Permutasi dan kombinasi

Presentasi berjudul: "Permutasi dan kombinasi"— Transcript presentasi:

1 Permutasi dan kombinasi

2 Intro – Faktorial n! = n.(n-1)(n-2)... 1 0! = 1.
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1. n! = n.(n-1)(n-2)... 1 0! = 1.

3 Intro – Faktorial Latihan Soal 1. 2.

4 Permutasi Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Urutan diperhatikan Perulangan tidak diperbolehkan

5 Permutasi Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, banyaknya susunan panitia yang mungkin ?

6 Permutasi Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.
Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah = 6.

7 Permutasi Secara formal, permutasi dapat didenisikan sebagai berikut. Denisi 3.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2, .. ,xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.

8 Permutasi Contoh 3.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC ! Penyelesaian Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

9 Permutasi Teorema 3.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.

10 Permutasi Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?

11 Permutasi 4.3.2.1 = 24 Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah = 24

12 Permutasi Definisi 3.2 Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).

13 Permutasi Teorema 3.2 Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

14 Permutasi Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut : Jika r = n, maka persamaan menjadi

15 Permutasi Contoh 3.2 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

16 Permutasi Contoh 3.3 Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

17 Permutasi Penyelesaian Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

18 Permutasi 1. Sebuah undian dilakukan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit – digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian???

19 Permutasi 2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing – masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola???

20 Permutasi 3. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2 buku matematika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara untuk menyusun buku – buku tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap buku dikelompokan sesuai dengan jenisnya ? ?

21 Permutasi 4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata SMART???

22 Permutasi 5. Misalkan X={a, b, c, d} a. Hitunglah Permutasi dari X b. Hitunglah Permutasi-3 dari X

23 Kombinasi menyusun (memilih) objek sejumlah r dari n buah objek yang ada. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. Aturan kombinasi adalah: Urutan tidak diperhatikan Tidak boleh ada pengulangan

24 Kombinasi Pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) dalam mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan karena tidak ada bedanya antara Dedi, Eka dan Feri dengan Eka, Dedi dan Feri. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5 orang yang ada, diperoleh:

25 Kombinasi {Dedi,Eka,Feri} {Dedi,Eka,Gani} {Dedi,Eka,Hari}
{Dedi,Feri,Gani} {Dedi,Feri,Hari} {Dedi,Gani,Hari} {Eka,Feri,Gani} {Eka,Feri,Hadi} {Eka,Gani,Hari} {Feri,Gani,Hari} Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada.

26 kombinasi Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2,.., xn adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2,..., xn} (sub-himpunan dengan r unsur).Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan C(n,r) atau 𝐶 𝑛 𝑟 .

27 Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

28 Berapa banyak cara memilih sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang, dengan kandidat sebanyak 6 orang ??

29 Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Sehingga dengan mengunakan rumus kombinasi-r dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:

30 Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.