Pertemuan ke 4.

Presentasi berjudul: "Pertemuan ke 4."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan ke 4

2 II. HIMPUNAN 1. Definisi Kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal.

3 2. Penyajian Himpunan 4 cara menyajikan himpunan :
Tabulasi atau enumerisasi Simbol-simbol baku Notasi pembentuk himpunan (set builder) Diagram Venn

4 Tabulasi atau Enumerasi
Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}

5 Contoh 2.3 : Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda. Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu kucing, a, Amir, 10, paku Contoh 2.4 :

6 Contoh 2.6 : Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai

7 Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi :
Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A Contoh 2.7 : Maka 

8 Simbol-simbol Baku Simbol baku yang biasa digunakan untuk
mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain : P = himpunan bilangan bulat positif Z = himpunan bilangan bulat. Q = himpunan bilangan rasional. R = himpunan bilangan riil.

9 Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan
yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U Misalnya : A adalah himpunan bagian dari U, dengan

10 Notasi Pembentuk Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x } Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘ | ’ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘ | ’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘ | ’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘ , ’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

11 Contoh 2.9 : A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} Atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = { x | x  P, x < 5 } Yang sama dengan A = { 1, 2, 3, 4 }

12 Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis.
Diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan dengan persegi panjang.

13 Contoh 2.10: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {1, 2, 3, 5 } B = {2, 5, 6, 8 } U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 10 U A B 7 1 8 2 4 5 3 6

14 3. Kardinalitas Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A| Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10} A={2, 3, 5, 7 } maka |A| = 4

15 4. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }. Contoh : P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka |P| = 0

16 5. Himpunan Bagian (subset)
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Notasi : A  B

17 Diagram Venn Himpunan Bagian
2 3

18 Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A  A. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka berlaku   A. Jika A  B dan B  C, maka A  C

19 6. Himpunan yang Sama Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika. A = B  A  B dan B  A

20 6. Himpunan yang Sama Contoh 2.17 : Jika Maka A = B Dan
Karena urutan elemen di dalam himpunan tidak penting

21 7. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dengan menggunakan lambang matematika, A  B  A = B Contoh :

22 8. Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis : A // B.

23 Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

24 9. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P (A) atau 2A

25 Contoh : Jika Maka

26 10. Operasi Thdp Himpunan Irisan (intersection)
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

27 Diagram Venn Operasi Irisan

28 Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.
Gabungan (union) Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

29 Diagram Venn Operasi Gabungan

30 Komplemen (complement)
Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau Ā

31 Diagram Venn Komplemen
U A

32 Selisih (difference) Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’

33 Diagram Venn Operasi Selisih

34 Beda Setangkup (symmetric difference)
Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau B saja.

35 Diagram Venn Beda Setangkup

36 Perkalian Kartesian Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }

37 Contoh 2.29 : Perkalian Kartesian
Misal : C = { 1, 2, 3 } D = { a, b } Maka : C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b), (3,a) , (3,b)} Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a,b)  (b,a)

38 Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong
Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

39 11. Perampatan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau lebih himpunan.

40 Contoh : Misalkan : Maka,

41 Pertemuan 5

42 12. Hukum-hukum Aljabar Himpunan
No Hukum 1 Identitas (i) (ii) 2 Dominasi (i) (ii) 3 Komplemen (i) (ii) 4 Idempoten (i) (ii)

43 5 Involusi 6 Penyerapan 7 Komutatif 8 Asosiatif

44 9 Distributif 10 De Morgen Hukum 0/1 Kompl. 2 11

45 13. Prinsip Dualitas 1 Identitas : Dualnya : 2 Dominasi : 3
Komplemen : 4 Idempoten :

46 5 Penyerapan : Dualnya : 6 Komutatif : 7 Asosiatif : 8 Distributif : 9 De Morgan : 10 Hukum 0/1

47 14. Prinsip Inklusi - Eksklusi
AB = A + B - A  B Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup

48 Contoh 2.35 : Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100
yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3. B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5. A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5, yaitu 15) Yang ditanyakan adalah AB.

49 AB = A + B - A  B = 33 + 20 – 6 = 47
Terlebih dahulu kita harus menghitung Untuk mendapatkan AB = A + B - A  B = – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

50 Contoh 2.36 : Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi
lebih dari dua buah himpunan ABC = A + B + C - A  B - A  C - B  C +  ABC  Contoh : I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris. P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis. J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman. maka I = 1232, P = 879, J = 114 I  P = 103, I  J = 23, P  J = 14, dan IPJ = 2092

51 Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan
IPJ = I + P + J - I  P - I  J - P  J +  IPJ  Memberikan 2092 = –  IPJ  Sehingga  IPJ  = 7 Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.

52 Sifat-sifat Operasi Himpunan dan prinsip dualitas

53 15. Partisi Contoh 2.37 : Partisi dari sebuah himpunan A adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,…dari A sedemikian sehingga : a. b. Himpunan bagian Ai saling lepas, yaitu Contoh : Misalkan Adalah partisi dari A

54 16. Pembuktian Proposisi Himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan : Diagram Venn Tabel keanggotaan Sifat aljabar/operasi himpunan Definisi

55 Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn : Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar.

56 Contoh : Keduanya memberikan area arsiran yang sama A B A B C C

57 B B A A C C

58 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan.
Contoh : A B C BC A(BC) AB AC (AB)(A C) 1

59 p q p  q T F p q p  q T F Konjungsi Disjungsi

60 Pembuktian dengan menggunakan sifat aljabar/operasi himpunan.
Contoh : Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa Penyelesaian :  Distributif  Komplemen  Identitas

61 Pembuktian dengan menggunakan definisi.
Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya terdapat notasi himpunan bagian Contoh : Misalkan A dan B himpunan. Jika dan maka Buktikan !

62 17. Himpunan Ganda & Operasinya
Pada himpunan ganda, terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda disebut multiplisitas. Contoh : Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9} Multiplisitas 2 adalah 3 Multiplisitas 8 adalah 2

63 Operasi Gabungan Operasi gabungan pada multiset akan menghasilkan multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}

64 Operasi Irisan Operasi irisan pada multiset akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} ST = { 1,1,2,2,3}

65 Operasi Selisih Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara : Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S – T multiplisitas anggota yang ada pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya positif Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )

66 Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} S-T = { 2 } T-S = { 1,3,4}

67 Operasi Jumlah Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama. Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3} T = { 1,1,1,2,2,3,3,4} S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}