belum perdah ada di OPEN maupun CLOSED , G dimasukkan ke OPEN. Langkah ke – 3 ini menghasilkan OPEN [A,C,D,E,F,K,J,G] dan CLOSED = [S,B,K]. Karena G mempunyai nilai terkecil yaitu 0 maka , G menjadi simpul yang terbaik, tetapi dikarenakan merupakan GOAL, berarti soulusi sudah ditemukan. Rute dan biaya dapat ditelusuri balik dari G ke S, karena setiap simpul hanya mempunyai 1 parent dan setiap simpul mempunyai biaya sebenarnya maka (g), maka penelusuran balik menghasilkan S – B – K – G dengan total jarak sama dengan 105 km. Hasil dari rute tersebut bukan rute terpendek melainkan ada rute yg lebih pendek yaitu S – A – B – F – K – G = 95 KM Hal ini menunjukkan bahwa Greedy Best First Search tidak optimal. n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

30 A* (A Bintang) Algoritma ini merupakan algoritma Best first Search yang menggabungkan Uniform Cost Search dan Greedy Best-First Search. Biaya yang diperhitungkan didapat dari biaya sebenarnya ditambah dengan biaya perkiraan. Dalam notasi matematika dituliskan sebagai: f(n) = g(n) + h(n). Dengan perhitungan biaya seperti ini maka algoritma A* adalah complete dan optimal.

31 Algoritma A* Set : OPEN=[S], dan CLOSED=[], dengan S adalah node yang dipilih sebagai keadaan awal. Kerjakan jika OPEN belum kosong Cari node n dari OPEN dimana nilai f(n) minimal. Kemudian tempatkan n pada CLOSED. Jika n adalah node tujuan, keluar. SUKSES EKSPAN node n ke anak – anaknya. Kerjakan untuk setiap anak n, yaitu n’: Jika n’ belum ada di OPEN atau CLOSED, maka : Masukkan n’ ke OPEN. Kemudian set backpointer dari n’ ke n. Hitung : h(n’); g(n’) = g(n) + c(n,n’); dengan c (n,n’) adalah biaya dari n ke n’ dan f(n’) = g(n’)+h(n’). Jika n’ telah ada di OPEN atau CLOSED dan jika g(n’) lebih kecil (untuk versi n’ yang baru), maka: Buang versi lama n’ Ambil n’ di OPEN dan set backpointer dari n’ ke n

32 Uniform Cost Search Konsepnya hampir sama dengan BFS, tetapi UCS menggunakan urutan biaya, kalau BFS menggunakan urutan level UCS berusaha menggunakan urutan biaya dari yang paling kecil sampai ke besar. UCS berusaha menemukan solusi dengan total biaya yang terendah yang dihitung berdasarkan biaya dari simpul asal menuju ke simpul tujuan, biaya dari simpul asal ke simpul tujuan dilambangkan dengan g(n) S S A B C 5 8 12 S A B C G 5 8 12 A G S B C 5 8 12 10 7 2 S A B C G 5 8 12 10

33 Penyelesaian masalah dengan A*
B C D E 10 25 30 35 f=g(S) + g(S ke A) + h(A) = = 90 f=85 f=100 f=120 f=84 Karena di OPEN hanya terdapat satu simpul (yaitu S), maka S terpilih sebagai BestNode dan dipindahkan ke CLOSED. Kemudian dibangkitkan semua suksesor S, yaitu : A, B, C, D dan E. Karena kelima Suksesor tidak ada OPEN maupun CLOSED maka kelimanya dimasukkan ke OPEN Menghasilkan , OPEN = [A,B,C,D,E] dan CLOSED = [S] n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

34 Penyelesaian masalah dengan A*
E dengan biaya terkecil yaitu (84) terpilih sebagai BESTNODE dan dipindahkan ke CLOSED. Bangkitkan suksesor dari E yaitu D dan J, karena J belum pernah ada di OPEN maupun CLOSED maka J dimasukkan OPEN.simpul D sudah ada di OPEN CEK apakah parent dari D perlu diganti atau tidak. Ternyata biaya dari S ke D yaitu (35), sedang biaya S ke D melalui E (25), maka parenta diganti menjadi E maka nilai g dan f pada D juga di perbaharui (nilai g yang semula 35 menjadi 25dan nilai f dari 120 menjadi 110) Menghasilkan OPEN = [A,B,C,D,J] dan CLOSED=[S,E] L.2 A f= 90 10 25 B S f=85 30 C 10 f=100 D f=110 15 E 20 J f=130 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

35 Penyelesaian masalah dengan A*
B dengan biaya terkecil yaitu (85) terpilih menjadi BestNode dan dipindahkan ke CLOSED Bangkitkan semua suksesor B : A,F,dan K, karena F dan K belum pernah ada di OPEN dan CLOSED, maka F dan K masukkan ke OPEN.simpul A sudah ada di OPEN Cek apakah parent A perlu diganti atau tidak , ternyata biaya dari S ke A melalui B(yaitu =35) lebih besar daripada biaya dari S ke A yaitu 10 maka tidak perlu diganti (tetap S) OPEN = [A,C,D,F,J,K] dan CLOSED=[S,E,B]. L.3 A f= 90 10 5 F f=100 25 B S 30 C 50 10 f=100 D f=110 K 15 f=105 E 20 J f=130 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

36 Penyelesaian masalah dengan A*
B C D E 10 30 f=100 f=110 15 J 20 f=130 L.4 F K 5 50 f=95 90 G Penyelesaian masalah dengan A* A dengan biaya terkecil yaitu (90) terpilih sebagai Best Node dan dipindahkan ke CLOSED. Semua suksesor A dibangkitkan yaitu B dan G, karena belum pernah ada di OPEN maupun CLOSED , maka G dimasukkan ke OPEN. Sedangkan simpul B sudah ada di CLOSED.di cek apakah parent di B perlu diganti atau tidak . Ternyata , biaya dari S ke B melalui A yaitu ( =20) lebih kecil dibanding biaya dari S ke B yaitu 25. Oleh karena itu parent di B harus diubah yang semula S menjadi A. Nilai g dan f, nilai g(F) dirubah yang semula 30 menjadi 25, dan nilai f(F) dari 100 menjadi 95. Nilai g(K) yang semula 75 menjadi 70, f(K) dari 105 menjadi 100 OPEN = [C,D,F,G,J,K] dan CLOSED = [S,E,B,A] n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

37 Penyelesaian masalah dengan A*
10 10 5 90 F 25 B S f=85 30 40 C 10 f=100 f=100 D f=110 K f=95 15 G E 20 J f=130 F dengan biaya terkecil (yaitu 95) terpilih sebagai Best Node dan dipindahkan ke CLOSED Semua suksesor F dibangkitkan, yaitu : K. karena K sudah ada di OPEN, maka harus di cek apakah parent dari K perlu diganti? Biaya dari S ke K melalui F ternyata lebih kecil daripada biaya dari S ke K melalui parent lama (B), maka parent dari K perlu diubah, yang semula B menjadi F, selanjutnya nilai g(K) yang semula 70 menjadi 65, dan nilai f(K) dari 100 menjadi 95. OPEN = [C,D,F,G,J,K] dan CLOSED = [S,E,B,A,F] n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

38 Penyelesaian masalah dengan A*
10 10 5 90 F B S 30 40 C 10 f=100 D f=110 K 30 15 G E 20 J f=95 K dengan biaya terkecil (yaitu 95) terpilih sebagai Best Node dipindahkan ke CLOSED Semua suksesor K dibangkitkan, yaitu G Karena G sudah dibangkitkan, dan sudah ada OPEN CEK apakah parent G perlu diganti, BIaya dari S ke G melalui K tenyata lebih kecil dibandingkan melalui parent lama (A). Ubah parent G menjadi K. g(G) yang semula 100 menjadi 95 f(G) yang semula (100) menjadi 95 OPEN = [C,D,G,J] dan CLOSED = [S,E,B,A,F,K] n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

39 SOLUSI akhir Karena G mempunyai biaya terkecil yaitu 95 maka dijadikan Best Node , tetapi karena G merupakan goal maka solusi sudah ditemukan. Selanjutnya ditelusuri balik dari G didapat Rute [S – A – B – F – K – G ] = 95 km Membuktikan bahwa algoritma A* adalah optimal

40 SELESAI

41 Penyelesaian masalah dengan A*
B C D E 10 25 30 35 f= 90 f=85 f=100 f=110 15 J 20 f=130 L.2 L.1 S A B C D E 10 25 30 35 f=g(S) + g(S ke A) + h(A) = = 90 f=85 f=100 f=120 f=84 Penyelesaian masalah dengan A* L.3 A f= 90 10 5 F f=100 25 B S f=85 30 C 50 10 f=100 35 D f=110 K f=105 15 E 20 J f=130 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

42 Penyelesaian masalah dengan A*
B C D E 10 25 30 35 f=85 f=100 f=110 15 J 20 f=130 L.4 F K 5 50 f=95 f=105 90 G f=100 L.5 A 10 10 5 90 F 25 B S f=85 30 40 C 10 f=100 35 f=100 D f=110 K f=95 15 G E 20 J f=130 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20

43 Penyelesaian masalah dengan A*
10 10 5 f=95 90 F 25 B S f=85 30 40 C 10 f=100 35 D f=110 K 30 15 G E 20 J f=95 n S A B C D E F G H J K L M h(n) 80 60 70 85 74 40 100 30 20