BAB 7 ALJABAR BOOLEAN.

Presentasi berjudul: "BAB 7 ALJABAR BOOLEAN."— Transcript presentasi:

1 BAB 7 ALJABAR BOOLEAN

2 DEFINISI ALJABAR BOOLEAN
Misalkan B adalah himpunan yg didefinisikan pada dua operator biner, + dan . , dan sebuah operator uner, ‘. Misalkan 0 dan 1adalah dua elemen yg berbeda dari B. Maka, tupel (B, +, . , ‘ ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut.

3 Closure : ( i ) a + b ∈ B (artinya, hasil operasi + tetap berada di dalam B)
( ii ) a.b ∈ B (artinya, hasil operasi . tetap berada di dalam B) Identitas : ( i ) a + 0 = a ( ii ) a.1 = a Komutatif : ( i ) a + b = b + a ( ii ) a.b = b.a Distributif : ( i ) a.(b + c) = (a.b) + (a.c) ( ii ) a + (b.c) = (a + b).(a + c) Komplemen : Untuk setiap a ∈ B terdapat elemen unik a’ ∈ B sehingga (i) a + a’ = 1 (ii) a.a’ = 0 Kelima aksioma di atas disebut postulat Huntington.

4 Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, org hrs memperlihatkan :
Elemen-elemen himpunan B, Kaidah/ aturan operasi utk dua operator biner dan operator uner, Himpunan B, bersama-sama dgn dua operator tsb, memenuhi postulat Huntington. Jika ketiga syarat dipenuhi, maka aljabar yg didefinisikan dpt dikatakan sbg Aljabar Boolean.

5 ALJABAR BOOLEAN DUA-NILAI
Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1(sering dinamakan bit-singkatan dari binary digit), yaitu B = {0,1}, operator biner, + , dan operator uner, ‘.

6 Kaidah untuk operator biner ‘.’:
a.b 1

7 Kaidah untuk operator biner ‘+’ :
a + b 1

8 Kaidah operator uner ,’, :
1

9 EKSPRESI BOOLEAN Pada aljabar Boolean dua nilai, B = {0, 1}. Kedua elemen B disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yg dpt dikombinasikan satu sama lain dgn operator +, . , dan ‘.

10 Definisi Ekspresi Boolean :
Misalkan (B, +, . , ‘ ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, + , . , ‘ ) adalah : Setiap elemen di dalam B, Setiap peubah, Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2 , e1. e2 , e1’ adalah ekspresi Boolean.

11 Prinsip Dualitas DEFINISI :
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yg melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dgn cara mengganti . dgn + + dgn . 0 dgn 1 1 dgn 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sbg dual dari S.

12 HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLEAN :
Kita dpt memperoleh hukum-hukum aljabar Boolean dari hukum-hukum aljabar Himpunan dgn cara mempertukarkan  dengan +, atau v dengan +  dengan . , atau ^ dengan . U dengan 1, atau T dengan 1  dengan 0, atau F dengan 0

13 FUNGSI BOOLEAN : DEFINISI : Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sbg f : Bn  B Yg dlm hal ini Bn adalah himpunan yg beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

14 BENTUK KANONIK : Ada dua macam bentuk term (suku), yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah) Suku-suku di dlm ekspresi Boolean dgn n peubah x1, x2,…, xn dikatakan minterm jika ia muncul dlm bentuk

15 Dan dikatakan maxterm jika ia muncul dlm bentuk
Ekspresi Boolean yg dinyatakan sbg penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam Bentuk Kanonik. Ada dua macam bentuk kanonik : Penjumlahan dari hsl kali (sum-of-product atau SOP), nama lain SOP adalah bentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS), nama lain POS adalah bentuk normal konjungtif (conjunctive normal form)

16 BENTUK BAKU Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yg diperoleh dgn membaca fungsi dari tabel kebenaran. Cara lain utk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS

17 APLIKASI ALJABAR BOOLEAN :
APLIKASI ALJABAR BOOLEAN PADA JARINGAN PENSAKLARAN (SWITCHING NETWORK). APLIKASI ALJABAR BOOLEAN PADA RANGKAIAN DIGITAL ELEKTRONIK.

18 PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN
Tiga metode yg dpt digunakan utk menyederhanakan fungsi Boolean : Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean. Metode Peta Karnaugh. Metode Quine-McCluskey (metode tabulasi)

19 METODE PETA KARNAUGH Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yg terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yg bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-minterm yg merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal.

20 Peta Karnaugh dpt dibentuk dari fungsi Boolean yg dispesifikasikan dgn ekspresi Boolean maupun fungsi yg direpresentasikandgn tabel kebenaran.

21 PETA KARNAUGH DGN DUA PEUBAH
Misalkan dua peubah di dlm fungsi Boolean adalah x dan y. Baris pd peta Karnaugh utk peubah x dan kolom utk peubah y. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x’), sedangkan baris kedua dgn 1 (menyatakan x). Kolom pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan y’), sedangkan kolom kedua dgn 1 (menyatakan y) Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yg bersesuaian.

22 PETA KARNAUGH DGN TIGA PEUBAH
Untuk fungsi Boolean dgn 3 peubah (misalkan x, y, z), jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 23 = 8. Baris pd peta Karnaugh utk peubah x dan kolom utk peubah yz. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x’), sedangkan baris kedua dgn 1 (menyatakan x). Kolom pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan y’z’), kolom kedua diidentifikasi nilai 01 (menyatakan y’z), kolom ketiga diidentifikasi nilai 11 (menyatakan yz), sedangkan kolom keempat diidentifikasi nilai 10 (menyatakan yz’)

23 Perhatikan antara satu kolom dgn kolom berikutnya hanya berbeda satu bit.
Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yg bersesuaian.

24 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6

25 PETA KARNAUGH DGN 4 PEUBAH
Misalkan 4 peubah di dlm fungsi Boolean adalah w, x, y, z. Jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 24 = 16 Baris pada peta Karnaugh utk peubah wx dan kolom utk peubah yz. Baris pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan w’x’), baris kedua dgn 01 (menyatakan w’x), baris ketiga dgn 11 (menyatakan wx) dan baris keempat dgn 10 (menyatakan wx’) Kolom pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan y’z’), kolom kedua diidentifikasi nilai 01 (menyatakan yz’), kolom ketiga diidentifikasi nilai 11 (menyatakan yz), kolom keempat diidentifikasi nilai 10 (menyatakan yz’).