Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
Diterbitkan olehErlin Yuwono Telah diubah "7 tahun yang lalu
1
Pertemuan [3-5] Handouts Mata Kuliah: Aljabar Linier I [Matriks] 1
2
Matriks, Operasi Matriks, dan Sifat-sifatnya
Definisi 1 Matriks adalah susunan bilangan real yg berbentuk segi empat siku-siku. Entri matriks adalah bilangan yg menjadi unsur penyusun matriks. Mmxn menyatakan himpunan semua matriks atas bilangan real yg terdiri dari m baris dan n kolom. Ditentukan matriks A yg terdiri dari m baris dan n kolom. aij menyatakan entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Ai. menyatakan baris ke-i dari matriks A = [ai1 … ain]. A.j menyatakan kolom ke-j dari matriks A, yaitu Definisi 2 Ditentukan matriks A yg berukuran m baris dan n kolom dan bilangan real r. rA menyatakan perkalian antara konstanta r dg matriks A yg didefinisikan sbb: rA := C dg cij = raij; 1<i<m; 1<j<n. Berdasarkan definisi 2 langsung dapat disimpulkan –A = -1A. 2
3
Definisi 3 Ditentukan matriks A, B yg berukuran m baris dan n kolom. A+B menyatakan penjumlahan dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: A+B := C dg cij = aij+bij; 1<i<m; 1<j<n. Ditentukan matriks A berukuran m baris dan p kolom dan matriks B berukuran p baris dan n kolom. AB menyatakan perkalian dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: AB := C dg cij = ai1b1j+…+ aipbpj = ; 1<k<p. Sifat 1 Ditentukan matriks A, B, dan C shg operasi matriks berikut ini terjadi dan bil real r, r1, dan r2. A+B = B+A. A+(B+C) = (A+B)+C. A(BC) = (AB)C. A(B+C) = AB+BC. (B+C)A= BA+CA. A(B-C) = AB-BC. (B-C)A= BA-CA. > komutatif (+) r(A+B) = rB+rC. r(A-B)= rA-rB. (r1+r2)A = r1A+r2A. (r1-r2)A = r1A-r2A. (r1r2)A = r1(r2A). rAB = (rA)B = A(rB}. > assosiatif (+) > assosiatif (x) > distributif kiri (x) > distributif kanan (x) 3
4
Bukti Sifat 1.2) Bukti Sifat 1.8) Bukti Sifat 1.13) 4
Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik A+(B+C) dan (A+B)+C adalah uij dan vij. Akan ditunjukkan uij = vij. Sesuai dg definisi, uij = aij+(bij+cij) dan vij = (aij+bij)+cij. uij = aij+(bij+cij) = (aij+bij)+cij = vij. Bukti Sifat 1.8) Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik r(A+B) dan rA+rB adalah uij dan vij. Akan ditunjukkan uij = vij. Sesuai dg definisi, uij = r(aij+bij) dan vij = raij+rbij. uij = r(aij+bij) = raij+rbij = vij. Bukti Sifat 1.13) Misalkan, entri baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik r(AB), (rA)B, dan A(rB) adalah uij, vij dan wij. Akan ditunjukkan uij = vij = wij. Sesuai dg definisi, uij = r(ai1b1j+…+ aipbpj); vij = (rai1)b1j+…+ (raip)bpj; wij = ai1(rb1j)+…+ aip(rbpj). uij = r(ai1b1j+…+ aipbpj) = rai1b1j+…+ raipbpj = (rai1)b1j+…+ (raip)bpj = ai1(rbi1)+…+ aip(rbip) uij = vij = wij. 4
5
Definisi 3 Ditentukan matriks A, B yg berukuran m baris dan n kolom. A+B menyatakan penjumlahan dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: A+B := C dg cij = aij+bij; 1<i<m; 1<j<n. Ditentukan matriks A berukuran m baris dan p kolom dan matriks B berukuran p baris dan n kolom. AB menyatakan perkalian dari matriks A dan B yg didefinisikan sbb: AB := C dg cij = ai1b1j+…+ aipbpj = ; 1<k<p. Sifat 2 Untuk sebarang matriks A berlaku persamaan berikut ini. A+0 = 0+A = A. A-A = 0. 0-A = -A. A0 = 0A = 0. 5
6
Definisi 4 Sifat 3 Definisi 5 6
Matriks satuan adalah matriks bujur sangkar (berukuran nxn) yg diagonal utamanya bernilai 1 dan bernilai 0 utk yg lain, yaitu Sifat 3 Bila Im:= matriks identitas berukuran mxm dan In:= matriks identitas berukuran nxn maka utk sbr matriks A yg berukuran mxn berlaku ImA = AIn = A. Definisi 5 Matriks bujur sangkar A disebut matriks yg dapat dibalik (invertible), bila terdapat matriks bujur sangkar B shg AB = BA = I. Selanjutnya, B dapat disimbolkan dengan A-1. 6
7
Sifat 4 Bukti Sifat 5 Bukti 7
Jika matriks B dan C adalah matriks balikan dari A maka B=C. Bukti Karena B dan C adalah matriks balikan dari A maka AB = BA = I dan AC = CA = I. Akan ditunjukkan B = C. B = BI = B(AC) = (BA)C {assosiatif} = IC = C. Sifat 5 Jika matriks A dan B adalah matriks yg dapat dibalik maka AB juga adalah matrik yang dapat dibalik. Bukti Karena A dan B dapat dibalik maka terdapat A-1 dan B-1 dengan AA-1 = A-1A = I dan BB-1 = B-1B = I. Akan ditunjukkan AB(B-1A-1 ) = (B-1A-1)AB= I. AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = A(I)A-1 = AA-1 = I > (1) (B-1A-1)AB = B-1(A-1A)B = B-1(I)B = B-1B = I > (2) Berdasarkan (1) dan (2), disimpulkan bahwa AB(B-1A-1 ) = (B-1A-1)AB= I. Ditetapkan (AB)-1 := B-1A-1. Jadi, AB dapat dibalik. Dengan kata lain, AB mempunyai balikan, yaitu B-1A-1. 7
8
Sifat 6 Jika matriks A adalah matriks yg dapat dibalik maka A-1 juga merupakan matriks yg dapat dibalik dan (A-1)-1 = A. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, …. Untuk setiap skalar r 0 berlaku rA dapat dibalik dan (rA)-1 = r-1A-1. Bukti 6.1) Karena A matrik yg dapat dibalik maka AA-1 = A-1A = I shg A-1A = AA-1 = I. Ditetapkan (A-1 )-1 := A. Jadi, A-1 adalah matrik yg dapat dibalik. Bukti 6.3) Karena A matrik yg dapat dibalik maka AA-1 = A-1A = I shg A-1A = AA-1 = I. Karena r 0 maka r-1 0. Akan ditunjukkan rA(r-1A-1) = (r-1A-1)rA = I. rA(r-1A-1) = (rr-1)(AA-1) = 1(I) = I > (1) (r-1A-1)rA = (A-1A)(r1r ) = (I)1 = I > (2) Berdasarkan (1) dan (2), disimpulkan bahwa rA(r-1A-1) = (r-1A-1)rA = I. Jadi, rA adalah matrik yg dapat dibalik dg (rA)-1 := r-1A-1. 8
9
Penerapan Konsep Matriks pada SPL
Sifat 7 Ditentukan SPL: Ax = b. SPL tsb hanya memiliki salah satu kondisi berikut ini. SPL tidak mpy penyelesaian. SPL hanya mempunyai penyelesaian tunggal. SPL mempunyai tak berhingga penyelesaian. Bukti Utk membuktikan sifat 7 cukup ditunjukkan bhw jika SPL mpy dua penyelesaian yg berbeda maka SPL mpy tak berhingga penyelesaian. Misalkan X1 dan X2 adalah penyelesaian SPL yg berbeda. Berdasarkan definisi berlaku AX1=b dan Ax2=b shg Ax1 = b = Ax2. Diperolah 0 = Ax1-Ax2 = A(x1-x2) = Ax0 dg x0 = x1-x2 0. Adib ( k R) AXk = b dg Xk = X1+kX0, yaitu Axk = A(X1+kX0) = AX1+kAX0 = AX1+kA(x1-x2) = b+k.0 = b + 0 = b. Karena anggota R banyaknya tak berhingga maka pilihan Xk pun tak berhingga banyak. Jadi, SPL mpy penyelesaian tak berhingga banyak. 9
10
Matriks Elementer dan OBE
Definisi 6 Matrik bujur sangkar E dinamakan matriks elementer jika matriks E tsb diperoleh dari matriks identitas I yg hanya dikenai satu jenis OBE. Contoh 2 a. Pada matriks identitas I4 dikenai OBE1, yaitu baris ke-3 dikalikan dg r1, diperoleh E1 b. Pada matriks identitas I4 dikenai OBE2, yaitu baris ke-1 ditukar dg baris ke-4, diperoleh E2 10
11
E3 Sifat 8 Ilustrasi OBE1 Im E1 = OBE1(Im) Amxn E1A = OBE1(A) OBE1
c. Pada I4 dikenai OBE3, yaitu pada baris ke-2 ditambah r2 kali baris ke-1, diperoleh E3 Sifat 8 Jika E adalah matriks elementer yg dihasilkan dg mengenakan OBE pada Im dan A adalah matriks berukuran mxn maka EA = A yg dikenai OBE secara langsung. Ilustrasi OBE1 Im E1 = OBE1(Im) Amxn E1A = OBE1(A) OBE1 Amxn 11
12
Sifat 9 Bukti Sifat 10 OBE pada I yg menghasilkan E
OBE pada E yg menghasilkan I Kalikan baris ke-i dg r 0 Kalikan baris ke-i dg 1/r 0 Pertukarkan baris ke-i dg baris ke-j Tambahkan r kali baris ke-i ke baris ke-j Tambahkan -r kali baris ke-i ke baris ke-j Sifat 9 Setiap matriks elementer mpy balikan dan balikannya adalah matriks elementer juga. Bukti Misalkan, E adalah matriks elementer. Artinya, E berasal dari OBE yg dikenakan pada I. Misalkan, E0 adalah balikan dari OBE yg dikenakan pada I juga. Berdasarkan sifat 8 dan berdasarkan kenyataan bahwa OBE balikan akan saling meniadakan maka diperoleh: EE0 = I dan E0E = I. Jadi, matriks elementer E0 adalah matriks balikan dari E. Sifat 10 Jika A adalah matriks nxn maka ketiga pernyataan berikut ini ekuivalen. A dapat dibalik. SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial, yaitu x = 0. A ekuivalen baris terhadap In. Catatan: Matriks A dikatakan ekuivalen baris thd matriks B, bila B = Ep…E1A dg Ek matriks elementer; k = 1, …, p; p N. 12
13
Bukti Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi: 1) 2) 3) 1). 1) 2) Andaikan, X0 adl solusi dari SPLH: AX = 0. Artinya, AX0 = 0. Akan ditunjukkan bhw X0 = 0. Krn A dapat dibalik maka A-1 ada shg A-1(AX0) = 0 (A-1A)X0 = 0 InX0 = 0 X0 = 0. 2) 3) Dibentuk SPLH dari persamaan matriks Ax = 0, yaitu dan anggaplah SPLH tsb hanya mpy penyelesaian trivial maka dg proses eliminasi Gauss-Jordan, matriks yg diperluas dari SPLH tsb dapat direduksi menjadi Bila kolom terakhir (kolom 0) diabaikan maka dapat dikatakan bhw matriks A dapat direduksi menjadi matriks identitas In melalui serangkaian OBE yg berhingga. Dengan kata lain, A ekuivalen baris terhadap In. 13
14
3) 1) Andaikan, A adalah matriks yg kuivalen baris terhadap In maka terdapat serangkaian matriks elementer Ek sehingga Ep …. E1A = In dg k = 1, …, p. Menurut sifat 9, (k) Ek dapat dibalik (Ek-1 ada) shg A = E1-1E2-1…. Ep-1In dg Ek-1 := balikan dari Ek. Karena A dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks yg dapat dibalik secara berhingga maka A juga dapat dibalik (sifat 5). Catatan: Karena A = E1-1E2-1…. Ep-1In = E1-1E2-1…. Ep-1 maka A-1 = EpEp-1…. E1 (sifat 5). Sifat 11 Jika A adalah matriks nxn yg dapat dibalik maka utk setiap matriks b yg berukuran nx1, SPL: Ax=b hanya mempunyai satu solusi, yaitu x = A-1b. Bukti Misalkan, x0 adalah sebarang solusi SPL. Akan dibuktikan bahwa x0 = A-1b. Karena x0 adalah solusi SPL maka Ax0 = b. Karena A dapat dibalik maka A mpy matriks balikan (A-1 nyata ada). Ax0 = b A-1(Ax0) = A-1b (A-1A)x0 = A-1b (In)x0 = A-1b x0 = A-1b. 14
15
Sifat 12 Jika A adalah matriks nxn maka berlaku Jika B sebuah matriks kuadrat yg memenuhi BA = I maka B = A-1. Jika B sebuah matriks kuadrat yg memenuhi AB = I maka B = A-1. Bukti 12.1 (bukti utk 12.2, silahkan buktikan sendiri!) Akan dibuktikan terlebih dulu bahwa A mpy balikan dg menunjukkan SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai solusi trivial. Perhatikan SPL: Ax = 0. Misalkan, x0 adalah sebarang solusi SPLH: Ax = 0. Karena BA = I maka BAx0 = B0 Ix0 = 0 x0 = 0. Karena SPLH hanya mempunyai solusi trivial {0} maka A dapat dibalik {sifat 10}. Krn A dapat dibalik dan BA=I maka (BA)A-1=A-1B(AA-1)= A-1I B(I)= A-1B = A-1. Sifat 13 Jika A adalah matriks nxn maka keempat pernyataan berikut ini ekuivalen. A dapat dibalik. SPLH: Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial, yaitu x = 0. A ekuivalen baris terhadap In. APL: Ax = b adalah SPL yg konsisten untuk setiap matriks b yg berukuran nx1. Bukti . Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi 1) 2) 3) 1) 4). Karena rangkaian implikasi 1) 2) 3) 1) sudah dibuktikan oleh sifat 10 maka tinggal dibuktikan biimplikasi 1) 4) 15
16
Bukti . Akan dibuktikan kebenaran rangkaian implikasi 1) 2) 3) 1) 4). Karena rangkaian implikasi 1) 2) 3) 1) sudah dibuktikan oleh sifat 10 maka tinggal dibuktikan biimplikasi 1) 4) 1) 4) Berdasarkan sifat 11, x0 = A-1b adalah solusi SPL: Ax=b. Jadi, SPL tsb konsisten. 4) 1) Karena SPL konsisten b berukuran nx1 maka terdapat x1, x2, …, xn yg masing-masing berukuran nx1 dg Ax1 = Ax2 = Ax… = Axn = Jika dibentuk matriks C = [x1 | x2 | … |xn] maka AC = [Ax1 | Ax2 | … |Axn] = In. 16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
Tugas 2 Buktikan: (B+C)A =BA+CA! Bukti.
Misalkan matriks A, B, dan C berukuran nxp, mxn, dan mxn . Misalkan U:=(B+C)A dan V := (BA+CA). Ukuran matriks U dan V adalah mxp. Entri baris ke-i dan kolom ke-j dari U dan V adalah uij dan vij. Akan dibuktikan uij = vij. Baris ke-i matriks B+C = (B+C)i. = [(b11+c11) … (b1n+c1n)] dan kolom ke-j dari matriks A adalah 21
22
--- > (1) --- >(2) Berdasarkan 1 dan 2 terlihat bahwa uij = vij.
21
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.