STATISTIK DAN PROBABILITAS pertemuan 15 & 16 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom Source : Mr.Rusli M. RUSLI DAENK.

Presentasi berjudul: "STATISTIK DAN PROBABILITAS pertemuan 15 & 16 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom Source : Mr.Rusli M. RUSLI DAENK."— Transcript presentasi:

1 STATISTIK DAN PROBABILITAS pertemuan 15 & 16 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
Source : Mr.Rusli M. RUSLI DAENK

2 BAB XI Teori Probabilitas
Definisi : jika terdapat sejumlah n kejadian yang mungkin timbul dan jika kejadian tersebut lengkap terbatas jumlahnya (exhaustive), saling lepas dan memiliki kesempatan yang sama untuk timbul, maka jika sejumlah m dari kejadian di atas merupakan peristiwa E, probabilita peristiwa E tersebut dapat dirumuskan sebagai suatu ratio m/n Ruang sampel Sebuah ruang sampel S yang berkenaan dengan suatu percobaan aktual maupun konseptual merupakan sebuah himpunan yang memiliki ketentuan : 1. Tiap unsur dari S menyatakan satu hasil percobaan . 2. Tiap hasil percobaan harus sesuaidengansatu dan hanya satu unsur dari S.

3 Contoh 1 : Jumlah mata dadu sebagai hasil pelemparan sebutir dadu merah (x) & sebutir dadu putih (y)
x\y 1 2 3 4 5 6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Ruang sampel disamping dapat ditulis S={(x,y) 1  x  6; 1  y  6 } Pada pelemparan 2 butir dadu diatas, seluruh kejadian (hasil) yang mungkin timbul adalah sebesar 6n=62=36. Dengan kata lain ruang sampel terdiri atas 36 titik sampel. Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel yang terdapat dalam ruang sampel tersebut menjadi sebesar 1/36. Probabilita x=y adalah sebesar 6/36 atau 1/6 yaitu (1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5) dan (6,6). Probabilita x+y=10 adalah sebesar 3/36 atau 1/12 yaitu (4,6),(5,5), dan (6,4)

4 Contoh 2 : Probabilita untuk dapat memilih sebuah sampel yang terdiri dari 3 orang dari sebuah populasi yang terdiri dari 30 orang adalah sebesar

5 Peristiwa (event) Ruang sampel dapat dianggap sebagai suatu himpunan universal bagi semua hasil aktual yang mungkin terjadi,karena pada tiap percobaan kita selalu ingin mengetahui terjadinya pelbagai macam peristiwa atau kejadian yang berkenaan dengan percobaan Pada percobaan pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali akan menghasilkan ruang sampel S={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} Peristiwa timbulnya dua sisi adalah A={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}

6 Probabilitas suatu peristiwa
Definisi : jika suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta memiliki kesempatan untuk terwujud yg sama & jika m dari hasil diatas merupakan peristiwa A, Jika semua peristiwa yang bukan A dinyatakan dengan A’ , Perumusan diatas harus memenuhi : Probabilita A bukan bilangan negatif p(A) > 0 Jumlah prob A harus =1 atau p(A)+p(A’)=1 Perumusan diatas membawa konsekuensi prob A dan A’

7 Contoh : sebutir dadu yang homogen memiliki 6 sisi, 4 dari keenam sisi dicat merah sedangkan 2 sisinya dicat biru. Jika dadu tersebut dilempar sekali, berapakah probabilita timbulnya sisi yang bercat merah dan berapa probabilita timbulnya sisi dadu yang bercat biru. p(merah) =4/6=2/3=0,667 P(biru) =2/6=1/3=0,333 Probabilita relative = p(A)/p(A’) = (2/3)/(1/3) = 2/1 atau 2 berbanding 1

8 Ketentuan : Jika A merupakan suatu peristiwa, maka kita katakan rasio yang menguntungkan A adalah a berbanding b jika dan hanya jika Dan rasio yang yang merugikan A’ adalah b berbanding a jika dan hanya jika

9 Peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive)
Dua peristiwa merupakan peristiwa yang saling lepas jika kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Secara matematis, dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak memiliki unsur yang sama dan AB= Teorema : jika A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas maka p(A  B) = p(A) + p(B) dimana A  B =  dan p(A  B) = p() = 0 A B

10 Contoh 1 : Jika sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilita trimbulnya mata dadu 1 atau mata dadu 5 p(A  B) = p(A) + p(B) = 1/6+1/6 =1/3 Teorema : Jika terdapat beberapa peristiwa yang saling lepas A1,A2,A3,…,Am dalam ruang sampel maka p(A1  A2  A3...  Am)= p(A1)+p(A2)+…+p(Am) Contoh 2 : pada pelemparan sebuah dadu homogen berapakah probabilita munculnya mata 1 atau mata 2 atau mata 3 atau mata 4 atau mata 5 atau mata 6. = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1/6+ 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 1

11 Latihan Sebuah dadu dilempar dua kali . Peluang mendapatkan jumlah mata dadu paling sedikit 10 adalah .. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah … Dua dadu dilempar sekali. Besar peluang munculnya jumlah mata kedua dadu = 7 atau 10 adalah … Suatu kantong berisi 10 kelereng merah dan 20 kelereng putih. Peluang untuk mengambil 1 kelereng merah adalah … Pada pelemparan tiga uang logam bersamaan , peluang muncul sekurang – kurangnya 1 gambar adalah …

12 Peristiwa yang tidak saling lepas
Definisi : Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas jika kedua peristiwa tidak terpisah Teorema : Jika peristiwa A dan B merupakan suatu gabungan (union) dan tidak saling lepas dan kedua peristiwa tersebut terdapat dalam sebuah ruang sampel yang terbatas maka probabilita AB adalah P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) Jika peristiwa A,B dan C dan peristiwa tersebut tidak saling lepas maka peristiwa A atau B atau C P(ABC) = p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC) A B C A B

13 Contoh : Dalam sebuah populasi yang terdiri dari pembaca koran, persentasi pembaca koran A,B dan C adalah sebagai berikut : yang membaca koran A= 9,8%, yang membaca koran B=22,9%, yang membaca koran C=12,1%, yang membaca koran A dan B =5,1%, yang membaca koran A dan C =3,7% dan yang membaca koran B dan C=6,0%. Sedangkan yang membaca koran A dan B dan C = 2,4% Tentukanlah: Berapa persen pembaca yang ternyata membaca paling sedikit satu koran. p(ABC)=p(A) + p(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - p(B C) + p(ABC) = 9,8% + 22,9% + 12,1% - 5,1% - 3,7% - 6,0% + 2,4% = 32,4% b. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran A atau B p(AB)=p(A)+p(B)-p(A B) =9,8%+22,9%-5,1% = 27,6% c. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran A atau C p(AC)=p(A)+p(C)-p(A C) = 9,8%+12,1%-3,7% = 18,2% d. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran B atau C p(BC)=p(B)+p(C)-p(BC) =22,9%+12,1%-6,0% = 29,0%

14 Peristiwa yang independen
Defenisi : Dua peristiwa dikatakan independenjika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa kedua p(A  B)=p(A).p(B) Contoh : Jika dua buah kartu dipilih secara random dan secara berturut-turut dari setumpuk kartu bridge. Jika kartu pertama dikembalikan sebelum kartu kedua dipilih. Berapa probabilita kartu pertama kartu keriting dan kartu kedua bukan kartu AS

15 Probabilita bersyarat
Jika p(B) > 0, probabilita bersyarat dari peristiwa A dengan syarat peristiwa B Contoh : Tiga bola putih dan satu bola merah dimasukkan kedalam kotak, jika seorang secara random dan berturut-turut mengambil 2 bola dari dalam kotak. Serta bola pertama tidak boleh dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Berapa probabilita kedua bola itu putih semua

16 Teorema Bayes Teorema BAYES dikemukakan oleh Thomas Bayes tahun 1763
Teorema 1: Jika {A1,A2,…,An} merupakan suatu peristiwa dari ruang sampel S dan jika setiap peristiwa {A1,A2,…,An} memiliki probabilita  0 maka P(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A2).p(A/A2) +…+ p(An).p(A/An) Teorema 2 : Jika {A1,A2,…,An} merupakan peristiwa dari ruang sampel s dan jika masing-masing {A1,A2,…,An} memiliki probabilita  0 dan jika tiap sebarang peristiwa A memiliki probabilita p(A) > 0 maka tiap bilangan bulat k, 1  k  n, kaedah Bayes dirumuskan

17 Contoh 1 : 30% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp /bulan, 25 %dari keluarga dengan penghasilan Rp – Rp /bulan, 25 % dari keluarga dengan penghasilan Rp – Rp /bulan, 20 % dari keluarga dengan penghasilan lebih dari Rp /bulan. 50% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp /bulan, 30% dari keluarga dengan penghasilan Rp – Rp /bulan, 10 % dari keluarga dengan penghasilan Rp – Rp /bulan, 2 % dari keluarga dengan penghasilan lebih dari Rp /bulan, telah menerima paket kuesioner tentang pengeluaran keluarga perbulan. Andaikan secara random kita memilih satu keluarga diatas berapa probabilita keluarga tersebut yang terpilih sudah menerima paket tersebut P(A) = p(A1 )p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+p(A3).p(A/A3)+p(A4).p(A/A4) P(A) = 0,30.0,50+0,25.0,30+0,25.0,10+0,20.0,02 P(A )= 0,254

18 Contoh 2 : Dari seluruh penderita TBC yang diuji dengan sinar X, 90% dari seluruh pemeriksaan membenarkan adanya TBC pada diri penderita, tetapi 10% dari hasil pemeriksaan gagal menemukan adanya penyakit TBC. Dari semua orang yang bukan merupakan penderita TBC dan yang diuji melalui sinar X, 99% hasil pemeriksaan membenarkan bahwa orang-orang tersebut bebas TBC, tetapi masih ada 1 % yang menunjukkan adanya penyakit TBC. Jika seorang diambil secara random dimana 0,1 % saja yang menderita TBC dan jika orang tersebut diperiksa dengan sinar X, ternyata memang ada pada orang tersebut. Berapa probabilita benar-benar menderita TBC P(A1) = 0,001 (menderita TBC 0,1%, dipilih secara random) p(A1’) =1-0,001= 0,999 (tidak menderita TBC) P(A/A1) =0,90 (menderita TBC 90% , dengan sinar X) p(A/A1’) =0,01 (menderita TBC 1% , setelah diuji sinar X untuk ke-2 x nya)

19 Contoh 2 (lanjutan):

20 Contoh 2 (Lanjutan) : A (sinar X positif) (sinar X negatif) A1
(menderita TBC) P(A1) 0,001 A1’ (tidak menderita TBC) P(A1’) 0,999 Jumlah P(A) 0,01089 P(A’) 0,98911 1,000

21 Latihan Peluang seorang laki – laki akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 4/7 dan peluang istrinya akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 3/5. peluang bahwa 25 tahun dari sekarang paling sedikit satu orang akan hidup adalah … Suatu kelas terdiri dari 40 siswa , 25 siswa gemar kalkulus , 21 siswa gemar aljabar , dan 9 siswa gemar kalkulus dan aljabar. Peluang seorang siswa tidak gemar kalkulus maupun aljabar adalah … Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As adalah …

22 BAB XII Permutasi dan Kombinasi
Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu Permutasi dari n obyek seluruhnya Definisi : jika n menyatakan bilangan bulat positif maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari 1 sampai n dinamakan faktorial dan diberi tanda n! Teorema 1 : Permutasi dari keseluruhan n obyek yang berbeda jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda, secara keseluruhan menjadi n!  nPn= n! Contoh : jumlah permutasi 3 jilid buku A, B, C adalah 3P3 = 3! = = 6

23 Teorema 2 : Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda
Teorema 2 : Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r serta tampa pengulangan Contoh : jumlah permutasi 2 huruf yang diambil dari kata LAUT Teorema 3 : Permutasi dari n obyek jika n obyek tersebut membuat sebuah lingkaran. Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! Cara. Contoh : Sekolompok mahasiswa yang terdiri dari 7 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa cara yang dapat dilakukan agar mahasisiwa bisa duduk disekeliling meja tersebut (7-1)! = 6x5x4x3x2x1 = 720 cara.

24 Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan tampa menghiraukan urutan obyek tersebut Teorema : Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda Contoh : Suatu sampel harus terdiri dari 5 orang jika responden tersebut dipilih dari suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita. Dalam berapa cara sampel diatas dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 pria. 3 pria 2 wanita 4 pria 1 wanita 5 pria 0 wanita Maka total = = 111 cara

25 QUIZ Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah . 4 bola kuning dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak maka peluang yang terambil itu dua bola merah dan satu bola kuning adalah .. Pengurus suatu organisasi terdiri dari enam orang. Calon yang tersedia terdiri dari lima pria dan empat wanita. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk jika paling sedikit terpilih tiga pria ! Tersedia 10 gambar yang berbeda , 2 dari gambar itu digantungkan dalam sebuah baris. Dalam berapa cara hal ini dapat dikerjakan ? Berapa cara 10 orang dapat duduk pada keliling meja apabila 2 orang yang istimewa harus duduk selalu bersama ? Berapa cara suatu pasangan ganda putra bulu tangkis dapat disusun dari 10 pemain putra? Berapakah banyak diagonal segi-6 ? Berapa cara suatu tim basket “3 on 3” dapat disusun dari 10 pemain ? Seorang siswa diperbolehkan memilih 5 dari 10 soal. Dalam berapa cara ia dapat memilihnya ?