Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
1
Hasil Kali Langsung
2
Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping itu sering juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang kecil dan sederhana. Definisi X.1 : Misalkan G dan H grup. Hasil kali langsung G H adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan G H = { (g,h) | g G dan h H } dan operasi * didefinisikan sebagai (a,b) * (c,d) = (a*c , b*d).
3
Himpunan G H dinamakan hasil kali Cartesian dari himpunan G dan H yang terdiri dari pasangan berurutan (g,h). Dalam hal ini, G dan H dinamakan faktor dari G H. Bidang Cartesian R2 ={ (x,y) | x, y dalam R } merupakan salah satu contohnya dan dalam hal ini R2 = R R. Teorema X.1 Jika G dan H grup maka G H grup.
4
Contoh X.1 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z2 Z4. Dengan menggunakan prinsip pergandaan maka grup Z2 Z4 mempunyai orde 8. Abelian? Karena (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) dan (c,d) + (a,b) = (c+a,d+b) dan dengan mengingat Z2 dan Z4 abelian maka Z2 Z4 juga abelian. Orde dari anggota Untuk sebarang anggota Z2 Z4 mempunyai sifat k. (a,b) = (k . a, k . b) dengan k dalam Z khususnya 4. (a,b) = (4 . a, 4 . b) = (0, 0). Oleh karena itu orde dari (a,b) merupakan pembagi 4. Anggota (0, 0), (1, 2) dan (1, 1) berturut-turut mempunyai orde 1, 2, dan 4. Siklik? Karena grup mempunyai orde 8 dan tidak ada anggota Z2 Z4 yang mempunyai orde lebih dari 4 maka Z2 Z4 tidak siklik. ■
5
Contoh X.2 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z2 Z2 Z2 Z2. Order dari grup Z2 Z2 Z2 Z2 adalah = 16. Grup ini merupakan grup abelian karena Z2 abelian. Order dari setiap elemen 1 atau 2 sebagai contoh (1, 0, 1, 1) mempunyai order 2. Tidak ada elemen yang mempunyai order 16. Hal itu berarti Z2 Z2 Z2 Z2 bukan grup siklik.
6
Contoh X.3 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup R* R*. Terdapat banyak cara untuk memilih (a,b) sehingga ordernya berhingga. Elemen a, b dalam R* dapat mempunyai order 1, 2 atau . Jika mempunyai order berhingga maka (a,b) mempunyai order 1 atau 2 sedangkan jika salah satu dari a atau b mempunyai order maka (a,b) mempunyai order . Hal itu berarti elemen-elemen dalam R* R* mempunyai order 1, 2 atau .
7
Perlu dicatat bahwa R. dan R. R
Perlu dicatat bahwa R* dan R* R* keduanya mempunyai order, keduanya abelian, keduanya tidak siklik, elemen-elemennya dapat mencapai order 1, 2 atau . Namun demikian, keduanya tidak isomorfis karena dalam R* hanya -1 yang mempunyai order 2 sedangkan dalam R* R* ada 3 elemen yang mempunyai order 2 yaitu (-1,1), (1, -1) dan (-1,-1).
8
Definisi X.1 Misalkan G1, G2, …., Gk grup. Hasil kali langsung G1 G2 …. Gk adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan { (g1, g2, … , gk) | gj Gj untuk setiap j } dan operasi * didefinisikan dengan (g1, g2, … , gk) * (h1, h2, … , hk) = (g1 * h1, g2 * h2 … , gk * hk ). Teorema X.2 Jika G1, G2, …., Gk grup maka G1 G2 …. Gk grup.
10
Berikut ini diberikan sifat-sifat tanpa bukti
Jika setiap faktor G mempunyai orde berhingga maka orde dari G1 G2 …. Gk sama dengan | G1 | |G2 | … | Gk|. G1 G2 …. Gk abelian jika dan hanya jika Gj abelian.
11
Latihan Jika G dan H sebarang grup maka buktikan bahwa G H isomorfis dengan H G . Jika G sebarang grup dan { e } grup dengan satu anggota maka G G { e }. Jika f : G H G dengan f(x,y) = x maka buktikan f homomorfisma. Misalkan G mengandung grup bagian sejati H dan K sehingga G H K. Dengan memperhatikan syarat apa yang harus dipenuhi untuk H dan K, tunjukkan bahwa fungsi P : G K yang didefinisikan dengan baik dan homomorfisma.
12
Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari Z3 Z4.
Buktikan bahwa Z8* Z2 Z2. Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R R R. Diketahui (a1, a2, …., ak) G1 G2 … Gk. Buktikan dengan induksi bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif m berlaku : (a1, a2, …., ak)m = (a1m, a2m, …., akm) . Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R Z2.
13
TERIMA KASIH
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.