Permutasi dan Kombinasi

Presentasi berjudul: "Permutasi dan Kombinasi"— Transcript presentasi:

1 Permutasi dan Kombinasi
Matematika Diskrit

2 Pengantar Permutasi -Faktorial
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1. n! = n.(n-1)(n-2)... 1 0! = 1.

3 Pengantar Permutasi -Faktorial
Contoh: Tuliskan 10 faktorial pertama : Penyelesaian: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 Dst.....

4 Pengantar Permutasi -Faktorial
Latihan Soal 1. 2.

5 Permutasi Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Urutan diperhatikan Perulangan tidak diperbolehkan

6 Permutasi Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu:

7 Permutasi Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.
Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah = 6.

8 Permutasi Secara formal, permutasi dapat didenisikan sebagai berikut. Denisi 3.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2, .. ,xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.

9 Permutasi Contoh 3.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC ! Penyelesaian Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

10 Permutasi Teorema 3.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.

11 Permutasi Contoh 3.2 Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC ? Penyelesaian Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau Terdapat = 6 permutasi dari huruf ABC.

12 Permutasi Contoh 3.3 Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?

13 Permutasi 4.3.2.1 = 24 Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah = 24

14 Permutasi 1. Misalkan dalam kelas matematika diskrit ada 20 mhs. Akan di pilih seorang yang akan menjadi ketua kelas dan seorang bendahara. Ada berapa banyak cara untuk memilih ketua dan bendahara??

15 Permutasi Soal latihan : 2. Berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata “BOSAN” ???

16 Permutasi Soal latihan :
3. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1, 2, 3, 4, 5, jika: Tidak boleh ada pengulangan angka; Boleh ada pengulangan angka.

17 Permutasi Soal latihan : 4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2 buku matematika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara untuk menyusun buku – buku tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap buku dikelompokan sesuai dengan jenisnya ? ?

18 Permutasi Definisi 3.2 Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).

19 Permutasi Teorema 3.2 Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

20 Permutasi Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut : Jika r = n, maka persamaan menjadi

21 Permutasi Contoh 3.4 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

22 Permutasi Contoh 3.5 Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

23 Permutasi Penyelesaian
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

24 Permutasi 1. Sebuah undian dilakukan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit – digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian???

25 Permutasi 2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing – masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola???

26 Permutasi 3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula ??

27 Permutasi 4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata SMART???

28 Permutasi 5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 buah kursi, sedangkan satu orang di antaranya selalu duduk d kursi tertentu ??

29 Permutasi 6. Misalkan X={a, b, c, d} a. Hitunglah Permutasi dari X b. Hitunglah Permutasi-3 dari X