Turunan 3 Kania Evita Dewi.

Presentasi berjudul: "Turunan 3 Kania Evita Dewi."— Transcript presentasi:

1 Turunan 3 Kania Evita Dewi

2 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1) Turunan pertama Turunan kedua Turunan ke-n

3 Contoh Tentukan turunan kedua dari

4 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila x dan y dituliskan dalam ruas yang sama, maka dikatakan y fungsi implisit dari x. contoh

5 Contoh Tentukan turunan dari bentuk implisit berikut

6 Diferensial Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan andaikan bahwa dx, diferensial dari variabel bebas x menyatakan pertambahan sebarang dari x. Diferensial yang bersesuaian dengan dy dari variabel tak bebas y didefinisikan oleh

7 Contoh diferensial Tentukan diferensial dari fungsi berikut

8 Aproksimasi Aproksimasi Tentukan nilai dari Contoh

9 Menggambar Grafik Canggih
Penggunaan Turunan Menggambar Grafik Canggih

10 Maksimum-Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

11 Contoh Maks-Min Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi yang diberikan (jika ada)

12 Titik Kritis (Titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu: Titik ujung dari I Titik stasioner dari f (f’(c) = 0); Titik singular dari f ( f’(c) tidak ada).

13 Kemonotonan Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa: f adalah naik pada I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I. x1 < x2 → f(x1) < f(x2) f adalah turun pada I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I. x1 < x2 → f(x1) > f(x2) f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

14 Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

15 Contoh Tentukan selang kemonotonan, titik kritis dan ekstrim fungsi berikut:

16 Kecekungan Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas di sana; jika f’ turun pada I, cekung ke bawah pada I.

17 Teorema Kecekungan Andaikan f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka (a,b) Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b). Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

18 Titik Balik Andaikan f kontinu di c. Misal (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Titik-titik di mana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak ada merupakan calon-calon untuk titik balik.

19 Contoh kecekungan dan titik belok
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut:

20 Asimtot Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi Ada 3 jenis asimtot fungsi, yakni: Asimtot tegak: Garis x =c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika Asimtot Datar: Garis y = b disebut asimtot datar dari y =f(x) jika Asimtot miring: garis y =ax + b disebut asimtot miring jika

21 Contoh Tentukan semua simtot dari

22 Menggambar grafik canggih
Diketahui Tentukan apakah fungsi f(x) genap atau ganjil Tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi Tentukan selang kecekungan Tentukan asimtot jika ada