Outline Materi Alpro-2 Prinsip” Analisa Algoritma

Presentasi berjudul: "Outline Materi Alpro-2 Prinsip” Analisa Algoritma"— Transcript presentasi:

1 Outline Materi Alpro-2 Prinsip” Analisa Algoritma
Pemrograman Berorientasi Object Swing Exception Handling Collection Thread Operasi File Algoritma Iterasi Algoritma Rekusif Algoritma Matematika Sorting Searching String Searching

2 Penilaian: Tugas Harian Kuliah Kuis Project Demo UTS Project Demo UAS
vegafar.wordpress.com

3 Prinsip-Prinsip Analisa Algoritma
Alpro-2

4 Target: Mahasiswa dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan dalam penerapan sebuah algoritma Mahasiswa memahami kerangka matematik yang menggambarkan running time Mahasiswa mengenali beberapa teknik sederhana yang dapat memperbaiki running time Mahasiswa memahami bahwa suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan beberapa algoritma dengan running time yang berbeda-beda

5 Algoritma ??? Mrk: urutan langkah” yang tepat dan pasti dalam memecahkan suatu masalah secara logis or set instruksi yang harus diikuti oleh komputer untuk memecahkan masalah Beberapa masalah dapat diselesaikan dengan algoritma yang bermacam” asal hasilnya sama Setiap BP punya + - dalam mengimplementasikan algoritma Setiap programer dapat mengimplementasikan algoritma dengan cara yang berbeda” algoritma dapat dianalisis efisiensi dan kompleksitasnya, dimana program harus berhenti dalam batas waktu yang wajar (reasonable) Penilaian algoritma didasarkan pada: Waktu eksekusi (paling utama), d/ mengetahui berapa banyak resource (time & space) yang diperlukan oleh sebuah algoritma Penggunaan memori/sumber daya Kesederhanaan dan kejelasan algoritma

6 Analisa Algoritma….What???
Mengukur jumlah sumber daya (time & space) yang diperlukan oleh sebuah algoritma Waktu yang diperlukan (running time) oleh sebuah algoritma cenderung tergantung pada jumlah input yang diproses Algoritma tidak terikat pada platform mesin, OS, BP, kualitas kompilator atau bahkan paradigma pemrograman (mis. Procedural vs Object-Oriented)

7 Analisa Algoritma….How???
Bagaimana menganalisa algoritma? Jumlah waktu yang digunakan bervariasi tergantung pada kecepatan mesin sistem operasi (multi-tasking) kualitas kompiler BP yang digunakan Sehingga kurang memberikan gambaran yang tepat tentang algoritma

8 Analisa Algortima….Kesimpulan
Analisa algoritma tidak mudah dilakukan secara pasti hanya diambil: Kondisi rata-rata (average case) Kondisi terburuk (worst case) Kondisi baik (best case) Waktu eksekusi dipengaruhi: Jenis data input Jumlah data input Pemilihan instruksi BP Faktor” yang menyulitkan analisis, disebabkan: Implementasi instruksi oleh BP berbeda” Ketergantungan algoritma terhadap jenis data Ketidakjelasan algoritma yang diimplementasikan Langkah” analisis algoritma: Menentukan jenis/sifat data input Mengidentifikasi abstract operation dari data input Menganalisis secara matematis untuk menentukan average case, worst case dan best case

9 Analisa Algortima….Kesimpulan

10 Running Time Untuk input yang sedikit, beberapa fungsi lebih cepat dibandingkan dengan yang lain

11 Running Time Untuk input yang besar, beberapa fungsi running-time sangat lambat - tidak berguna

12 NOTASI Big-Oh/O (1) Fungsi:
Digunakan sebagai bahasa untuk membahas efisiensi dari sebuah algoritma: log n, linier, n log n, n2, n3, ... digunakan untuk merepresentasikan laju pertumbuhan (growth rate) Dari hasil run-time, dapat kita buat grafik dari waktu eksekusi dan jumlah data Mrkfungsi yang berkaitan dengan kelajuan proses daripada kelajuan pertambahan dataT(n) = O(f(n)) if ada konstan c dan no sedemikian rupa then T(n) ≤ c.f(n) untuk n ≥ no O(f(n)) nilai maksimum dari c.f(n) c/ If f(n) = 2n Then T(n) = O(n2) If f(n) = 4n2 + 7n + 3 Then T(n) = O(n3)

13 NOTASI Big-Oh/O (3) c/ program-1 sum=0; for (i=0; i<n; i++)
sum=sum+a[i]; Penghitungan eksekusi: sum = 0 dieksekusi 1 kali i = 0 dieksekusi 1 kali i < n diekseklusi n kali i++ dieksekusi n kali sum = sum + a[i] dieksekusi n kali 2 + 3n kali Jadi T(n) = O(n)

14 NOTASI Big-Oh/O (4) c/ program-2 sum=0; for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++) sum= sum+a[j]; Penghitungan eksekusi: sum = 0 dieksekusi 1 kali i = dieksekusi 1 kali i < n dieksekusi n kali i dieksekusi n kali j = dieksekusi 1 kali j < n dieksekusi n × n kali j dieksekusi n × n kali sum = sum + a[ j ] dieksekusi n × n kali 3 + 2n + 3n2 kali

15 KLASIFIKASI ALGORITMA (1)
T(n)=c Jika sebagian besar instruksi pada program hanya dieksekusi constant/ sekali Bersifat konstan, tidak bergantung pada parameter/n data yang diolah Merupakan algoritma paling ideal c/ void hitung() { a=2; b=2; c=a+b; }

16 KLASIFIKASI ALGORITMA (2)
T(n)=O(n) Waktu eksekusinya sebanding/sama dengan jumlah data Setiap data input hanya diolah secara sederhana, c/ untuk operasi + - x : Kondisi optimal yang dicari dalam membuat algoritma c/ for (int i=0; i<n; i++) a[i]=0;

17 KLASIFIKASI ALGORITMA (3)
Waktu eksekusi berbading dengan kwadrat jumlah data, m/: Jika n=10 waktu eksekusinya 100 Jika n=20 waktu eksekusinya 400 Biasanya timbul karena setiap data dieksekusi 2 kali, misal dlm nested loop c/ Algoritma Bublesort for(int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<m; j++) a[i,j]=0; d/ perhitungan: Loop luar dieksekusi n kali Loop dalam dieksekusi m kali Total eksekusi = n × m kali

18 KLASIFIKASI ALGORITMA (5)
Untuk algoritma yang mengolah setiap data input 3x c/ pada nested loop Algoritma semacam ini sebisa mungkin dihindari c/ for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) for (k=0; k<n; k++) a[i,j,k]=0;

19 KLASIFIKASI ALGORITMA (4)
T(n)=O(log n) Waktu eksekusi sebanding dengan algoritma dari n-data m/ n-data menjadi 2 kali semula berarti waktu proses bertambah 1 unit; jika 1000x bertambah 10 unit, jika x berarti 20 unit Biasanya untuk algoritma yang memecah masalah besar kedalam sub masalah yang lebih kecil c/ Algoritma binary search dan algoritma fungsi rekursif T(n)=O(n log n) Bersifat linier dan logaritmis Untuk algoritma yang memecah masalah besar menjadi sub-masalah yang lebih kecil dan diselesaikan secara terpisah, kemudian hasilnya digabungkan. Contoh : Quicksort

20 KLASIFIKASI ALGORITMA (6)
n log n n log n n2 n3 10 3 30 100 1000 6 600 10000 100000 9 9000 13 130000 100 juta 1 trilyun 16 10 milyard 100 trilyun Pada implementasinya, algoritma kadang-kadang memiliki Big-Oh yang merupakan kombinasi dari klasifikasi dasar tersebut Perancangan algoritma yang memiliki Big-Oh baik tetapi rumit tidak selalu menguntungkan apabila jumlah data inputnya hanya sedikit Nilai Big-Oh adalah nilai worst case, sehingga dalam implementasinya biasanya tidak mencapai nilai setinggi itu

21 Aturan Algoritma: 1. For Loop (perulangan)
Waktu eksekusi pada for loop, maksimum sebanyak waktu eksekusi statement” yang ada di dalam loop dikalikan banyaknya iterasi c/ for (a=0; a<n; a++) { m=a+b; n=c+d; } Waktu eksekusi = 2 x n kali Jadi T(n) = O(n)

22 Aturan Algoritma: 2. Nested for loop (perulangan bersarang)
Dianalisis dari loop terdalam kemudian keluar Waktu eksekusi total sebuah statement adalah waktu eksekusi statement tsb dikalikan hasil kali dari banyaknya iterasi semua loop yang ada diluarnya c/ for(int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<m; j++) a[i,j]=0; a[i,j] akan dieksekusi sebanyak (m x n) kali. Jadi T(n) = O(n2)

23 Aturan Algoritma: 3. Consecutive Statement (statement yang berurutan)
Untuk statement yang berurutan, waktu eksekusinya adalah jml dari masing-masing statement Berdasarkan pengertian Big-OH, hal tsb akan diambil nilai yang terbesar c/ (1) for(int k=0; k<10; k++) (2) x[k]=0; (3) for(int i=0; i<n; i++) (4) for (int j=0; j<m; j++) (5) a[i,j]=0; Jadi T(n) = T1(n) + T2(n)+T3(n) = O(n3)

24 Aturan Algoritma: 4. if else
Total waktu eksekusi adalah waktu test ditambah waktu yang terbesar dari eksekusi Statemen1 atau Statemen2 c/ (1) if (a<10) (2) { (3) m=a+b; (4) n=c+d; (5) } (6) else (7) { (8) for (i=0; i<10; i++) (9) x=x+i; (10) } u/ baris 1-10 dengan rentang waktu tes=1-10 Jadi total waktu eksekusi adalah = 11 Jadi T(n) = O(n)

25 Big-Oh Rules (1)‏ Ekspresi matematika untuk menyatakan tingkat laju pertumbuhan relatif: DEFINITION: (Big-Oh) T(N) = O(F(N)) jika ada konstan positif c dan N0 sehingga T(N) c F(N) untuk N N0. DEFINITION: (Big-Omega) T(N) = (F(N)) jika ada konstan c dan N0 sehingga T(N) c F(N) untuk N N0 DEFINITION: (Big-Theta) T(N) = (F(N)) jika dan hanya jika T(N) = O(F(N)) dan T(N) = (F(N)). DEFINITION: (Little-Oh) T(N) = o(F(N)) jika dan hanya jika T(N) = O(F(N)) dan T(N)   (F(N)).

26 Big-Oh Rules (2)‏ Arti dari beberapa fungsi tingkat laju.
Jika ada lebih dari satu parameter, maka aturan tersebut berlaku untuk setiap parameter. 4 n log(m) + 50 n m  O(n log(m) + n2 + m)‏ 4 m log(m) + 50 n m + 853  O(m log(m) + n2)‏

27 Panduan Running Time (detik)

28 Contoh Algoritma Mencari dua titik yang memiliki jarak terpendek dalam sebuah bidang koordinat XY Masalah dalam komputer grafis Algoritma brute force: hitung jarak dari semua pasangan titik cari jarak yang terpendek Jika jumlah titik adalah n, maka jumlah semua pasangan n*(n-1)/ 2 Orde-nya: O(n2) – kuadratik Ada solusi yang O(n log n) bahkan O(n) dengan cara algoritma lain Tentukan apakah ada tiga titik dalam sebuah bidang yang segaris (colinier) periksa semua tripel titik yang terdiri dari 3 titik Jumlah pasangan: n * (n - 1) * (n - 2) / 6 Orde-nya: O(n3) - kubik. Sangat tidak berguna untuk titik Ada algoritma yang kuadratik

29 Studi Kasus Mengamati sebuah masalah dengan beberapa solusi
Masalah Maximum Contiguous Subsequence Sum Diberikan (angka integer negatif A1, A2, …, AN) cari nilai maksimum dari (Ai + Ai+1 + …+ Aj ) maximum contiguous subsequence sum=0 jika semua integer adalah negatif 5/15/2018 29

30 Brute Force Algorithma (1)
Algoritma: Hitung jumlah dari semua sub-sequence yang mungkin Cari nilai maksimumnya Contoh: jumlah subsequence (start, end)‏ (0, 0), (0,1), (0,2), …, (0,5)‏ (1,1), (1,2), …, (1, 5)‏ … (5,5)‏

31 Brute Force Algorithm (2)
public static int maxSubSum1( int [] A )‏ { int maxSum = 0; for(int ii = 0; ii < A.length; ii++) { for( int jj = ii; jj < A.length; jj++)‏ int thisSum= 0; for(int kk = ii; kk <= jj; kk++)‏ thisSum += A[kk]; if( thisSum > maxSum )‏ maxSum = thisSum; } return maxSum ; TODO: give illustration of an array! and pointer of i, j, k. sum [ii, jj] = sum [ii, jj – 1] + Ajj 5/15/2018

32 Brute Force Algorithma (3)
Analisa: Iterasi (kk) sebanyak N dalam iterasi (jj) sebanyak N dalam iterasi (ii) sebanyak N artinya: O(N3), atau algoritma kubik. Slight over-estimate yang dihasilkan dari perhitungan iterasi yang kurang dari N adalah tidak terlalu penting (kk <= jj) Running Time: Untuk N = 100, waktu sebenarnya adalah 0.47 detik pada sebuah komputer Dapat menggunakan informasi tersebut, untuk memperkirakan waktu untuk input yang lebih besar: T(N) = cN 3 T(10N) = c(10N)3 = 1000cN 3 = 1000T(N)‏ Ukuran input meningkat dengan kelipatan 10 kali, yang artinya meningkatkan running time dengan kelipatan 1000 kali. Untuk N = 1000, perkiraan waktu 470 detik. (waktu sebenarnya 449 detik). Untuk N = , perkiraan waktu detik (6 hari). Loop N kali di dalam loop N kali di dalam loop N kali  O(N3), atau algoritma kubik 5/15/2018 32

33 Brute Force Algorithma (4) Bagaimana memperbaikinya?
Membuang sebuah iterasi; Tidak selalu bisa Dalam contoh sebelumnya dimungkinkan: iterasi paling dalam (kk) tidak diperlukan karena informasi nya terbuang Nilai thisSum untuk nilai jj selanjutnya dapat dengan mudah diperoleh dari nilai thisSum yang sebelumnya: Yang diperlukan: Aii + A ii+1 + … + A jj-1 + Ajj Yang telah dihitung: Aii +A ii+1 + …+ A jj-1 Yang dibutuhkan adalah yang telah dihitung + Ajj Dengan kata lain: sum [ii, jj] = sum [ii, jj – 1] + Ajj 5/15/2018

34 Contoh Algoritma Brute Force
1. Menghitung an (a > 0, n adalah bilangan bulat tak-negatif) an = a x a x … x a (n kali) , jika n > 0 = , jika n = 0 Algoritma: kalikan 1 dengan a sebanyak n kali

35 Contoh Algoritma Brute Force
2. Menghitung n! (n bilangan bulat tak-negatif) n! = 1 × 2 × 3 × … × n , jika n > 0 = 1 , jika n = 0 Algoritma: kalikan n buah bilangan, yaitu 1, 2, 3, …, n, bersama-sama

36 Contoh Algoritma Brute Force
3. Mengalikan dua buah matrik yang berukuran n × n Misalkan C = A × B dan elemen-elemen matrik dinyatakan sebagai cij, aij, dan bij Deklarasi i, j, k, n: integer input A, B: matrik output C: matriks Algoritma hitung setiap elemen hasil perkalian satu per satu, dengan cara mengalikan dua vektor yang panjangnya n. for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) C[i,j]=0 for (k=0; k<n; k++) C[i,j]=C[i,j]+A[i,k]*B[k,j]

37 Contoh Algoritma Brute Force
Menemukan semua faktor dari bilangan bulat n selain dari 1 dan n itu sendiri. Definisi: Bilangan bulat a adalah faktor dari bilangan bulat b jika a habis membagi b Deklarasi k:integer input n:integer Algoritma k=0 ketemu=false for (k=2; k<n-1; k++) if n mod k=0 then s.o.p(k)

38 Contoh Algoritma Brute Force
5. Mencari elemen terbesar atau terkecil Persoalan: Diberikan sebuah himpunan yang beranggotakan n buah bilangan bulat. Bilangan-bilangan bulat tersebut dinyatakan sebagai a1, a2, …, an. Carilah elemen terbesar di dalam himpunan tersebut Deklarasi k:integer input a1,a2….an:integer output maks:integer Algoritma maks=a1; for (k=2; k<n; k++) if a[k]>maks then maks=a[k]; Kompleksitas algoritma ini adalah O(n)

39 Contoh Algoritma Brute Force
6. Sequential Search Persoalan: Diberikan n buah bilangan bulat yang dinyatakan sebagai a1, a2, …, an. Carilah apakah x terdapat di dalam himpunan bilangan bulat tersebut. Jika x ditemukan, maka lokasi (indeks) elemen yang bernilai x disimpan di dalam peubah idx. Jika x tidak terdapat di dalam himpunan tersebut, maka idx diisi dengan nilai 0 Deklarasi k,x:integer input a1,a2….an:integer output idx:integer Algoritma k=1 while(k<n)and(a[k]!=x) do k=k+1 endwhile if a[k]=x then idx=k else idx=0 endif Kompleksitas algoritma ini adalah O(n)

40 Contoh Algoritma Brute Force
7. Bubble Sort metode yang paling bagus dalam memecahkan masalah pengurutan algoritma bubble sort Alur mengurutkan tabel L[1…n], sehingga terurut naik; dengan inputan (tabel L yang sudah didefinisikan nilai”nya); output (tabel L yang terurut naik L[1]<=L[2]…<=L[n] Deklarasi i,k,n,temp:integer input/output tabel L: integer Algoritma for (i=1; i<n-1; i++) for (k=n; k<n-1; i++) if L[k]<L[k-1] then temp=L[k] L[k]=L[k-1] L[k-1]=temp Kompleksitas algoritma ini adalah O(n2)

41 Contoh Algoritma Brute Force
8. Menentukan bilangan prima Persoalan: Diberikan sebuah bilangan bilangan bulat positif. Ujilah apakah bilangan tersebut merupakan bilangan prima atau bukan. Next Lanjut: akan kita terapkan di materi tentang searching; Sorting & Rekursif

42 The Better Algorithma (1)
Analisa: Dengan logika yang sama, Saat ini running time adalah quadratic, or O(N2)‏ Perkirakan waktu eksekusi untuk input berukuran ribuan. Algoritma ini masih dapat digunakan untuk ukuran input 10 ribu Running Time: Untuk N = 100, waktu sebenarnya adalah detik pada sebuah komputer Perkirakan waktu sebenarnya untuk input lebih besar: T(N) = cN 2 T(10N) = c(10N)2 = 100cN 2 = 100T(N)‏ Input diperbesar dengan kelipatan 10 artinya running time akan membesar dengan kelipatan 100 u/ N = 1000, perkiraan running time 1.11 detik (waktu sebenarnya 1.12 detik) u/ N = 10,000, perkiraan 111 detik (= actual) 5/15/2018 42

43 The Better Algorithma (2)
public static int maxSubSum2( int [ ] A )‏ { int maxSum = 0; for( int ii = 0; ii < A.length; ii++ )‏ int thisSum = 0; for( int jj = ii; jj < A.length; jj++ )‏ thisSum += A[jj]; if( thisSum > maxSum )‏ maxSum = thisSum; } return maxSum ; 5/15/2018 43

44 Algoritma Rekursif (1) Gunakan pendekatan divide-and-conquer :
Membagi (divide) permasalahan ke dalam bagian yang lebih kecil Menyelesaikan (conquer) masalah per bagian secara recursive Menggabung penyelesaian per bagian menjadi solusi masalah awal Urutan dengan nilai jumlah terbesar kemungkinan berada pada: terletak di setengah input awal terletak di setengah input akhir. berawal disetengan input awal dan berakhir di setengah input akhir. Hitung ketiga kemungkinan tersebut. Cari yang lebih besar. Kedua kemungkinan pertama dapat dengan mudah dihitung secara rekursif. divide et impera 5/15/2018 44

45 Algoritma Rekursif (2) dapat dilakukan dengan dua iterasi; lihat program kemungkinan ketika berasal dari penjumlahan dua bagian, bagian pertama berawal pada setengah bagian input pertama berakhir di tengah. Bagian kedua berasal dari urutan index setengah +1 hingga setengah bagian input akhir. bagian pertama gunakan iterasi dari kanan-ke-kiri (right- to-left) mulai dari element terakhir pada setengah input awal. bagian kedua, gunakan iterasi dari kiri-ke-kanan, (left-to- right) mulai dari awal setengah input akhir. 5/15/2018

46 Algoritma Rekursif (3) Pastikan dalam rekursif program anda ada base case untuk mengatasi zero-element arrays. Gunakan method “driver” yang public (method rekursif dibuat private)‏ Aturan Rekursif : Memiliki base case Membuat progress menuju ke base case Asumsikan bahwa panggilan rekursif bekerja dengan baik. Hindari menghitung sebuah penyelesaian dua kali. 5/15/2018 46

47 Algoritma Rekursif (4) Tengah-tengah
private int maxSumRec (int[] a, int left, int right) { int center = (left + right) / 2; if(left == right) { // Base case return a[left] > 0 ? a[left] : 0; } int maxLeftSum = maxSumRec (a, left, center); int maxRightSum = maxSumRec (a, center+1, right); for(int ii = center; ii >= left; ii--) { leftBorderSum += a[ii]; if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum) maxLeftBorderSum = leftBorderSum;

48 Algoritma Rekursif (5) for(int jj = center + 1; jj <= right; jj++) { rightBorderSum += a[jj]; if(rightBorderSum > maxRightBorderSum)‏ maxRightBorderSum = rightBorderSum; } return max3 (maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum); // publicly visible routine (a.k.a driver function)‏ public int maxSubSum (int [] a) { return maxSumRec (a, 0, a.length-1);

49 Algoritma Rekursif (6)Analisa
Misalkan T( N ) adalah waktu untuk menyelesaikan masalah dengan ukuran input N. maka T( 1 ) = 1 (1 adalah quantum time unit ketika memproses base case; ingat konstanta tidak terlalu penting. ). T( N ) = 2 T( N / 2 ) + N Dua buah pemanggilan rekursif, masing-masing berukuran N / 2. Waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masing- masing-nya adalah T( N / 2 ) Kasus ketiga membutuhkan O( N ) . 5/15/2018 49

50 Bottom Line Algoritma T(1) = 1 = 1 * 1 T(2) = 2 * T(1) + 2 = 4 = 2 * 2
T(N) = N(1 + log N) = N + N log N = O(N log N)‏ 5/15/2018 50

51 Bottom Line Algoritma Setiap algoritma rekursif yang menyelesaikankan permasalahan dengan membagi dua permasalahan kemudian melakukan proses linear (menggabung atau memecah) akan selalu O( N log N ) karena analisa yang sama tetap berlaku Algoritma yang O( N log N ) adalah jauh lebih baik dibanding quadratic Tapi masih belum lebih baik dibanding O( N ), namun tidak terlalu jauh berbeda 5/15/2018 51

52 Algoritma linear (1) Algoritma Linear merupakan yang terbaik.
Ingat: linear artinya O( N ). Running time yang linear selalu sebanding dengan ukuran input. Sulit untuk membuat algoritma yang lebih baik dari linear (kecuali ada rumusan tertentu). Jika input membesar dengan kelipatan 10, maka running time juga hanya akan membesar dengan kelipatan yang sama. 5/15/2018

53 Algoritma linear (2) Ai,j adalah kumpulan bilangan mulai dari urutan i hingga urutan j. Si,j adalah dari kumpulan bilangan tersebut. Theorema: Untuk Ai,j dengan Si,j < 0. Jika q > j, maka Ai,q bukanlah deretan terurut yang terbesar. Bukti: Si,q = Si,j + Sj+1,q Si,j < 0  Si,q < Sj+1,q

54 Algoritma Linear (3) program1
static public int maximumSubSequenceSum3 (int a[]) { int maxSum = 0; int thisSum = 0; for (int jj = 0; jj < a.length; jj++) { thisSum += a[jj]; if (thisSum > maxSum) { maxSum = thisSum; } else if (thisSum < 0) { thisSum = 0; } return maxSum;

55 Algoritma Linear (3) program2
static public int maximumSubSequenceSum3b (int a[]) { int thisSum = 0, maxSum = 0; for (int ii = 0; ii < a.length; ii++) { thisSum = Max(0, a[ii] + thisSum); maxSum = Max(thisSum, maxSum); } return maxSum;

56 Algoritma Logaritme Definisi Formal
Untuk setiap B, N > 0, logB N = K, if B K = N. Jika (base) B diabaikan, maka default-nya adalah 2 dalam konteks ilmu komputer (binary representation). c/ log 32 = 5 (karena 25 = 32)‏; log 1024 = 10; log = 20; log 1 milyard = sekitar 30 logaritme berkembang jauh lebih lambat dari N dan lebih lambat dari akar kuadrat dari N. Sebuah algoritma adalah O( log N ) jika membutuhkan waktu konstan untuk membagi input permasalahan dan mengerjakan masing-masing-nya secara rekursif. (biasanya 1/2). Penjelasan: Akan terjadi sebanyak log N dari proses konstan tersebut. 5/15/2018

57 Contoh Algoritma Logaritme
Mencari bits dalam binary number Berapa banyak bits dibutuhkan untuk merepresentasikan bilangan bulat? perulangan Mulai dari X = 1, berapa kali X harus dikalikan dua agar mendekati nilai N? Mulai dari X = N, jika N dibagi dua terus menerus, berapa kali iterasi agar membuat N lebih kecil atau sama dengan 1 (Halving rounds up). 5/15/2018

58 Linear Search Bila diberikan sebuah bilangan bulat X dan sebuah array A, kembalikan posisi X dalam A atau sebuah tanda bila tidak ada X dalam A. Jika X muncul lebih dari sekali, kembalikan posisi manapun. Array A tidak perlu diubah. Jika array input tidak terurut, solusinya adalah menggunakan linear search. Running times: pencarian tidak berhasil: O( N ); setiap element diperiksa pencarian berhasil: Worst case: O( N ); setiap element diperiksa Average case: O( N ); setengah bagian diperiksa 5/15/2018

59 Binary Search (1) Lihat bilangan ditengah (asumsi array terurut dari kiri ke kanan)‏ Kasus 1: Jika X lebih kecil dari bilangan ditengah, maka hanya perlu lihat sub array bagian kiri. Kasus 2: Jika X lebih besar dari bilangan ditengah, maka hanya perlu lihat sub array bagian kanan Kasus 3: Jika X sama dengan bilangan ditengah, maka selesai. Base Case: Jika input sub array kosong, X tidak ditemukan. 5/15/2018

60 Binary Search (2) public static int binarySearch (Comparable [ ] a,
Comparable x ) throws ItemNotFound { int low = 0; int high = a.length - 1; int mid; while( low <= high )‏ mid = (low + high) / 2; if (a[mid].compareTo (x) < 0) { low = mid + 1; } else if (a[mid].compareTo (x) > 0) { high = mid - 1; } else { return mid; } throw new ItemNotFound( "BinarySearch fails" );

61 Binary Search (3) Dapat melakukan satu perbandingan tiap iterasi dari pada dua iterasi dengan cara menggantikan base case: Save the value returned by a[mid].compareTo (x) Average case dan worst case dalam algoritma hasil revisi adalah sama : 1 + log N perbandingan (dibulatkan). Contoh: If N = 1,000,000, maka 20 bilangan dibandingkan. Sequential search akan lebih banyak 25,000 kali dalam kondisi rata-rata (average case). 5/15/2018

62 Tugas: Int select (int a[], int k, int n) { int I, j, mini, tmp;
for (i=0; i<k; i++) mini=i; for (j=i+1; j<n; j++) if (a[j]<a[mini]) mini=j; temp=a[i]; a[i]=a[mini]; a[mini]=tmp; } return a[k-1];