Operasi Pada Bilangan Bulat

Presentasi berjudul: "Operasi Pada Bilangan Bulat"— Transcript presentasi:

1 Operasi Pada Bilangan Bulat

2 Operasi Penjumlahan Sifat-Sifat Algoritma

3 Sifat-sifat Operasi Penjumlahan
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p + q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Komutatif p + q = q + p 3. Asosiatif (p + q) + r == p + (q + r) 4. Penjumlahan dengan bilangan 0 (identitas penjumlahan) p + 0 = 0 + p = p 5. Mempunyai invers penjumlahan

4 a c b a + b (a + b) + c b + c a + (b + c)

5 Penjumlahan dengan bilangan negatif
Secara urnum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika p > q (p = q + r, r bilangan asli) , maka p + (-q) = (q + r) + (-q) nama lain dari p = (r + q) + (-q) Sifat komutatif penjumlahan = r + (q + -q) Sifat asosiatif penjumlahan = r Sifat invers penjumlahan = r Sifat identitas penjumlahan = p - q Sebab p = q + r Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p - q

6 Untuk setiap bilangan cacah p dan q (-p) + (-q) = -(p + q) Bukti:
= [(-p) + (-q)] + (q + p) Mengapa? = (-P) + [((-q) + ql + P Mengapa? = (-p) + (0 + p) Mengapa? = (-p) + p Mengapa? = Mengapa? Jadi [(-p) + (-q)] + (p + q) = 0 Ini berarti ((-p) + (-q)) invers penjumlahan dari (p + q) Karena invers penjumlahan tunggal, maka (-p) + (-q) = -(p + q).

7 Operasi Perkalian Sifat-Sifat Algoritma

8 Sifat-sifat Operasi Perkalian
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p x q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Komutatif p x q = q x p 3. Asosiatif (p x q) x r == p x (q x r) 4. Perkalian dengan bilangan 0 p x 0 = 0 x p = 0 5. Perkalian dengan bilangan 1 (identitas perkalian) p x 1 = 1 x p = 1 6. Distributif perkalian terhadap penjumlahan p x (q + r) = (pxq) + (pxr) (distributif kiri) (q + r) x p = (qxp) + (rxp) (distributif kanan)

9 ◊ 4 5 3 2 5 = 3 + 2 ◊ ◊ 4 x (3 + 2) = (4 x 3) + (4 x 2)

10 Definisi: Untuk p dan q bilangan cacah, perkalian bilangan bulat didefinisikan seperti berikut:
p .q = n (P x Q), di mana p = n (P) dan q = n (Q), P dan Q himpunan (-p) . (-q) = p . q (-p) . q = p . (-q) = - (p . q)

11 Secara umum, dapat dibuktikan (-p).q = -(p.q)
Telah diketahui -(p.q) adalah invers penjumlahan dari pq. Dengan kata lain -(pq) + pq = 0. Karena invers penjumlahan bilangan bulat tunggal, maka untuk menunjukkan (-p).q = -(pq), cukup ditunjukkan, bahwa (-p).q adalah invers penjumlahan dari pq. Dengan kata lain harus ditunjukkan bahwa (-p).q + pq = 0. Sekarang (-p).q + pq = [(-p) + p].q Mengapa? = 0.q Mengapa? = Mengapa? Sehingga (-p).q = -(p.q) 

12 Tunjukkan (-p).(-q) = p.q. Untuk p, q bilangan-bilangan bulat.
Jawab: Untuk menunjukkan (-p).(-q) = pq, cukup menunjukkan bahwa [(-p).(-q)] + -(pq) = Mengapa? Cobalah dikerjakan sebagai latihan.

13 Operasi Pengurangan Sifat-Sifat Algoritma

14 Sifat-sifat Operasi Pengurangan
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p - q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Distributif perkalian terhadap pengurangan p x (q - r) = (pxq) – (pxr) (distributif kiri) (q - r) x p = (qxp ) – (rxp) (distributif kanan)

15 Operasi Pembagian Sifat-Sifat Algoritma

16 Sifat-sifat Operasi Pembagian
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Pembagian dengan bilangan 0 0 ÷ p = 0 2. Pembagian dengan bilangan 1 p ÷ 1 = p 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi) (q + r) ÷ p = (q ÷ p) + (r ÷ p) 4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi) (q - r) ÷ p = (q ÷ p) - (r ÷ p)