Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel

Presentasi berjudul: "Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel"— Transcript presentasi:

1 Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel

2 Definisi Nilai Ekstrim
Jika f(x,y) ≤ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai maksimum lokal. Jika f(x,y) ≥ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai minimum lokal. Jika definisi di atas berlaku untuk semua (x,y) dalam Df maka f mempunyai maksimum mutlak (minimum mutlak) di (a,b).

3 Definisi Titik Kritis Titik (a,b) disebut titik kritis, bila:
fx(a,b) = 0 atau fx(a,b) tidak ada fy(a,b) = 0 atau fy(a,b) tidak ada Teorema (Uji Turunan Pertama) : Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial orde satu di (a,b) ada, maka fx(a,b) dan fy(a,b) = 0.

4 Teorema (Uji Turunan Kedua)
Misal turunan parsial kedua dari f kontinu pada cakram dengan pusat (a,b) dan misalkan fx(a,b) dan fy(a,b) = D = D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2 Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) minimum lokal. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) maksimum Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal.

5 Catatan Pada saat D < 0 maka f(a,b), titik (a,b) disebut titik pelana f. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan. Dimana,

6 Contoh Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi

7 Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi Tentukan ukuran dari suatu kotak persegi panjang tanpa tutup yang mempunyai volume 32 dm3, sehingga dapat meminimumkan banyaknya material yang digunakan untuk membuat kotak tersebut.

8 Nilai Maksimum dan Minimum Mutlak (Selang Tertutup)
Teorema (Nilai Ekstrim Fungsi DuaVariabel) Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas, D  R2, maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(x1,y1) di (x1,y1)  D dan mencapai nilai minimum mutlak f(x2,y2) di (x2,y2) D.

9 Himpunan tertutup dan tidak tertutup
Catatan : Himpunan terbatas dalam R2 adalah himpunan yang memiliki jangkauan berhingga. Himpunan tertutup dan tidak tertutup Tertutup Tidak tertutup -5 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 6 -5 < x < 3 1 < y < 6 Langkah-langkah mencari maksimum dan minimum mutlak fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas : 1. Tentukan titik kritis dalam D. 2. Tentukan nilai ekstrim f pada perbatasan D. 3. f(x0,y0) terbesar  maksimum mutlak. f(x0,y0) terkecil  minimum mutlak.

10 Contoh 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak pada D f(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 , D = {(x,y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

11 Definisi nilai ekstrim relatif di atas dapat diperluas untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Jika f fungsi tiga variabel, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0) f mempunyai nilai minimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0). Jika f mempunyai nilai ekstrim relatif pada titik (x0,y0,z0) dan turunan parsial pertama dari f ada pada titik (x0,y0,z0), maka