Solusi persamaan aljabar dan transenden

Presentasi berjudul: "Solusi persamaan aljabar dan transenden"— Transcript presentasi:

1 Solusi persamaan aljabar dan transenden
Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

2 Pendahuluan Mencari akar-akar persamaan 𝑓 𝑥 =0
Tidak ada metode aljabar untuk menentukan solusi persamaan 𝑓 𝑥 =0 untuk 𝑓 𝑥 suatu polinom berderajat tinggi atau berbentuk fungsi transenden 𝑓 𝑥 =1+ cos 𝑥 −5𝑥 𝑓 𝑥 =𝑥 tan 𝑥 − cosℎ 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒 −𝑥 − sin 𝑥

3 Metode Numerik Metode Bagi Dua (Biseksi/Bolzano) Metode Iterasi
Metode Iterasi Sederhana Metode Iterasi Konvergen Metode Posisi Salah (Regula Falsi) Metode Newton-Raphson

4 Metode Bagi Dua (Biseksi/Bolzano)
Algoritma 𝒂,𝒃 Bagi dua di 𝒙=𝒄 𝒂,𝒄 𝒄,𝒃 𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 <𝟎 ya tidak Selang baru : 𝒂,𝒃 ← 𝒂,𝒄 Selang baru : 𝒂,𝒃 ← 𝒄,𝒃

5 Kasus yang mungkin dari metode bagi dua
Jumlah akar lebih dari satu dalam suatu selang 𝑎,𝑏 sehingga selang 𝑎,𝑏 harus diperkecil sehingga selang tersebut hanya mempunyai satu akar. Akar ganda Singularitas

6 Teorema Jika 𝑓 𝑥 kontinu di dalam selang 𝑎,𝑏 dengan 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 <0 dan 𝑠𝜖 𝑎,𝑏 sehingga 𝑓 𝑠 =0 dan 𝑐 𝑟 = 𝑎 𝑟 + 𝑏 𝑟 2 , maka selalu berlaku dua ketidaksamaan 𝑠− 𝑐 𝑟 ≤ 𝑏 𝑟 − 𝑎 𝑟 2 𝑠− 𝑐 𝑟 ≤ 𝑏−𝑎 2 𝑟+1 ,𝑟=0,1,2,⋯

7 Kriteria berhenti Jika kriteria berhenti 𝑏 𝑟 − 𝑎 𝑟 <𝜀 maka berdasarkan berdasarkan (𝑖) maka 𝑠− 𝑐 𝑟 < 𝜀 2 sehingga 𝑏−𝑎 2 𝑟+1 < 𝜀 2 ⇔ 2 𝑟 > 𝑏−𝑎 𝜀 ⇔𝑟 ln 2 > ln 𝑏−𝑎 − ln 𝜀 ⇔𝑟> ln 𝑏−𝑎 − ln 𝜀 ln 2 ⇔𝑅> ln 𝑏−𝑎 − ln 𝜀 ln 2

8 Contoh Soal Metode Bagi Dua
Temukan akar 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 −5 𝑥 2 di dalam selang 0,1 dan 𝜀=

9 r a c b f(a) f( c ) f(b) Selang baru Lebar Selang 0.5 1 [0.5,1] 0.75 [0.5,0.75] 2 0.625 [0.5,0.625] 3 0.5625 [0.5625,0.625] 4 [ ,0.625] 5 [ , ] 6 [ , ] 7 [ , ] 8 [ , ] 9 [ , ] 10 [ , ] 11 [ , ] 12 [ , ] 13 [ , ] 14 15 [ , ] 16 [ , ]

10 Metode Iterasi