METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant

Presentasi berjudul: "METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant"— Transcript presentasi:

1 METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant
PERSAMAAN NON LINEAR METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant

2 Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’

3 Metode Newton Raphson Xn+1 = xn -
menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu kemudian ditentukan xi+1 sebagai titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi)) Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan: Xn+1 = xn -

4 Algoritma Metode Newton Raphson
Definisikan fungsi f(x) dan f’(x) Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n) Tentukan nilai pendekatan awal x0 Hitung f(x0) dan f’(x0) Untuk iterasi i = 0 s/d n atau |f(xi)|>  Hitung xi+1 , f(xi+1) dan f’(xi+1) Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) <  Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

5 Contoh Carilah akar positif dari fungsi f(x) = x2–5, dengan nilai tebakan awal x=1 JAWAB f(x) = x2–5 f’(x) = 2x x0 = 1 f(1) = -4 f’(1) = 2 n = 7 e = x1 = 1 – (-4/2)  3 f(x1) = f(3) = 32 – 5  4 f’(x1) = f’(3) = 2*3  6

6 Contoh JAWAB x2 = 3 – (4/6)  2,333333 f(x2) = f(2,333333) = 2* – 5  0,444444 f’(x2) = f’(2,333333) = 2*2,  dst

7 Contoh Pada i = 6, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <  Diperoleh x = 2,

8 Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada turunan Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.

9 Metode Secant Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan Metode Secant

10 Algoritma Metode Secant :
Definisikan fungsi f(x) Definisikan torelansi error () dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu xi-1 (x0) dan xi (x1) sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan Hitung f(xi-1)  f(x0) dan f(xi)  f (x1) Untuk iterasi i = 1 s/d n Hitung xi+1 dan f(xi+1) Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) <  Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

11 Contoh Carilah akar dari fungsi f(x) = 2x^3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan  =

12 Contoh - Penyelesaian f(x) = 2x3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan  = xi-1 = 2  x0 = 2 f(xi-1) = f(x0) = 2*  13 xi = 4  x1 = 4 f(xi) = f(x1) = 2*  123

13 Contoh - Penyelesaian dst xi-1 = 2  x0 = 2 xi = 4  x1 = 4
f(xi-1) = f(x0) = 2*  13 xi = 4  x1 = 4 f(xi) = f(x1) = 2*  123 x2 = x1 – (f(x1)(x1 – x0))/(f(x1) – f(x0)) = 4 – (123*(4-2))/(123-13)  1, f(xi+1) = f(x2) = 2* 1, , 8,207639 dst

14 Contoh - Penyelesaian Pada i = 11, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <  ; diperoleh x = 1

15 TUGAS Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 dengan  = 0, dengan metode Newton Raphson dan Secant! Jawaban ditulis dengan pengolah kata dengan format nama file UW-METNUM-T02.doc Kirim jawaban ke dengan subject: [UW-METNUM-T02.doc]