Tentang Operator, Fungsi Eigen, dan Nilai Eigen,.

Presentasi berjudul: "Tentang Operator, Fungsi Eigen, dan Nilai Eigen,."— Transcript presentasi:

1 Tentang Operator, Fungsi Eigen, dan Nilai Eigen,

2 Operator  Fungsi f  f(x) d/dx f f´ 3 3f cos ( ) x cos x √ √x
Definisi umum operator:  f(x) = g(x) Yakni, operator adalah suatu aturan yang mentransformasikan suatu fungsi f menjadi fungsi yang lain. Kita tuliskan sebuah operator dengan notasi ‘topi’ atau circumflex ^. Contoh: Operator  Fungsi f  f(x) d/dx f f´ 3 3f cos ( ) x cos x √ √x

3

4 Urutan sangat penting, pertama operator B bekerja pada
fungsi f(x), dan diikuti dengan operator  bekerja pada produk (Bf).

5 Urutan operasi harus dipatuhi!
Sifat yang sangat penting, tinjau hubungan komutasi: Operator tidak perlu memenuhi hukum komutatif Urutan operasi harus dipatuhi!

6 Kuadrat dari suatu operator didefinisikan sebagai
Produk dari operator tersebut dengan dirinya sendiri

7 Contoh operator non-linier:
Kita akan banyak menggunakan operator linier yang memenuhi aturan: Contoh operator non-linier:

8 Untuk operator linier, berlaku identitas:

9 Hubungan komutasi umum:

10 dapat berupa operator diferensial ataupun
operator multiplikatif

11 Tinjau kembali Persamaan Schrödinger
Dapat dituliskan: Atau: dengan adalah hamiltonian mekanika kuantum

12 Fungsi Eigen Persamaan Schrödinger: adalah contoh persamaan

13  f(x) = k f(x) Jika untuk suatu operator  terdapat suatu fungsi f(x)
sedemikian rupa sehingga:  f(x) = k f(x) dengan k adalah konstanta, maka f(x) merupakan fungsi eigen dari  dengan nilai eigen k Contoh: Jadi exp [2x] merupakan fungsi eigen dari operator d/dx dengan nilai eigen 2

14 Tinjau  suatu operator linier, memenuhi (c konstan):
dengan fungsi eigen f dan nilai eigen k Tunjukkan bahwa cf juga merupakan fungsi eigen dari  dengan nilai eigen k yang sama, apabila c konstan Bukti:

15 dan nilai eigen yang terkait kn sedemikian rupa sehingga:
Suatu operator linier  akan memiliki himpunan fungsi eigen: dan nilai eigen yang terkait kn sedemikian rupa sehingga: Himpunan fungsi eigen bersifat ortonormal, yaitu:

16 exp [ikx] ik -k2 cos kx sin kx
Contoh operator beserta fungsi eigen terkait Operator Fungsi Eigen Nilai eigen exp [ikx] ik -k2 cos kx sin kx

17 Ringkasan: 1. Persamaan nilai eigen: 2. Definisi umum operator: Â f(x) = g(x) 3. Opertor memenuhi sifat-sifat:

18 4. Operator linier memenuhi:
5. Operator linier  mempunyai set fungsi eigen: dan nilai eigen terkait kn, sedemikian rupa sehingga: Dengan fn bersifat ortonormal: