Interpolasi Newton Oleh: Davi Apriandi

Presentasi berjudul: "Interpolasi Newton Oleh: Davi Apriandi"— Transcript presentasi:

1 Interpolasi Newton Oleh: Davi Apriandi
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2013

2 Pendahuluan Metode: Mendapatkan sebuah fungsi eksak (semua titik data dipenuhi) yang memiliki order (n-1), dengan n adalah jumlah data. Tujuan: Mencari nilai antara dua titik data. Interpolasi: Interpolasi Linear Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kubik Beda Terbagi Newton

3 Interpolasi Linier Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus. Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.

4 1. Interpolasi Linear (membutuhkan dua titik data)
Persamaan garis lurus f1(x) adalah: x0 x1 f(x0) f(x1) f1(x) Atau:

5 Contoh1: Diketahui: x0 = 5  f(x0) = 2,015 x1 = 2,5  f(x1) = 2,571
Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

6 Contoh2: Diketahui: log 3 = 0,4771213 log 5 = 0,698700
Harga sebenarnya: log (4,5) = 0, (kalkulator). Ditanya log(4,5) dengan interpolasi linier. Jawab: Harga yang dihitung dengan interpolasi: log (4,5) = 0,

7 Soal:

8

9 2. Interpolasi Kuadratik / Newton orde dua
(membutuhkan tiga titik data ) f2(x) x = x0 : x0 x2 f(x0) f(x2) x1 f(x1) x = x1 : x = x2 :

10 f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
Pendekatan dengan kelengkungan Sehingga f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) dengan Pendekatan dengan garis linier

11 3. Interpolasi Kubik (membutuhkan empat titik data )
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) dengan:

12 Interpolasi Beda Terbagi Newton (pembagi beda Newton)
Secara umum: f1(x) = b0 + b1(x-x0) f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) … fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … + bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1) Dengan: b0 = f(x0) b1 = f[x1, x0] b2 = f[x2, x1, x0] … bn = f[xn, xn-1, xn-2, , x0]

13 Fungsi siku […] disebut pembagian beda hingga
Definisi:

14 Langkah skematis pembagian hingga
f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] f[x2,x1] f[x3,x2,x1] f[x3,x2] x0 f(x0) 1 x1 f(x1) 2 x2 f(x2) 3 x3 f(x3) i xi f(xi) I II III

15 Contoh1: Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan  = 4%, jika diketahui: t10% = 1,476 t2,5% = 2,571 t5% = 2,015 t1% = 3,365 dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!

16 Penyelesaian: Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik
x0 = 5 f(x0) = 2,015 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365 b0 = f(x0) = 2,015

17 f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
= 2,121

18 Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik
x0 = 5 f(x0) = 2,015 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365 x3 = 10 f(x3) = 1,476

19 b0 = f(x0) = 2,015 b1 = -0,222  f[x1,x0] b2 = 0,077  f[x2,x1,x0]

20 f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1) = 2, , , ,0315 = 2,153

21 Contoh2: Dapatkan nilai fungsi ketika x = 2,5 jika diketahui titik-titik data dibawah ini dengan metode Interpolasi Newton yi xi 1 2 3 4 5 6 8 11 16 Jawab:

22 4 -1 0.5 2 0.166 3 1 5 6 8 11 16 i xi f(xi) I II III IV ( ) 4 3 2 1 0833 , 5 - x (x) f + = dan f4(2,5) =

23 Soal:

24