Bilangan Bulat Matematika Diskrit.

Presentasi berjudul: "Bilangan Bulat Matematika Diskrit."— Transcript presentasi:

1 Bilangan Bulat Matematika Diskrit

2 Materi Pembagian Bilangan prima
Greatest Common Divisor dan Least Common Multiple Modulo Materi Viny Christanti M.

3 Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

4 Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a  0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac. Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0. (Z = himpunan bilangan bulat) Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga “b kelipatan a”.

5 Contoh 1: 4 | 12 karena 12:4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. Tetapi 4 | 13 karena 13:4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

6 Algoritma Pembagian Definisi 1: Notasi:
Jika a dan b adalah bilangan bulat dimana a≠0 maka dinyatakan membagi b. Jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = a.c Jika a membagi b maka a adalah faktor b dan b disebut pengali dari a. Notasi: a | b menyatakan a membagi b. a | b menyatakan a tidak membagi b

7 Algoritma Pembagian… Teorema 1 Contoh:
Misalkan a, b dan c adalah bilangan bulat maka: Jika a | b dan a | c maka a | (b+c) Jika a | b maka a | b.c untuk semua bilangan bulat c Jika a | b dan b | c maka a | c Contoh: 3 | 9 dan 3 | 27 , maka 3 | (9+27). Benar karena 3 | 36 3 | 6 maka 3 | 6.4 (sesuai teorema 1) 3 | 6 dan 6 | 18 maka3 | 18 (sesuai teorema 1)

8 Bilangan Bulat

9 Bilangan Bulat Prima Definisi 2 : Teorema 2:
Bilangan bulat positif p > 1 disebut bilangan prima jika faktor positif dari p hanya 1 dan p. Bilangan bulat positif yang >1 tetapi bukan bilangan prima disebut bilangan komposit Teorema 2: Setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan secara unik sebagai produk dari bilangan bulat, dimana faktor prima tersebut ditulis dengan urutan menaik. Contoh: Bilangan prima dari 28 = 2.2.7 Bilangan prima dari 37 = 37

10 Bilangan Bulat Prima… Teorema 3: Contoh:
Jika n adalah bilangan bulat komposit maka n memiliki pembagi (faktor) prima ≤√n Contoh: Apakah 123 merupakan bilangan prima atau komposit? Bilangan prima ≤√123 adalah 2, 3, 5 dan 7 3 | 123 maka 123 adalah bilangan komposit

11 Memeriksa apakah prima atau bukan
Is 97 a prime? The floor of Ö97 = 9 The primes less than 9 are 2, 3, 5, and 7 We need to see if 97 is divisible by any of these numbers It is not, so 97 is a prime. Is 301 a prime? The floor of Ö301 = 17 We need to check 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 The numbers 2, 3, and 5 do not divide 301, but 7 does Therefore 301 is not a prime.

12 Bilangan Bulat Prima… Teorema 4: Contoh:
Misalkan a bilangan bulat dan d bilangan bulat positif maka ada bilangan bulat unik yaitu q dan r dengan r ≤ d sehingga a=d.q + r Contoh: 237 = a=237 d=35 q=6 r=27

13 A prime is divisible only by itself and 1.
There is an infinite number of primes. Number of Primes

14 GCD dan LCM Definisi 1 : Definisi 2 : Definisi 3 : Definisi 4 :
Jika a dan b adalah bilangan bulat bukan nol maka bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b disebutGCD dari a dan b dan dinyatakan sebagai GCD(a,b). Definisi 2 : Bilangan bulat a dan b disebut relatif prima jika GCD(a,b)=1 Definisi 3 : Bilangan bulat a1, a2, …, an adalah pasangan relatif prima jika GCD(ai,aj) = 1 selama 1 ≤i ≤j ≤n Definisi 4 : LCM dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh a dan b dan dinyatakan sebagai LCM(a,b).

15 Greatest Common Divisor
Let a and b be integers, not both zero. The largest integer d such that d | a and d | b is called the greatest common divisor of a and b. Example : gcd(48, 72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 dan 48 Maka gcd(48, 72) = 24

16 Greatest Common Divisor
GCD menggunakan faktor prima: a = p1a1p2a2…pnan b = p1b1p2b2…pnbn Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n maka gcd(a, b) = p1 min(a1, b1). p2 min(a2, b2)…pn min(an, bn) Contoh: Berapa gcd(60,54)? 60 = 54 = gcd(60,54) = = 6

17 Least Common Multiple LCM menggunakan faktor prima: a = p1a1p2a2…pnan
b = p1b1p2b2…pnbn Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n maka lcm(a, b) = p1 max(a1, b1). p2 max (a2, b2)…pn max (an, bn)

18 GCD dan LCM a.b = GCD(a,b).LCM(a,b) Teorema 1 :
Jika a dan b adalah bilangan bulat positif maka a.b = GCD(a,b).LCM(a,b)

19 Relatif Prima Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD(a, b) = 1. Contoh: 20 dan 3 relatif prima sebab GCD(20, 3) = 1. 7 dan 11 relatif prima karena GCD(7, 11) = 1. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab GCD(20, 5) = 5  1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga  ma + nb = 1

20 Relatif Prima Contoh : Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena
GCD(20, 3) =1, atau dapat ditulis (–13) . 3 = 1   dengan m = 2 dan n = –13. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena GCD(20, 5) = 5  1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m n . 5 = 1.

21 Contoh GCD(24,36) = ? Maka GCD(24,36)=12 GCD(7,19)=1 Maka 7 dan 19 adalah relatif prima Apakah 10, 17 dan 21 adalah pasangan relatif prima ? GCD(10,17)=1 GCD(10,21)=1 GCD(17,21)=1 Maka 10,17,21 adalah relatif prima

22 Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1} (mengapa?).

23 Modulo Definisi 1 Definisi 2 Definisi 3
Jika a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif maka dapat dinyatakan a mod m adalah sisa hasil bagi dari a dibagi m Definisi 2 Jika a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif maka kongruen dengan b mod m jika m dapat membagi a – b a≅b mod m jika m|(a-b) a≅b mod m jika dan hanya jika a mod m = b mod m Definisi 3 Zm adalah himpunan bilangan bulat hasil modulo m

24 Contoh 23 mod 5 = 3 (23 = 5  4 + 3) 27 mod 3 = 0 (27 = 3  9 + 0)
* Karena a negatif, bagi |a| dengan m mendapatkan sisa r’. Maka a mod m = m – r’ bila r’  0. Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4.

25 Algoritma ganjil genap
Bagaimana dengan algoritma untuk bilangan prima JIKA A mod 2 = 0 MAKA A adalah bilangan genap SEBALIKNYA A adalah bilangan ganjil

26 Latihan Tunjukkan benar atau salah 19 | 89 19 | 561 19 | 209 19 | 8721

27 Latihan … Hitunglah -173 mod 21 0 mod 34 -340 mod 9 1987 mod 97

28 Latihan… Berapa GCD dan LCM dari pasangan berikut? 220, 1400 315, 825
2475, 32670 -456, 688

29 Selamat Belajar