Metode Iterasi Gauss-Seidel Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Presentasi berjudul: "Metode Iterasi Gauss-Seidel Penyelesaian Sistem Persamaan Linier"— Transcript presentasi:

1 Metode Iterasi Gauss-Seidel Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

2 Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) banyak dijumpai dalam keteknikan, terlebih saat berurusan dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial. SPL melibatkan n persamaan dengan n variabel (xi) yang harus ditentukan nilainya:

3 Sistem Persamaan Linier
SPL bisa ringkas ditulis dalam bentuk matriks:

4 Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode penyelesaian SPL secara umum ada 2 macam, yaitu: Metode eliminasi: Gauss Gauss-Jordan Dekomposisi LU Metode iterasi: Jacobi Gauss-Seidel

5 Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Di sini hanya akan dibahas 3 metode dari semua yang disebutkan tadi, yaitu: Metode Eliminasi Gauss Metode Dekomposisi LU Metode Iterasi Gauss-Seidel

6 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier)

7 Ide Dasar Metode Dekomposisi LU
Dari SPL [A][X] = [B] Disusun masing2 1 persamaan untuk tiap xi:

8 Ide Dasar Metode Iterasi Gauss-Seidel
Proses iterasi dimulai dengan tebakan sembarang untuk setiap xi. Lalu, nilai xi baru dihitung dari persamaan iterasi Iterasi dilanjutkan dengan xi terbaru yang tersedia. Proses iterasi dihentikan jika error dari 2 iterasi berurutan memenuhi kriteria yang ditentukan.

9 Ide Dasar Metode Iterasi Gauss-Seidel
Proses iterasi dihentikan jika error dari 2 iterasi berurutan: telah memenuhi kriteria yang ditentukan untuk semua xi.

10 Beberapa catatan; Metode Iterasi Gauss-Seidel
Proses iterasi efisien jika tebakan dekat dengan nilai sejatinya. Tebakan yang baik bisa dibuat jika fenomena fisiknya telah dipahami. Proses iterasi bisa konvergen (menuju nilai sejatinya) atau sebaliknya. Untuk menjaga konvergensi, pastikan persamaan iterasi disusun dari matriks dominan diagonal. Artinya, nilai mutlak kebanyakan elemen diagonal (aii) lebih besar daripada elemen lainnya (aij).

11 Beberapa catatan; Metode Iterasi Gauss-Seidel
Matriks [A] dalam SPL [A][X]=[B] dikatakan dominan diagonal jika: Untungnya, kebanyakan sistem fisik biasanya memberikan SPL yang dominan diagonalnya.

12 Contoh-1: Tabel data Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8
Tabel merekam data kecepatan roket pada tiga saat waktu. Kecepatan bisa dimodelkan dengan polinom orde-2: v(t)=a0+a1.t+a2t2 Dengan persamaan ini bisa ditentukan kecepatan pada waktu dalam rentang 5-12 detik. Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 12 279,2

13 Contoh-1: Sebaran data

14 Contoh-1: Sistem Persamaan Linier

15 Contoh-1: Sistem Persamaan Linier
Matriks [A] tidak dominan diagonal, sehingga tidak bisa disusun persamaan iterasi yang konvergen. Jadi metode iterasi Gauss-Seidel tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini.

16 Contoh-2: Sistem Persamaan Linier
Akan dicari penyelesaian SPL berikut: Matriks [A] di sini dominan diagonal, sehingga dari sini bisa disusun persamaan iterasi yang konvergen.

17 Contoh-2: Sistem Persamaan Linier
Persamaan iterasi: Untuk pengawalan iterasi diambil tebakan sembarang xi = 0 (i=1..3)

18 Contoh-2: Sistem Persamaan Linier
iterasi ke- error kriteria: 1E-03 x1 x2 x3 max konvergen? 1 0.083 5.583 2.821 100 belum 2 -0.14 3.935 3.759 160.7 41.88 24.96 3 0.666 3.212 3.963 120.6 22.53 5.156 4 0.932 3.036 3.997 28.55 5.792 0.833 5 0.990 3.004 4.000 5.842 1.049 0.091 6 0.999 3.000 0.94 0.135 4E-04 7 1.000 0.102 0.007 0.003 8 0.002 9 0.001 2E-04 10 3E-05 11 4E-05 4E-06 konvergen