ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

Presentasi berjudul: "ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS"— Transcript presentasi:

1 ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

2 Pengertian Nilai parameter-parameter model Linear Programming (LP) bisa turun (berkurang) atau naik (bertambah). Perubahan nilai parameter model dapat mempengaruhi solusi optimal yang telah dihasilkan. Analisis sensitivitas memberikan batas perubahan nilai parameter model yang membuat solusi optimal tetap optimal.

3 Parameter yang Berubah
Max: cX Subject to: aX < b X > 0 Koefisien fungsi tujuan, ci Variabel basis (Basic variable, BV) Variabel non-basis (Non-basic variable, NBV) Koefisien ruas kanan fungsi kendala, bi

4 Metode Analisis Grafik Matematik Z = cBV.XBV + cNBV.XNBV
s.t. B.XBV + N.XNBV = b XBV, XNBV > 0

5 Metode Grafik Contoh: Max z = 3x1 + 2x2
2 x1 + x2 ≤ 100 (kendala finishing) x1 + x2 ≤ (kendala tukang) x ≤ 40 (kendala demand) x1,x2 ≥ (pembatas tanda) x1 = jumlah produk 1 yang diproduksi tiap minggu x2 = jumlah produk 2 yang diproduksi tiap minggu.

6 X1 X2 10 20 40 50 60 80 100 Kendala finishing Slope = -2 Kendala tukang Slope = -1 kendala demand Wilayah Feasible A D Isoprofit line z = 120 Slope = -3/2 C B Solusi optimal untuk LP tersebut adalah z = 180, x1 = 20, x2 = 60 (titik B pada Gambar di kanan) dengan peubah basis (BV) x1, x2, dan s3. Berapa kisaran nilai koefisien fungsi tujuan atau koefisien rhs fungsi kendala yang tidak merubah basis solusi (bfs) optimal di atas?

7 Slope isoprofit lebih kecil dari pada slope finishing
(Harga x1 naik) X2 100 Kendala finishing Slope = -2 Wilayah Feasible 80 A kendala demand 60 Isoprofit line z = 120 B Slope = -3/2 D 40 Kendala tukang Slope = -1 20 C 10 20 40 50 60 80 X1

8 Slope isoprofit lebih besar dari pada slope finishing
(Harga x1 turun) X2 100 Kendala finishing Slope = -2 Wilayah Feasible 80 A kendala demand 60 Isoprofit line z = 120 B Slope = -3/2 D 40 Kendala tukang Slope = -1 20 C 10 20 40 50 60 80 X1

9 Pengaruh Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan:
Slope isoprofit (slope = - 3/2) yang lebih kecil dari pada slope kendala finishing (slope = -2) akan menyebabkan titik optimal berpindah dari titik B ke titik C. Slope isoprofit (slope = - 3/2) yang lebih besar dari pada slope kendala tukang (slope = -1) akan menyebabkan titik optimal berpindah dari titik B ke titik A. Sehingga slope isoprofit harus berada antara -2 dan -1 untuk tetap membuat basis solusi tetap optimal.

10 Menentukan Kisaran Nilai Koefisien Fungsi Tujuan:
Misalkan c1 adalah koefisien fungsi tujuan untuk X1 (c1 = 3  3x1 + 2x2). Pada kisaran berapa c1 tetap membuat basis solusi optimal? Pada c1 = 3, setiap garis isoprofit akan berbentuk: 3x1 + 2x2 = konstan atau: x 2 3 - 1 × konstan + c 2 - c 1 < Karena -2 < slope < -1  Note: nilai fungsi tujuan akan berubah pada kisaran nilai c1 tersebut Sehingga nilai c1:

11 Pengaruh Perubahan Nilai Ruas Kanan Fungsi Kendala
Metode analisis grafik dapat digunakan untuk mengetahui apakah perubahan nilai ruas kanan fungsi kendala (RHS) dapat menyebabkan perubahan basis solusi optimal atau tidak. Contoh, misalkan b1 = jumlah jam kerja finishing yang tersedia. Titik solusi optimal (titik B) adalah perpotongan antara kendala tukang dan kendala finishing. Jika nilai b1 berubah, sejauh kedua garis kendala tersebut bertemu pada daerah feasible, titik optimal akan terjadi pada perpotongan kedua garis tersebut.

12 Pada gambar di sebelah kanan, jika b1 > 120, x1 akan lebih besar dari 40 sehingga tidak memenuhi kendala demand. Demikian juga, jika b1 < 80, x1 akan negatif dan syarat nonnegativity untuk x1 tidak terpenuhi. Sehingga: 80 ≤ b1 ≤ 120 Basis solusi tetap optimal untuk 80 ≤ b1 ≤ 120, tetapi nilai variabel keputusan dan nilai fungsi tujuan akan berubah. X1 X2 20 40 50 60 80 100 kendala finishing, b1 = 100 Kendala tukang kendala demand Wilayah Feasible A D Garis Isoprofit: z = 120 C B kendala finishing, b1 = 120 kendala finishing, b1 = 80

13 Shadow Prices Seberapa besar perubahan nilai RHS fungsi kendala mempengaruhi nilai fungsi tujuan Shadow price fungsi kendala ke i adalah jumlah yang memperbaiki (bertambah untuk max dan berkurang untuk min) nilai fungsi tujuan jika nilai RHS dinaikkan satu satuan. Definisi ini hanya berlaku jika basis optimal tidak berubah. Untuk kendala finishing: misalnya tersedia D jam kerja finishing (asumsi basis optimal tidak berubah). Maka solusi optimal: x1 = 20 + D dan x2 = 60 – D dengan z = 3x1 + 2x2 = 3(20 + D) + 2(60 - D) = D. Jadi jika basis optimal tidak berubah, kenaikan satu unit jam kerja finishing akan menaikkan nilai fungsi tujuan z satu satuan  shadow price untuk kendala ini adalah 1.

14 Analisis Sensitivitas:
Ada beberapa alasan: Nilai parameter-parameter model LP sangat mungkin berubah. Jika terjadi perubahan nilai parameter, tidak perlu mengerjakan ulang. Misalnya, jika x1 berubah menjadi 3.5, maka analisis sensitivitas menunjukkan bahwa basis optimal tidak berubah. Ketidakpastian parameter LP. Misalnya, jika ada demand terhadap produk 1 minimal 20 unit, solusi optimal tetap x1=20 dan x2=60. Jadi dalam ketidakpastian, perusahaan tetap yakin untuk memproduksi x1 dan x2 sebesar 20 dan 60 unit.

15 Tanda Shadow Prices Fungsi kendala dengan tanda ³ akan selalu memiliki shadow prices bertanda nonpositive. Fungsi kendala dengan tanda £ akan selalu memiliki shadow prices bertanda nonnegative. Fungsi kendala dengan tanda = bisa memiliki shadow prices bertanda positif, negatif, atau nol.

16 Allowable Increase untuk rhs Allowable Decrease untuk rhs
Analisis Sensitivitas dan Variabel Slack/Excess Untuk setiap kendala ketidaksamaan, hasil perkalian antara nilai variabel slack/excess dengan nilai shadow prices-nya harus sama dengan nol  setiap kendala yang nilai slack atau excess-nya > 0 akan memiliki shadow price nol. Demikian juga, kendala dengan shadow price > 0 akan selalu memiliki slack atau excess sama dengan nol (binding). Untuk kendala-kendala dengan slack atau excess > 0, disajikan di bawah ini: Jenis kendala Allowable Increase untuk rhs Allowable Decrease untuk rhs ≤ ∞ = nilai dari slack ≥ = nilai dari excess

17 Shadow Prices dan Keputusan Managerial
Shadow prices dapat digunakan untuk menentukan maksimum yang dapat dibayar untuk kenaikan sumberdaya yang digunakan. Berapa yang layak untuk dibayar untuk kenaikan bahan baku atau tenaga kerja? MAX X1 + 6 X2 + 7 X3 + 8 X4 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 + X4 = 3) X4 >= 400 4) 2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + 7 X4 <= 5) 3 X1 + 4 X2 + 5 X3 + 6 X4 <= END LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 5) NO. ITERATIONS= Bahan baku Tenaga kerja

18 Shadow price untuk kendala bahan baku = $1.
Shadow price untuk kendala tenaga kerja adalah nol. MAX X1 + 6 X2 + 7 X3 + 8 X4 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 + X4 = 3) X4 >= 400 4) 2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + 7 X4 <= 5) 3 X1 + 4 X2 + 5 X3 + 6 X4 <= END LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 5) NO. ITERATIONS=

19 Analisis Sensitivitas: Pendekatan Matematik
Suatu tabel simplex dikatakan optimal jika dan hanya jika setiap fungsi kendala memiliki nilai ruas kanan yang nonnegative dan setiap variabel memiliki koefisien yang nonnegative. Jadi optimalitas suatu tabel simplex tergantung hanya pada koefisien rhs dan variabel fungsi tujuan. Contoh: Jika sebuah LP memiliki variabel x1, x2, …, x6 , tableau di sebelah kanan adalah optimal. z + x2 + x4 + x6 = 6 = 1 = 2 = 3 Optimalitas Tableau tidak dipengaruhi oleh bagian yang dihilangkan.

20 Analisis Sensitivitas
Misal sebuah model LP diketahui memiliki BV sebagai basis optimal. Prosedur berikut dapat digunakan untuk menentukan apakah perubahan parameter LP akan menyebabkan BV tidak lagi optimal. Langkah 1 Dengan menggunakan rumus-rumus terdahulu tentukan apakah perubahan parameter LP merubah nilai rhs fungsi kendala dan koefisien baris nol tableau optimal. Langkah 2 Jika setiap variabel pada baris nol dan setiap rhs fungsi kendala bernilai nonnegative, maka BV tetap optimal. Jika tidak, BV tidak lagi optimal. Jika BV tidak lagi optimal, tentukan solusi optimal yang baru dengan me-recreate seluruh tableau untuk BV dan lanjutkan dengan algoritma simplex.

21 Analisis Sensitivitas
Alasan mengapa perubahan parameter LP menyebabkan BV tidak lagi optimal: Satu atau beberapa variabel pada baris nol bernilai negatif. Dalam hal ini, ada bfs yang memiliki nilai z yang lebih besar dan BV sekarang menjadi basis suboptimal. Satu atau beberapa fungsi kendala memiliki rhs yang bernilai negatif. Dalam hal ini, BV menjadi basis yang infeasible.

22 DUALITAS (duality)

23 Menentukan Dual sebuah LP
Berkait erat dengan sebuah model LP (primal) adalah model LP lain yang disebut dual. Pemahaman terhadap hubungan kedua model tersebut sangat penting untuk memahami topik-topik linear dan non-linear programming: economic and sensitivity analysis insights. Jika primal adalah model max, maka dual adalah model min dan sebaliknya. Definisikan variabel-variabel untuk model max: z, x1, x2, …,xn dan variabel-variabel untuk model min: w, y1, y2, …, yn.

24 Bentuk Umum: Model Normal
max z = c1x1+ c2x2 +…+ cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 (j = 1, 2, …,n) Model Max Normal Dual-nya Model Min Normal Dual-nya min w = b1y1+ b2y2 +…+ bmym s.t. a11y1 + a21y2 + … + am1ym ≥ c1 a12y1 + a22y2 + … + am2ym ≥ c2 … … … … a1y1 + a2ny2 + …+ amnym ≥ cn yi ≥ 0 (i = 1, 2, …,m)

25 Contoh 1: Chair Table Desk Model primal: max z = 60x1 + 30x2 + 20x3
s.t. 8x x x3 ≤ 48 4x x x3 ≤ 20 2x x x3 ≤ 8 x1, x2, x3 ≥ 0 (Kendala Lumber) (Kendala Carpentry) (Kendala Finishing) Model dualnya: min w = 48y1 + 20y2 + 8y3 s.t. 8y y y3 ≥ 60 (Kendala Desk) 6y y y3 ≥ 30 (Kendala Table) y y y3 ≥ 20 (Kendala Chair) y1, y2, y3 ≥ 0

26 Contoh 2: Model primal: min w = 50y1 + 20y2 + 30y3 + 80y4
s.t. 400y y y y4 > 500 (Kendala Calorie) 3y y > (Kendala Chocolate) 2y y y y4 > 10 (Kendala Sugar) 2y y y y4 > (Kendala Fat) y1, y2, y3, y4 ≥ 0 Model primal: max z = 500x1 + 6x2 + 10x3 + 8x4 s.t. 400x1 + 3x x x4 < 50 (Kendala Brownies) 200x1 + 2x x x4 < 20 (Kendala Ice cream) 150x x x4 < 30 (Kendala Soda) 500x x x4 < 80 (Kendala Cheese) x1, x2, x3, x4 ≥ 0

27 Menentukan Dual Model LP Non-Normal

28 Jika pada model primal: Maka pada model dual:
Aturan Menentukan Dual dari Model Primal Max Non-Normal Jika pada model primal: Maka pada model dual: Fungsi kendala ke i bertanda > Variabel keputusan ke i harus bertanda < 0 Fungsi kendala ke i bertanda = Variabel keputusan ke i harus bertipe urs Variabel keputusan ke i bertanda urs Fungsi kendala ke i harus bertanda =

29 Contoh 3:

30 Cara Kedua: Kalikan setiap kendala > dengan -1, misal 2x1 – x2 > 3  -2x1 + x2 < -3. Ganti setiap kendala = dengan dua pertidaksamaan, misal x1 + x2 = 2  x1 + x2 < 2 dan x1 + x2 > 2; kemudian kalikan kendala > dengan -1, sehingga menjadi x1 + x2 < 2 dan –x1 – x2 < -2. Ganti variabel urs dengan xi = xi’ – xi’’ dimana xi’ dan xi’’ > 0, misal x2 diganti menjadi x2’ - x2’’.

31 Contoh 3a:

32 Jika pada model primal: Maka pada model dual:
Aturan Menentukan Dual dari Model Primal Min Non-Normal Jika pada model primal: Maka pada model dual: Fungsi kendala ke i bertanda < Variabel keputusan ke i harus bertanda < 0 Fungsi kendala ke i bertanda = Variabel keputusan ke i harus bertipe urs Variabel keputusan ke i bertanda urs Fungsi kendala ke i harus bertanda =

33 Contoh 4:

34 Cara Kedua: Kalikan setiap kendala < dengan -1, misal 2y1 + y2 < 3  -2y1 - y2 > -3. Ganti setiap kendala = dengan dua pertidaksamaan, misal y2 + y3 = 1  y2 + y3 < 1 dan y2 + y3 > 1; kemudian kalikan kendala < dengan -1, sehingga menjadi –y2 – y3 > -1 dan y2 + y3 > 1. Ganti variabel urs dengan yi = yi’ – yi’’ dimana yi’ dan yi’’ > 0, misal y1 diganti menjadi y1’ - y1’’.

35 Contoh 4a:

36 Membaca Nilai Optimal Dual

37 Contoh 6:

38 Contoh 7:

39 Shadow Prices Nilai z pada saat b = [48 20 8] = 48y1 + 20y2 + 8y3
Jika b2 berubah dari 20  21, maka z = 48y1 + 21y2 + 8y3 Jika z (point 1) dikurangkan dari z (point 2), maka akan sama dengan y2 = 10 Sehingga: Shadow price dari kendala ke i (model max) adalah nilai optimal variabel dual ke i.

40 LATIHAN FORMULASI MODEL
Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang perminyakan sedang mempertimbangkan untuk menanamkan modal dalam lima kesempatan investasi. Cash outflows dan net present value (NPV) (dalam juta dollar) untuk kelima investasi tersebut adalah: Inv.1 Inv.2 Inv.3 Inv.4 Inv.5 Tahun 0 cash outflow $11 $53 $5 $5 $29 Tahun 1 cash outflow $3 $6 $5 $1 $34 NPV $13 $16 $16 $14 $39 Saat ini perusahaan memiliki $40 juta untuk diinvestasikan (tahun 0) dan diperkirakan pada tahun depan (tahun 1) akan ada $20 juta tersedia untuk investasi. Dalam hal ini cash outflow dan NPV akan mengikuti persentasi (fraksi) investasi yang diambil. Misal jika Inv 3 yang diambil adalah 20%, maka cash outflow untuk tahun 0 adalah 20% x $5 = $1 dan untuk tahun 1 = 20% x $5 = $1. Demikian juga dengan NPV yang diperoleh, yaitu sebesar 20% x $16 = $3.2. Jika perusahaan ingin memaksimumkan total NPV yang dapat diperoleh dari kesempatan ini, maka bagaimanakah formulasi model LP untuk tujuan tersebut? Bagaimana bentuk model standarnya? Jawaban (individu) dikumpulkan sebelum atau pada akhir jam kuliah.