MONOID, INVERS, KUASIGRUP dan LOOP

Presentasi berjudul: "MONOID, INVERS, KUASIGRUP dan LOOP"— Transcript presentasi:

1 MONOID, INVERS, KUASIGRUP dan LOOP

2 TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop

3 Cakupan Monoid Invers dalam monoid Kuasigrup Loop

4 MONOID Monoid (G,) adalah himpunan tak kosong dengan operasi “” yang bersifat: Tertutup terhadap operasi “” Asosiatif, (xy)z = x(yz) untuk setiap x,y,zG Ada unkes (kiri=kanan=e), sehingga xe=ex=x, untuk setiap xG Beri contoh-contoh monoid dan yang bukan monoid Monoid dapat bersifat komutatif (abelian) atau pun tidak komutatif (non-abelian).

5 Invers/Regulir (M,) monoid dengan unkes = e disebut:
Regulir kiri = punya invers kiri, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x′x=e. Regulir kanan = punya invers kanan, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x  x′ =e. Regulir = punya invers, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x′x = xx′ = e.

6 GRUP Grup adalah himpunan tak kosong dengan satu operasi  yang bersifat: Tertutup terhadap  Asosiatif untuk operasi  Mempunyai unkes Setiap elemen mempunyai invers (regulir) Grup yang komutatif disebut grup Abelian, dan yang tidak komutatif disebut grup non-Abelian

7 Mana yang merupakan grup? (sebut yang Abelian)
1.(N,+), (N,), (Z,+), (Z,), (Q,+), (Q,), (R,+), (R,), (C,+), (C,), (2Z,+), (2Z,) 2.Himpunan matriks (22) bilangan bulat dengan operasi penjumlahan matriks. Bila dengan operasi perkalian matriks? 3.Himpunan matriks (22) bilangan riil dengan operasi penjumlahan matriks. Bila dengan operasi perkalian matriks?

8 Kuasigrup Suatu grupoid adalah kuasigrup jika dan hanya jika setiap persamaan kiri dan kanan dapat dipecahkan dengan jawab tunggal. Mana yang kuasigrup? (C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+) (C,), bila ab=a+b+ab (C,), bila ab=a2–b

9 Teorema Dalam kuasigrup berlaku pencoretan kiri dan kanan.
Grupoid berhingga adalah kuasigrup jika dan hanya jika memenuhi pencoretan kiri dan kanan. Jadi ciri tabel Cayley: setiap baris dan kolom semua unsurnya berbeda.

10 Loop Adalah kuasigrup yang mempunyai unkes. Mana yang loop?
(C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+) (C,), bila ab=a+b+ab (C,), bila ab=a2–b

11 Penutup Monoid: sistem yang tertutup, asosiatif dan mempunyai unsur kesatuan Invers dalam monoid: a1a=unkes, aa1 =unkes Kuasigrup: sistem yang tertutup dan setiap persamaan kiri/kanan mempunyai jawab tunggal Loop: kuasigrup yang mempunyai unkes