Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Logika dan Sistem Digital

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Logika dan Sistem Digital"— Transcript presentasi:

1 Logika dan Sistem Digital
ALJABAR BOOELAN

2 Tujuan Perkuliahan Mahasiswa dapat memahami dan menjelaskan tentang :
Latar Belakang dan Hukum Aljabar Boolean Fungsi Boolean Bentuk Kanonik SOP dan POS

3 Agenda Chapter 1 – Aljabar Boolean Pendahuluan Aljabar Boolean
Hukum Aljabar Boolean Penyederhanaan Dengan Aljabar Boolean Chapter 2 – Fungsi Kanonik

4 History Aljabar Boolean
Cabang matematika George Boole George Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika (dikenal dengan Logika Boolean) Tahun 1938, Claude Shannon memperlihatkan penggunaan Aljabar Boolean untuk merancang rangkaian sirkuit yang menerima masukan 0 dan 1 1854 Aljabar Boolean digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian pensaklaran, rangkaian digital dan rangkaian IC komputer

5 Postulat Boolean Dalam mengembangkan sistem Aljabar Boolean perlu memulainya dengan asumsi – asumsi yakni Postulat Boolean dan Teorema Aljabar Boolean. 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1 di turunkan dari fungsi AND. 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 di turunkan dari fungsi OR. = 1 di turunkan dari fungsi NOT. = 0

6 Prinsip Dualitas Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas
Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat). 1x. 2x. 3x. 4x. 0 . 0 = 0 1 . 1 = 1 0 . 1 = = 0 Jika a = 0 , maka a’ = 1 1y. 2y. 3y. 4y. 1 + 1 = 1 0 + 0 = 0 1 + 0 = = 1 Jika a = 1 , maka a’ = 0 Dalil dituliskan berpasangan  untuk menunjukkan prinsip dualitas. - Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua (+) dengan (.) atau sebaliknya, serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya. - Dalil (y) merupakan dual dari dalil (x) dan sebaliknya - Dual dari pernyataan benar adalah juga benar

7 Hukum Aljabar Boolean (1)
Berikut ini adalah hukum-hukum aljabar boolean : 1. Hukum identitas: (i). a + 0 = a (ii). a  1 = a 2. Hukum idempoten: (i). a + a = a (ii). a  a = a 3. Hukum komplemen: (i). a + a’ = 1 (ii). a . a’ = 0 4. Hukum dominansi: (i). a . 0 = 0 (ii). a + 1 = 1 5. Hukum involusi: (i). (a’)’ = a 6. Hukum penyerapan: (i) a + a . b = a  a + a . b’ = a (ii) a . (a + b) = a 7. Hukum komutatif: (i). a + b = b + a (ii). a . b = b . a 8. Hukum asosiatif: (i). a + (b + c) = (a + b) + c (ii). a . (b . c) = (a . b) . c 9. Hukum distributif: (i). a + (b . c) = (a + b) . (a + c) (ii). a . (b + c) = a . b + a . c 10. Hukum De Morgan: (i). (a + b)’ = a’ . b’ (ii). (a . b)’ = a’ + b’ 11. Hukum 0/1 (i). 0’ = 1 (ii). 1’ = 0 12. Penggabungan (i). a . b + a . b’ = a (ii). ( a + b ) . ( a + b’ ) = a

8 Hukum Aljabar Boolean (2)
Pembuktian Hukum 6.(i) dengan cara induksi adalah sbb : Tabel kebenaran untuk a + a . b = a a b a . b a + a . b 1 Dari tabel diatas nila a + a . b = a

9 Hukum Aljabar Boolean (3)
Contoh Kasus : Sederhanakan : a . ( a . b + c ) Penyelesaian : a . ( a . b + c ) = a . a . b + a . c (Distributif) = a . b + a . c (Idempoten) = a . ( b + c ) (Distributif)

10 Aljabar Boolean (1) Pembuktian hukum aljabar boolean dengan perhitungan aljabar : Buktikan bahwa : (i) a + a’ . b = a + b (ii) a . (a’ + b) = a . b Penyelesaian : (i) a + a’ . b = (a + a . b) + a’ . b (Penyerapan) = a + (a . b + a’ . b) (Asosiatif) = a + (a + a’) . b (Distributif) = a b (Komplemen) = a + b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i)

11 Aljabar Boolean (2) Pembuktian hukum aljabar boolean dengan induksi :
Buktikan Bahwa : a + a’ . b = a + b a b a’ . b a + a’ . b a +b 1

12 Aljabar Boolean (3) Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen Misalnya ada 2 aljabar : (i). a’ . b’ + a’ . b + a . b (ii). a’ + b (i) dan (ii) adalah ekivalen secara fungsional Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost) a’ . b’ + a’ . b + a . b a b atau a’ . b’ + a’ . b + a’ . b + a . b (replikasi term2 ) a’ . ( b’ + b ) + ( a’ + a ) . b (distributif) a’ b (komplemen) a’ + b a b

13 Latihan Soal Sederhanakan persamaan logika berikut ini dan gambarkan rangkaian hasil penyerdehanaannya : z = (a’ + b) . (a + b) z = (a . b’ . (a + c))’ + a’ . b . (a + b’ + c’)’ Sederhanakan rangkaian berikut ini dan buktikan dengan tabel kebenaran : 3. 4.

14 Agenda Chapter 1 – Aljabar Boolean Chapter 2 – Fungsi Kanonik
Definisi Fungsi Boolean Bentuk Kanonik SOP Bentuk Kanonik POS

15 Fungsi Boolean (1) Definisi Fungsi Boolean Contoh :
Persamaan (ekspresi ) aljabar yang dibentuk dari variabel Variabel biner, operator biner ( OR dan AND ), Operator Unary ( NOT ), Dan Tanda sama dengan ( = ) Contoh : F = a . b’ . c Keterangan : F = Fungsi Boolean

16 Fungsi Boolean (2) Lateral Dan Term Contoh : Keterangan :
Lateral : menyatakan input – input sebuah gerbang logika Term : menyatakan operasi yang dilakukan dalam sebuah gerbang Contoh : F = a . b . c’ + a’ . d . e Keterangan : Persamaan Boolean di atas mempunyai 5 input (ada 5 lateral : a, b, c,d dan e) Ada 5 term : - AND untuk a . b . c’ - AND untuk a’ . d . e - NOT untuk c - NOT untuk a - OR untuk f berarti ada 5 gerbang yang diperlukan

17 Bentuk Kanonik SOP (1) Minterm
Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f(a1 ,a2, a3... an) - Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan - Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabel ai jika ai = 1 atau ai’ jika ai = 0 - Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 ( j = 0 ), a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0 minterm : mo = a1‘. a2‘. a3‘ Baris 2 ( j = 1 ), a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1 minterm : m1 = a1‘. a2‘. a3

18 Bentuk Kanonik SOP (2) Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah minterm Baris i a1 a2 a3 Minterm mj f a1’. a2’. a3’ 1 a1’. a2’. a3 2 a1’. a2. a3’ 3 a1’. a2. a3 4 a1 . a2’. a3’ 5 a1 . a2’. a3 6 a1 . a2 . a3’ 7 a1 . a2 . a3 Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi penjumlahan dari semua minterm di mana tiap minterm di-AND-kan dengan nilai f yang bersesuaian Contoh  diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP : f = m m m m m m m m7 . 7 = m1 + m4 + m5 + m6 = a1’. a2’. a3 + a1 . a2’. a3’ + a1 . a2’. a3 + a1 . a2 . a3’

19 Bentuk Kanonik SOP (3) Notasi SOP
Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m f = m1 + m4 + m5 + m6 = a1’. a2’. a3 + a1 . a2’. a3’ + a1 . a2’. a3 + a1 . a2 . a3’ 1 4 5 6 Notasi Persamaan SOP : f = Σ m ( 1; 4; 5; 6) Implementasi : - Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik - Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling sederhana

20 Bentuk Kanonik POS (1) Prinsip Duality SOP - POS
Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara : Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1 Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0 Pendekatan (1) menggunakan minterm Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut maxterm

21 Bentuk Kanonik POS (2) Penjelasan Dualitas SOP - POS
Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f’ , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f’ = 1, yaitu di baris di mana f = 0 f’ = m0 + m2 + m3 + m7 = a1’. a2’. a3’ + a1’ . a2 . a3’ + a1’ . a2 . a3 + a1 . a2 . a3 Fungsi f dapat dinyatakan f = ( m0 + m2 + m3 + m7 )’ = ( a1’. a2’. a3’ + a1’ . a2 . a3’ + a1’ . a2 . a3 + a1 . a2 . a3 )’ = ( a1’. a2’. a3’ )’ . ( a1’ . a2 . a3’ )’ . ( a1’ . a2 . a3 )’ . ( a1 . a2 . a3 )’ = ( a1 + a2 + a3 ) . ( a1 + a2’ + a3 ) . ( a1 + a2’ + a3’ ) . ( a1’ + a2’ + a3’ ) Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm

22 Bentuk Kanonik POS (3) Maxterm
Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f(a1 ,a2, a3... an) - Sebuah maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan - Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabel ai jika ai = 0 atau ai’ jika ai = 1 - Notasi Mj (dengan huruf besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 ( j = 0 ), a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0 minterm : Mo = a1 + a2 + a3 Baris 2 ( j = 1 ), a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1 minterm : M1 = a1 + a2 + a3‘

23 Bentuk Kanonik POS (4) Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah maxterm Baris i a1 a2 a3 Maxterm Mj f a1 + a2 + a3 1 a1 + a2 + a3’ 2 a1 + a2’+ a3 3 a1 + a2’ + a3’ 4 a1’ + a2 + a3 5 a1’ + a2 + a3’ 6 a1’ + a2’ + a3 7 a1’ + a2’ + a3’ Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi perkalian dari semua maxterm di mana tiap minterm di-OR-kan dengan nilai f yang bersesuaian Contoh  diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP : f = m m m m m m m m7 . 7 = m0 . m2 . m3 . m7 = ( a1 + a2 + a3 ) . ( a1 + a2’+ a3 ) . ( a1 + a2’ + a3’ ) . (a1’ + a2’ + a3’)

24 Bentuk Kanonik POS (5) Notasi POS
Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f = m0 + m2 + m3 + m7 = ( a1 + a2 + a3 ) . ( a1 + a2’+ a3 ) . ( a1 + a2’ + a3’ ) . (a1’ + a2’ + a3’) 2 3 7 Notasi Persamaan POS : f = Π M ( 0; 2; 3; 7) Persamaan berikut benar untuk fungsi f(a1, a2, a3) di atas : Σ m ( 1; 4; 5; 6) = Π M ( 0; 2; 3; 7) a1’. a2’. a3 + a1 . a2’. a3’ + a1 . a2’. a3 + a1 . a2 . a3’ = ( a1 + a2 + a3 ) . ( a1 + a2’+ a3 ) . ( a1 + a2’ + a3’ ) . (a1’ + a2’ + a3’)

25 Konversi Bentuk SOP dan POS
Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk Σ m atau Π M ,maka dengan mudah dapat dicari fungsi f atau f’ dalam bentuk Σ m atau Π M

26 Contoh Kasus Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi - SOP : menggunakan hukum penggabungan 12 (i)  a . b + a . b’ = a - POS : menggunakan hukum penggabungan 12 (ii)  ( a + b ) . ( a + b’ ) = a Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 12 (i) atau 12 (ii) jika berbeda hanya di satu variabel saja f = a1’. a2’. a3 + a1 . a2’. a3’ + a1 . a2’. a3 + a1 . a2 . a3’ - m1 dan m5 berbeda di a1, dan m4 dan m6 berbeda di a2 Contoh : f = ( a1 + a2 + a3 ) . ( a1 + a2’+ a3 ) . ( a1 + a2’ + a3’ ) . (a1’ + a2’ + a3’) - m0 dan m2 berbeda di a2, dan m3 dan m7 berbeda di a1 Contoh :

27 Latihan Soal Diketahui : f = Σm (1,3,5,7,11) Ditanya :
Tuliskan persamaan boolean dari f dengan bentuk minterm dan susun tabel kebenarannya ? Gambarkan rangkaian logika dari fungsi boolean f = Σm (3,5,6,7) Diketahui output Y seperti dalam tabel Tentukan fungsi logika dari Y (minterm), sederhanakan fungsi logika tersebut dan gambarkan rangkaian logika !

28 Penutup Perkuliahan Mahasiswa telah dapat memahami dan menjelaskan tentang : Latar Belakang Aljabar Boolean History, Postulat, Dan Prinsip Dualits Hukum Aljabar Boolean Hukum-Hukum Aljabar Boolean, Penyederhanaan Rangkaian Denga Aljabar Bentuk Kanonik SOP dan POS Minterm, Maxterm, Konversi Bentuk SOP dan POS

29 Thank You


Download ppt "Logika dan Sistem Digital"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google