Teori bilangan Dosen : Wiyono M,Pd 2B1 Matematika Kelompok 4 :

Presentasi berjudul: "Teori bilangan Dosen : Wiyono M,Pd 2B1 Matematika Kelompok 4 :"— Transcript presentasi:

1 Teori bilangan Dosen : Wiyono M,Pd 2B1 Matematika Kelompok 4 :
1. Anggi Desyana P 6. Nur Wakhid 2. Anisa Febriani 7. Rahmatika RA 3. Desi Atika 8. Siti Nurfadillah 4. Esti Yuliana 9. Syara Syafitri 5. Maya Febriani 10. Wilda Oktaviani

2 Teorema fermat dan wilson

3 A. Teorema fermat Perhatikan barisan bilangan: 4, 8, 12, 16, 20, 24
Bilangan-bilangan dalam barisan ini kongruen modulo 7 berturut-turut dengan: 4, 1, 5, 2, 6, 3 Tampak pada barisan bilangan terakhir ini, suku-sukunya adalah bilangan-bilangan asli kurang dari 7, yaitu unsur- unsur dari himpunan residu terkecil modulo 7. Contoh tersebut merupakan satu ilustrasi dari teorema berikut ini : Teorema 5.1 Jika (a,m)=1 maka residu-residu terkecil modulo m dari barisan: a, 2a, 3a,…,(m-1)a adalah suatu permutasi dari 1, 2, 3,…,(m-1).

4 Teorema 5.1 dapat dikatakan bahwa jika (a,m)=1 maka setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu dari 0, a, 2a, 3a,…,(m-1)a. Ingat bahwa setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu dari 0,1,2,3,4,…,(m-1). Bukti :

5 Teorema 5.2: Jika p suatu bilangan prima dan (a,p)=1 maka ap-1 1 (mod p) Bukti : Ambil sembarang bilangan prima p dan bilangan bulat a sedemikian (a,p)=1 maka menurut Teorema 5.1, residu-residu terkecil mod p dari: a,2a,3a,…,(p-1)a adalah suatu permutasi dari 1,2,3,…,(p-1) sehingga hasil kalinya akan kongruen mod p juga, yaitu: a,2a,3a…(p-1)a 1,2,3…(p-1)(mod p) ap-1 (1,2,3…(p-1)) (p-1)!(mod p) ap-1 (p-1) ! (p-1)!(mod p)

6 Karena p dan (p-1). Saling prima (mengapa
Karena p dan (p-1)! Saling prima (mengapa?) maka kita dapat melenyapkan (p-1)! dari kekongruenan terakhir ini sehingga diperoleh: ap-1 1 (mod p) teorema fermat tersebut dapat dinyatakan lebih umum dengan meniadakan ketentuan (a,p) = 1

7 Teorema wilson Teorema 5.5 : Jika p suatu bilangan prima maka kekongruenan X2 1 (mod p) mempunyai tepat dua solusi, yaitu 1 dan p-1. Bukti: Misalkan r adalah suatu solusi dari pengkongruenan X2 1 (mod p) maka r2 – 1 0 (mod p) (r+1)(r-1) 0 (mod p) Pengkongruenan terakhir ini berarti p I (r+1) (r-1) karena p suatu bilangan prima maka: p I (r+1) atau p I (r-1) r+1 0 (mod p) atau r-1 0 (mod p) r -1 (mod p) atau r 1 (mod p) r (p-1) (mod p) atau r 1 (mod p)