1. SISTEM BILANGAN REAL.

Presentasi berjudul: "1. SISTEM BILANGAN REAL."— Transcript presentasi:

1 1. SISTEM BILANGAN REAL

2 1.1 SISTEM BILANGAN REAL Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan Real. Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp. bilangan Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut: R = Himp.Bil. Real Q = Himp.Bil. Rasional Z = Himp.Bil. Bulat Gb. 1.1 Diagram Venn Himpunan Bilangan Real N = Himp. Bil. Asli

3 Sifat-sifat R : Sifat Medan
Jika x, y, z adalah anggota bilangan Real, maka x + y = y + x dan xy = yx ( hukum komutatif) x + (y+z) = (x+y) + z dan x(yz)=(xy)z (hukum asosiatif) x(y+z) = xy + xz (hukum distributif) Unsur Identitias sehingga x + 0 =x dan x.1=x. Unsur Invers dan Sifat Urutan * Trikotomi. Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu x < y atau x = y atau x > y. * Transitif. * Penambahan. * Perkalian. Jika z bilangan positif, Jika z bilangan negatif, ,

4 Garis bilangan : Interval dan himpunan
Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan sebagai suatu garis bilangan. Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval ( selang ). R koordinat Gb. 1.2 Garis bilangan Real

5 Interval dan Penulisannya
interval tutup a b interval buka a b interval setengah buka a b interval setengah buka a b interval tak terbatas a interval tak terbatas a R

6 1.2 Pertaksamaan Bentuk umum pertaksamaan adalah : (1.1)
dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak. ( tanda < dapat diganti oleh : >, ,  ). Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi pertaksamaan (1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang)

7 Cara menentukan himpunan penyelesaian :
Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau Bentuk menjadi Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau faktor kuadrat definit positif Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan. Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis bilangan

8 Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :
Jawab : titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0 -2 1 Maka

9 1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak
Definisi nilai mutlak adalah : Sifat-sifat nilai mutlak : dan 2. Jika maka 3. 4.

10 Contoh : Tentukan Hp dari
Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan atau Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari penyelesaiannya. (i). (ii). Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :

11 1.4 Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4. Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a. Jadi dan Jadi , penting untuk diingat bahwa ,