Metode Dekomposisi LU Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Presentasi berjudul: "Metode Dekomposisi LU Penyelesaian Sistem Persamaan Linier"— Transcript presentasi:

1 Metode Dekomposisi LU Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

2 Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) banyak dijumpai dalam keteknikan, terlebih saat berurusan dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial. SPL melibatkan n persamaan dengan n variabel (xi) yang harus ditentukan nilainya:

3 Sistem Persamaan Linier
SPL bisa ringkas ditulis dalam bentuk matriks:

4 Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode penyelesaian SPL secara umum ada 2 macam, yaitu: Metode eliminasi: Gauss Gauss-Jordan Dekomposisi LU Metode iterasi: Jacobi Gauss-Seidel

5 Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Di sini hanya akan dibahas 3 metode dari semua yang disebutkan tadi, yaitu: Metode Eliminasi Gauss Metode Dekomposisi LU Metode Iterasi Gauss-Seidel

6 Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier)
Metode Dekomposisi LU Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier)

7 Ide Dasar Metode Dekomposisi LU
Matriks koefisien [A] dalam SPL [A][X] = [B] Didekomposisi menjadi 2 matriks tridiagonal bawah [L] dan atas [U]:

8 Ide Dasar Metode Dekomposisi LU
Elemen dalam matriks tridiagonal bawah [L] adalah faktor pengali dalam proses eliminasi kolom. Elemen dalam matriks tridiagonal atas [U] adalah elemen dalam matriks hasil eliminasi.

9 Ide Dasar Metode Dekomposisi LU
Hasil dekomposisi dipakai untuk manipulasi sbb: Kesimpulannya: [X] bisa diperoleh dari [U][X] = [Y], dengan [Y] bisa diperoleh dari [L][Y] = [B].

10 Ide Dasar Metode Dekomposisi LU
 SPL [A][X] = [B] bisa diselesaikan dengan dekomposisi LU melalui 3 tahap berikut: Dekomposisi [A] menjadi matriks tridiagonal bawah [L] dan atas [U] Selesaikan [L][Y] = [B] untuk mendapatkan [Y] Selesaikan [U][X] = [Y] untuk mendapatkan [X]

11 Contoh: Tabel data Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2
Tabel merekam data kecepatan roket pada tiga saat waktu. Kecepatan bisa dimodelkan dengan polinom orde-2: v(t)=a0+a1.t+a2t2 Dengan persamaan ini bisa ditentukan kecepatan pada waktu dalam rentang 5-12 detik. Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 12 279,2

12 Contoh: Sebaran data

13 Contoh: Sistem Persamaan Linier

14 Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 1
Baris 2 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan (a21/a11) = 1/1 = 1.

15 Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 1
Baris 3 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan (a31/a11) = 1/1 = 1.

16 Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 2
Baris 3 dikurangi baris 2 yang dibobot dengan (a32/a22) = 7/3.

17 Contoh: Hasil dekomposisi [A]
SPL asal [A][X]=[B] kini menjadi [L][U][X]=[B].

18 Contoh: Evaluasi [Y] dari [L][Y]=[B]
Dari [L][Y] = [B] bisa diperoleh [Y] sbb:

19 Contoh: Evaluasi [X] dari [U][X]=[Y]
Dari [U][X] = [Y] bisa diperoleh [X] sbb:

20 Contoh: Persamaan hasil
Hubungan kecepatan dan waktu dalam rentang waktu 5 sampai 12 detik adalah:

21 Matriks kebalikan dari matriks persegi (square)
Matriks Inverse Matriks kebalikan dari matriks persegi (square)

22 Kegunaan Matriks Invers
Matriks invers bisa digunakan untuk, misalnya menyelesaikan SPL. Idenya demikian:

23 Matriks Invers Definisi
Kebalikan (inverse) matriks persegi [A] didefinisikan sebagai [K] yang memenuhi hubungan: dengan [I] adalah matriks identitas:

24 Invers Matriks Ide Dasar
Matriks [K] yang merupakan invers [A]: atau: bisa ditentukan per kolom dengan cara sama seperti menyelesaikan SPL.

25 Invers Matriks Ide Dasar
 Kolom 1 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL: Kolom 2 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL:

26 Invers Matriks Ide Dasar
Kolom 3 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL: Dst sampai akhirnya kolom n matriks [K] diperoleh dari: Masing2 SPL bisa diselesaikan dengan metode eliminasi / dekomposisi LU.

27 Invers Matriks Contoh Penerapan
SPL pada contoh sebelumnya ditinjau lagi untuk diselesaikan dengan matriks invers:

28 Invers Matriks Contoh Penerapan
[K] = [A]-1 ditentukan dari hubungan: dengan menerapkan metode eliminasi Gauss atau dekomposisi LU.

29

30 Invers Matriks Contoh Penerapan
[K] lalu bisa ditentukan dengan eliminasi / dekomposisi LU. Di sini diambil metode LU. Untuk kolom-1:

31 Invers Matriks Contoh Penerapan
Rincian untuk kolom-1:

32 Invers Matriks Contoh Penerapan
Untuk kolom-2:

33 Invers Matriks Contoh Penerapan
Rincian untuk kolom-2:

34 Invers Matriks Contoh Penerapan
Untuk kolom-3:

35 Invers Matriks Contoh Penerapan
Rincian untuk kolom-3:

36 Invers Matriks Contoh Penerapan
Dengan [A]-1 = [K] maka [X] = [A]-1 [B]

37 Invers Matriks Contoh Penerapan
Hubungan kecepatan dan waktu dalam rentang waktu 5 sampai 12 detik adalah: