METODE NUMERIK PRESENTED by DRS. MARZUKI SILALAHI.

Presentasi berjudul: "METODE NUMERIK PRESENTED by DRS. MARZUKI SILALAHI."— Transcript presentasi:

1 METODE NUMERIK PRESENTED by DRS. MARZUKI SILALAHI

2 METODE NUMERIK Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian, sehingga dapat diselesaikan melalui operasi aritmatika.

3 Tujuan : Mencari solusi pendekatan (aproksimasi) dari masalah matematika tersebut. Kenapa : karena solusi eksaknya sulit atau bahkan tidak dapat dicari.

4 Iteration (repetition)
Ide : Iteration (repetition) Aproksimasi dari sebuah fungsi rumit dengan sebuah fungsilinier Pengulangan pola tindakan atau proses Pemecahan persaman : x = f(x) Pemecahan persamaan bentuk : f(x) = 0 Aproksimasi kurva dengan TANGENTnya pada titik (xo, f(xo)) Iterasi akan semakin KONVERGEN menuju solusi masalah yang bersangkutan.

5 Mengandung kesalahan Ada sejumlah besar iterasi.
Keuntungan Dapat mencari solusi praktis (aproksimasi) dari masalah yang sulit atau bahkan tidakdapat dicari solusi eksaknya kerugian Mengandung kesalahan Ada sejumlah besar iterasi.

6 Peranan komputer : Kesalahan dapat diperkecil dan sejumlah besar iterasi dapat diatasi Menggunakan sistem binary digit (bit) sedangkan sehari-hari menggunakan sistem desimal

7 Kesalahan Harga sebenarnya dikurangi dengan harga pendekatan
Kesalahan absolut (mutlak) eabs = x – x’=nilai sebenarnya-nilai pendekatan 2. Kesalahan relatif ercl= eabs/x’ Untuk bilangan yang mendekati 1, kesalahan relatif mendekati kesalahan Absolut Untuk bilangan yang tidak mendekati 1, kesalahan relatif tidak mendekati kesalahan absolut

8 Contoh : x = 0,00005 dengan pendekatan 0, kes.absolut = - 0, kes.relatif = b. x = 1,0000 dengan pendekatan 1,0002 kes.absolut = - 0,0002 kes.relatif = - 0,0002 c. Mis: perhitungan menghasilkan : -3,60016<x<-3, maka titik tengahnya = -3, sehingga x dapat dituliskan : x = -3,6001450, Harga mutlak kesalahan absolut = 0, Harga mutlak kesalahan relatif = 0,000417%.

9 Jenis kesalahan : INHEREN (bawaan)
disebabkan : data yang diperoleh adalah * data aproksimasi * keterbatasan alat komputasi * kalkulator atau komputer (akibat pembulatan karena jumlah digit terbatas) * pengukuran yang tidak pasti akibat salah baca * salah memasukkan data * kurang mengerti hukum fisis Pemotongan (truncation) disebabkan : pemotongan proses matematis yang tidak berhingga atau karena tidak semua bit digunakan

10 Chopping penghapusan digit setelah n angka signifikan
Pembulatan (rounding) Untuk membulatkan sampai ke n angka signifikan, perhatikan sampai dengan (n+1) angka signifikan. Gunakan aturan sebagai berikut : Untuk bilangan yang kurang dari 5, angka n tidak berubah. Untuk bilangan yang lebih dari 5, angka n bertambah satu satuan Untuk bilangan yang tepat = 5, angka ke n bertambah satu satuan Bilangan hasil pembulatan tersebut disebut : teliti sampai n angka signifikan” Chopping penghapusan digit setelah n angka signifikan Contoh :  = 3, … pembulatan 4 desimalnya : 3,1416 chopping sampai 4 desimal : 3,1415

11 Normalisasi : Proses penulisan bilangan dengan mengggunakan mantissa dan eksponen, dengan syarat digit terdepan mantissa (setelah tanda koma desimal)  0. Contoh : 0,  ditulis : 0, (4 desimal). mantissa = 0,2354 ; eksponen = -3 165,  ditulis : 0, (4 desimal). mantissa = 0,1652 ; eksponen = 3

12 Penjumlahan Dua Bilangan riil dalam komputer dilakukan dengan menyamakan eksponennya menurut pangkat yang terbesar Contoh : x =165,2 ; y = 21,00, maka : x  y = 0,  0, = 0, Carilah kesalahan chopping dan rounding untuk : x = 0,  0, Kesalahan relatif akibat Chopping = 0, Kesalahan relatif akibat rounding = -0,  Kesalahan akibat rounding lebih kecil daripada kesalahan akibat chopping

13 Study kasus: Prosedurnya: F(x) = x4 – 9x3 – 2x2  120x – 130
untuk harga x = -10, -9, …,9,10 Mencari harga x untuk polinomial sehingga nilainya nol. Prosedurnya: Membagi dua interval (metode membagi dua interval) Mencari pendekatan akar Metode pendekatan beruntun Modifikasi metode pendekatan beruntun Metode Newton – raptoson Akar yang hampir sama besar dsb

14 Analisis kesalahan dalam hasil numerik dasar perhitungan yang baik
Secara manual Dengan komputer Karena : harga masukan jarang mempunyai nilai eksak (pasti). didasarkan pada percobaan atau taksiran & proses numerik itu sendiri mempunyai berbagai macam kesalahan). Contoh : Pers: x2  0,4002x  0,00008 = 0 dengan menggunakan empat digit “floating point aritmatic” salah satu akarnya : x = -0, (tanpa ketelitian) muncul kesalahan yang disebabkan oleh empat digit “floating point” aritmatic sebesar 25%. dengan dealapan digit = x = -0,0002 Deret Taylor : sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + … hanya berlaku untuk sudut terbatas. Kesalahan pemendekan deret yang terjadi karena menghentikan penjumlahan.