Materi 11 Teori Graf.

Presentasi berjudul: "Materi 11 Teori Graf."— Transcript presentasi:

1 Materi 11 Teori Graf

2 Contoh graf Peta jawa tengah : sehingga
Kita tau apakah ada lintasan jalan antar 2 kota Rute dari satu kota ke kota lainnya melalui kota apa saja Rute tersingkat dari kota A ke kota Z

3 Definisi graf Definisi pada Graf : V = himpunan vertex atau node
V = {v1, v2, v3, , Vn} V dapat berupa huruf, angka atau kombinasi antar keduanya V harus ada isinya E = himpunan edge yang menghubungkan antar vertex E ={e1, e2, e3, , en} E = (vi, vj) E adalah edge yang menghubungkan vertex i dengan vertex j E boleh tidak ada isinya

4 Contoh Graf G1 : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (1,3), (2,4), (3,4)}
E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Catt  e3 dan e4  multiple edges/ paralel edges G3 : E = {(1,2), (2,3),(1,3), (1,3), (2,4), (3,4),(3,4), (3,3)} E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} Catt  e8  loop

5 Jenis graf berdasarkan loop atau multiple edges
Simple graf Tidak ada loop dan multiple edges Tidak ada arah Ex : saluran kable komputer  dapat 2 arah Unsimple graf Multigraph  ada multiple edges Pseudograph  ada loop, jika ditambah multiple edges, tetap  Pseudograph

6 Introduction to Graphs
Example: A multigraph G with vertices V = {a, b, c, d}, edges {1, 2, 3, 4, 5} and function f with f(1) = {a, b}, f(2) = {a, b}, f(3) = {b, c}, f(4) = {c, d} and f(5) = {c, d}: a b c d 1 2 3 4 5

7 Jenis graf berdasarkan jumlah vertex
limited graf Jumlah vertex berhingga dipelajari Unlimited graf Jumlah vertex tidak berhingga Tidak dipelajari

8 Jenis graf berdasarkan orientasi arah
Undirected graf Tidak ada penunjukan arah pada edge Sehingga (vi, vj) = (vj, vi) Directed graf Ada penunjukan arah pada edge Sehingga ada : Initial vertex Terminal vertex

9 Introduction to Graphs
Example: A directed multigraph G with vertices V = {a, b, c, d}, edges {1, 2, 3, 4, 5} and function f with f(1) = (a, b), f(2) = (b, a), f(3) = (c, b), f(4) = (c, d) and f(5) = (c, d): a b c d 1 2 3 4 5

10 Type Edges Multiple Loops ?
Simple graph undirected no no Multigraph undirected yes no Pseudograph undirected yes yes Directed graph directed no yes Directed multigraph directed yes yes Lihat Tabel 1 – halaman 540

11 Contoh Terapan Graf Penggambaran Peta Penggambaran jembatan
Rangkaian Listrik Pengujian program Teori bahasa dan Otomata

12 Graph Terminology Sub bab 8.2

13 Terminologi/istilah Graf
Adjacent/ketetanggaan : 2 vertex bertetangga bila keduanya terhubung langsung Ex : 6.12 (a)  vertex 1 bertetangga dengan vertex 2 dan 3, tapi tidak dengan 4 Incidency/bersisian : Edge e = (a,b ) dikatakan e berinciden dengan vertex a atau vertex b Ex : 6.12(a)  edge (1,2) berinsiden dengan vertex 1 dan 2, tapi edge (1,2) tidak berinsiden dengan vertex 4

14 Terminologi: e a v {v, w} u w b c u dan v adjacent b dan c adjacent
v dan w adjacent b = initial vertex, adjacent to c edge e incident with c = terminal vertex, adjacent from b endpoints u dan v in-degree (b) = deg – (b) = 1 degree (v) = 4 out-degree(b) = deg +(b) = 3 a v e {v, w} (b, a) = {u, v} u w (b, c) b c

15 Terminologi (lanjutan):
v Vertex v disebut “isolated” Vertex p disebut “pendant” r q p Graph di samping ini disebut “regular” (3-regular) karena tiap vertex memiliki degree sama (3)

16 Terminologi (lanjutan):
v r “Complementary graph” untuk graph di samping ini adalah q p v r q p

17 Terminologi/istilah Graf
Isolated vertex Vertex yg tidak mempunyai edge Graf kosong Graf yang mempunyai vertex tapi tidak mempunyai edge Degree Jumlah edge yang menyentuh vertex Loop  degree = 2 Lambang  d(v) Ex : 6.12 (a)  d(1) = d(4) =2 D(2) = d(3) =3

18 Terminologi/istilah Graf
Pendant vertex  vertex yang berderajat 1 Pada graf yang berarah : ,din(v) = jumlah edge yang masuk ke vertex ,dout(v) =jumlah edge yang keluar dari vertex Sehingga d(v) = din(v) + dout(v)

19 Graph Terminology Definition: In a graph with directed edges, the in-degree of a vertex v, denoted by deg-(v), is the number of edges with v as their terminal vertex. The out-degree of v, denoted by deg+(v), is the number of edges with v as their initial vertex. Question: How does adding a loop to a vertex change the in-degree and out-degree of that vertex? Answer: It increases both the in-degree and the out-degree by one.

20 Graph Terminology Example: What are the in-degrees and out-degrees of the vertices a, b, c, d in this graph: deg-(a) = 1 deg+(a) = 2 deg-(b) = 4 deg+(b) = 2 a b c d deg-(d) = 2 deg+(d) = 1 deg-(c) = 0 deg+(c) = 2

21 Graph Terminology Theorem: Let G = (V, E) be a graph with directed edges. Then: vV deg-(v) = vV deg+(v) = |E| This is easy to see, because every new edge increases both the sum of in-degrees and the sum of out-degrees by one.

22 Teorema: G = (V, E) = directed graph
contoh: b a 2 1 3 c d 4 5

23 Graph Terminology a b c d i h g j f e
Example: Which vertices in the following graph are isolated, which are pendant, and what is the maximum degree? What type of graph is it? a b c d i h g j f e Solution: Vertex f is isolated, and vertices a, d and j are pendant. The maximum degree is deg(g) = 5. This graph is a pseudograph (undirected, loops).

24 Graph Terminology a b c d i h g j f e
Let us look at the same graph again and determine the number of its edges and the sum of the degrees of all its vertices: a b c d i h g j f e Result: There are 9 edges, and the sum of all degrees is 18. This is easy to explain: Each new edge increases the sum of degrees by exactly two.

25 Istilah graf The Handshaking Theorem :
Jumlah degree semua vertex adalah genap, yaitu 2 x edge Dikatakan handshaking karena seperti jabat tangan, tiap edge pasti dihitung 2 kali, karena mempunyai 2 vertex, sehingga seperti orang berjabat tangan Ex : 6.12 (a) : Edge = 5 Sehingga jumlah degree semua vertex adalah 2 x 5 = 10 , d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = = 10

26 Istilah graf Karena adanya teori handshaking, maka didapat teorema baru yaitu : Untuk sembarang graf, banyaknya vertex yang berderajat ganjil adalah genap Path / lintasan Serangkaian vertex atau gabungan vertex dengan edge Simple path  path dimana semua edge dilewati hanya 1 kali Closed walk / cycle / circuit path yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama Open walk  path yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama Ex : 6.12 (a) Path 1, 2, 4, 3 adalah simple path dan open walk, panjang path = 3 Path 1, 2, 4, 3, 1 adalah simple path dan colse walk, panjang path = 4 Panjang path  jumlah edge pada path tersebut Jika ada multiple edge, maka penulisannya adalah penggabungan antara vertex dan edge  1 e e e8