RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi.

Presentasi berjudul: "RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi."— Transcript presentasi:

1 RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi

2 Hasil Kali Titik Definisi
Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor dan yang dinyatakan Didefinisikan sebagai hasil-kali antara besar Vektor-vektor dan dan cosinus θ antara keduanya. Perhatikan bahwa adalah sebuah skalar dan bukan vektor

3 Hasil Kali Titik Hukum-hukum berikut berlaku:

4 Hasil Kali Titik Contoh dan Tentukan
Misal dan Tentukan b. Tentukan sudut yang terbentuk antara vektor c. Tentukan nilai dengan menggunakan sudut yang diperoleh dinomor b.

5 Hasil Kali Silang atau Vektor
Definisi Hasil kali silang dari dan adalah sebuah vektor Besarnya didefinisikan sebahai hasil kali antara besarnya dan sinus sudut θ antara keduanya. Arah vektor tegaklurus pada bidang yang memuat Sedemikian rupa sehingga Membentuk sebuah sistem tangan kanan.

6 Hasil Kali Dalam Definisi dalam bentuk matematika
dimana Adalah vektor satuan yang menunjukan arah dari

7 Hasil Kali Silang Berlaku hukum-hukum berikut:

8 Hasil Kali Silang Contoh Misalkan Tentukan:

9 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi
Hasil kali dalam dinotasikan <. , .> adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, ,α suatu skalar, maka berlaku: Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam

10 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh Misal dan adalah vektor-vektor pada R2.
Tunjukkan bahwa ruang berikut merupakan ruang hasil kali dalam

11 Ruang Hasil Kali Dalam Sifat-sifat Jika
adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam rill dan k sebarang skalar, maka:

12 Ruang Hail Kali Dalam Panjang dan Sudut diruang Hasil Kali Dalam
Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) vektor dinyatakan oleh dan Jarak antara 2 vektor dan dinyatakan oleh Jika θ adalah sudut antara dan , maka

13 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh panjang dan sudut Misal Misal dan dan
maka

14 Ruang Hasil Kali Dalam Definis ortogonal Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor dan Dinamakan ortogonal jika . Selanjutnya, jika ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa ortogonal terhadap W.

15 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh
Tentukanlah apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut ortogonal terhadap hasil kali dalam.

16 Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan ortogonal jika semua pasang vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

17 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh
Tentukan himpunan vektor dibawah ini yang merupakan himpungan ortonormal.

18 Ruang Hasil Kali Dalam Teorema Jika
Adalah basis ortonormal untuk ruang hasil Kali dalam V, dan adalah sebarang vektor dalam V, maka

19 Ruang Hasil Kali Dalam Teorema
Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V Jika adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan adalah sebarang vektor dalam V maka Jika adalah suatu basis ortogonal untuk W dan adalah sebarang vektor dalam V maka

20 Ruang Hasil Kali Dalam Komponen u yang ortogonal terhadap W Jika maka
dimana Adalah komponen u yang ortogonal terhadap W

21 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh W adalah subruang yang dibangun oleh
Vektor-vektor ortonormal, misal a. Tentukan proyeksi ortogonal dari pada W b. Tentukan komponen yang ortogonal terhadap W

22 Ruang Hasil Kali Dalam Proses Gram Schimdt
Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan vektor ortogonal. Misalkan diketahui adalah himpunan vektor yang bebas linier, maka U dapat diubah menjadi himpunan yang ortogonal dengan cara:

23 Ruang Hasil Kali Dalam Proses Gram-Schimdt

24 Ruang Hasil Kali Dalam Contoh
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis ke dalam basis ortonormal. kedalam basis ortonormal

25 Ada Pertanyaan???