Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada

Presentasi berjudul: "Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada"— Transcript presentasi:

1 Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada
LIMIT DAN KONTINUITAS Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada

2 ISI PEMBAHASAN LIMIT FUNGSI LIMIT BARISAN BILANGAN ALAM KONTINUITAS

3 Limit fungsi Pandang fungsi
Nilai fungsi f(x) untuk x mendekati 2 adalah x f(x) 1,95 1,99 2,01 2,05 2,9 2,98 3,02 3,1

4 Limit fungsi Dari tabel terlihat bahwa f(x) akan mendekati nilai 3 untuk x mendekati 1. Ditulis

5 Definisi Limit fungsi Definisi:
Nilai limit jika untuk setiap nilai x mendekati a (tetapi tidak sama dengan a) , harga f(x) sama dengan L Nilia limit jika untuk setiap bilangan positif kecil dapat ditemukan bilangan positif kecil sehingga untuk setiap x yang memenuhi berlaku

6 Contoh Limit fungsi Akan ditunjukkan bahwa Berarti didapat
Jika diambil Maka berlaku untuk Jadi terbukti bahwa

7 Contoh Limit fungsi Akan dicari Penyelesaian:

8 Sifat Limit Limit bernilai tunggal JIka dan Maka K=L

9 Limit tak hingga Nilai limit untuk x mendekati a bernilai tak hingga, limitnya dikatakan tidak ada atau limit semu. Contoh

10 Limit menuju tak hingga
Akan dicari nilai f(x) menuju ke mana untuk x menuju tak hingga (nilainya dapat tidak ada) Contoh:

11 Limit kiri dan limit kanan
Contoh sebagai motivasi Diberikan Berapa nilai f(x) untuk x mendekati 1?

12 Limit kiri dan limit kanan
Contoh sebagai motivasi Diberikan Nilai tidak ada, tetapi untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri (disebut limit kiri f(x)) nilai f(x) dapat ditentukan. Demikian juga untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan (disebut limit kanan f(x)) nilai f(x) dapat ditentukan.

13 Limit kiri dan limit kanan
Contoh sebagai motivasi Diberikan Maka

14 Sifat Nilai ada jika limit kiri f(x) dan limit kanan f(x) untuk x mendekati a ada dan bernilai sama

15 Contoh limit kiri dan limit kanan
Tentukan Penyelesaian: akan diselidiki limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x mendekati 0. Untuk x mendekati 0 dari sebelah kanan artinya x positif sehingga sedang Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama berarti tidak ada

16 Contoh limit kiri dan limit kanan
Diberikan Akan dicari Penyelesaian: Karena limit kiri dan limit kanan f(x) ada dan bernilai sama maka ada dan

17 Contoh limit kiri dan limit kanan
Tentukan k agar ada. Jika diberikan Penyelesaian: Agar limit ada maka limit kiri harus sama dengan limit kanan sehingga haruslah atau

18 Contoh limit kiri dan limit kanan
Tentukan k agar ada jika diberikan Penyelesaian: Supaya limit ada maka limit kiri dan limit kanan harus ada dan bernilai sama sehingga haruslah atau

19 Limit fungsi trigonometri
Beberapa rumus

20 Limit fungsi trigonometri
Contoh 1. 2.

21 Limit barisan Contoh 1. 2.

22 Limit barisan: bilangan alam e
Rumus dasar Salah satu pengembangan rumus dasar tersebut misalnya Bukti: Diambil variabel baru atau Maka untuk berakibat sehingga

23 Contoh Limit dengan bilangan alam e
Hitunglah limit Penyelesaian

24 Kontinuitas Fungsi f(x) kontinu di titik x=a jika dipenuhi
f(a) terdefinisikan (nilainya ada dan berhingga) ada 3.

25 Contoh Kontinuitas Diberikan
Karena f(x) tidak terdefinisikan untuk x=2 Berarti f(x) tidak kontinu di x=2

26 Contoh Kontinuitas Diberikan Apakah f(x) kontinu di x=2 ?
Penyelesaian: f(2)=1 Karena nilai f(2) tidak sama dengan nilai Maka f(x) tidak kontinu di x=2

27 Contoh Kontinuitas Diberikan Apakah f(x) kontinu di x=2 ?
Penyelesaian: f(2)=3 Karena nilai f(2) sama dengan nilai Maka f(x) kontinu di x=2

28 Contoh Kontinuitas Tentukan nilai c agar f kontinu di x=3 jika diberikan Penyelesaian: Supaya f(x) kontinu di x=3 nilai f(3) harus sama dengan nilai limitnya untuk x mendekati 3

29 Contoh Kontinuitas Tentukan nilai c agar f kontinu di x=3 jika diberikan Penyelesaian: Haruslah atau atau

30 Contoh Kontinuitas Tentukan nilai m dan n supaya f(x) kontinu untuk semua nilai x , jika diberikan Penyelesaian: Perhatikan syarat fungsi kontinu dan periksa apa yang sudah tertentu nilainya (tak dapat diubah) pada soal tersebut. Perhatikan bahwa nilai f(-2) dan f(3) tertentu dan sama dengan ½.

31 Contoh Kontinuitas Tentukan nilai m dan n supaya f(x) kontinu untuk semua nilai x , jika diberikan Penyelesaian: Karena syarat fungsi kontinu berarti nilai dan Sedang jadi jadi