SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Presentasi berjudul: "SISTEM PERSAMAAN LINEAR"— Transcript presentasi:

1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Metode Gauss Metode Gauss-Jordan

2 Bentuk Metode Gauss Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi

3 Algoritma dasar metode Gauss
Secara umum sistem persamaan linear: 1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik augment (berukuran n x (n+1) )

4 Algoritma dasar metode Gauss

5 Algoritma dasar metode Gauss
3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi bentuk:

6 Algoritma dasar metode Gauss
Langkah terakhir : Lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh nilai x1, x2, x3, ….. , xn

7 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selesaikan persamaan berikut x + 2y + z = 3 (1) 3x - y – 3z = -1 (2) 2x + 3y + z = 4 (3)

8 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selesaikan persamaan berikut x + 2y + z = 3 (1) 3x - y – 3z = -1 (2) 2x + 3y + z = 4 (3) Penyelesaian dimulai dengan menuliskan bentuk augmented matriknya

9 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Kita sebut baris pertama sebagai baris poros/pivot dan entri 1 (yg dilingkari) sebagai poros/pivot Langkah 1. baris pertama digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom pertama dari baris kedua dan ketiga baris pertama dikalikan 3 untuk mengeliminasi baris kedua baris pertama dikalikan 2 untuk mengeliminasi baris kedua

10 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Langkah 2 baris kedua digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom kedua dari baris ketiga baris kedua dikalikan 1/7 untuk mengeliminasi baris

11 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Langkah 3: Gunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaian Baris ketiga  -1/7z = -4/7  z = 4 Baris kedua  -7y – 6z = -10  y = -2 Baris pertama  x + 2y + z = 3  x = 3 Diperoleh x=3; y=-2; z=4

12 Kasus1 Selesaikan persamaan berikut x + 2y + z = 2 (1) 3x + 6y = 9 (2)

13 Penyelesaian Kasus1 baris2 – baris1*3  baris3 – baris1*2 
hasil eliminasi kolom pertama baris ke-2&3 dilanjutkan dengan eliminasi kolom kedua baris ke-3 (tentukan poros/pivot) baris poros/pivot  baris ke-2 poros/pivot  0 berdasarkan algoritma Gauss, poros/pivot  nol(0), maka lakukan pertukaran baris dengan baris bawahnya

14 Penyelesaian Kasus1 Lakukan substitusi: -3z = 3  z = -1 4y + 2z = 2
4y+ 2(-1) = 2  y = 1 1x + 2y + z = 2 x + 2(1) + (-1) = 2  x = 1

15 Kasus2 Masalah lain muncul bila elemen poros/pivot sangat kecil atau mendekati nol dibandingkan dengan elemen lainnya yang menyebabkan error pembulatan muncul Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi Gauss 0,0003x y = 1.569 0,3454x – 2,436y = 1,018 (dengan 4 AS, solusi sejatinya x = 10,00 dan y = 1,00)

16 Penyelesaian Kasus2 baris2 – baris1*(0,3454/0,0003) subtitusi:
-1804y =  y = 1,001 (mendekati solusi sejati) 0,0003x + 1,566y = 1,569 0,0003x + 1,566(1,001) = 1,569  x = 3,333 (jauh dari solusi sejati)

17 Penyelesaian Kasus2 Karena elemen baris1 kolom1 sebagai poros/pivot nilainya mendekati 0(nol)  lakukan pertukaran baris1 dengan baris berikutnya baris2 – baris1*(0,0003/0,3454) subtitusi: 1568y = 1568  y = 1,000 (mendekati solusi sejati) 0,3454x – 2,436y = 1,018 0,0003x – 2,436(1,000) = 1,018  x = 10,02 (lebih baik dari solusi sebelumnya)

18 Kemungkinan Solusi Sistem Persamaan Linier
Solusi unik/tunggal Solusi banyak/tak berhingga Tidak ada solusi

19 Solusi Unik/Tunggal

20 Solusi Banyak/Tak Berhingga
Persamaan x + 2y + z = 1 2x - y + z = 2 4x + 3y + 3z = 4 3x + y + 2z = 3 diperoleh y = -1/5z x = 1 -2y-z  1- 3/5z Terlihat bahwa himpunan penyelesaian adalah semua tripel berturut bentuk (1-3/5α, -1/5α, α) dimana α adalah bilangan real Sistem ini memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian karena x dan y dinyatakan oleh peubah bebas z

21 Solusi Banyak/Tak Berhingga
Persamaan a + b + c + d + e = 2 a + b + c + 2d + 2e = 3 a + b + c + 2d + 3e = 2 diperoleh e = -1; d = 2; a = 1 - b - c Jadi untuk sembarang bilangan real α, β diperoleh (1- α – β, α, β, 2, -1)

22 Tidak Ada Solusi Persaman yang bersesuaian dengan baris ke-3
0x + 0y + 0z = 1 tidak ada nilai x,y dan z yang memenuhi

23 Metode Gauss-Jordan Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal  Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai b1,b2,b3,…,bn dan atau a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3,…., an = bn

24 Contoh Eliminasi Gauss-Jordan x + y + 2z = 9 1 1 2 9
dan diusahakan berbentuk ? ? ?

25 Penyelesaian dari soal contoh
Lakukan Eliminasi Gauss mengusahakan bentuk ? ? ?

26 Penyelesaian dari soal contoh
Lakukan Eliminasi Gauss mengusahakan bentuk ? ? ?

27 disambung dengan : + * = - * = - = baris 3 baris 3 baris 2 baris 2 +
* = * = = baris 2 + baris 3 baris * baris 3 baris 1 - baris 2