KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

Presentasi berjudul: "KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM"— Transcript presentasi:

1 KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM
SISTEM LINIER KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

2 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memahami kegunaan konvolusi
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan proses konvolusi Mahasiswa mampu menyelesaikan proses konvolusi dalam analisis sistem kontinyu Mahasiswa mampu menyelesaikan proses konvolusi dalam analisis sistem diskrit Mahasiswa memahami dan dapat menjelaskan sifat-sifat konvolusi

3 Outline Representasi Sinyal sebagai Impuls Response Impulse
Penurunan Konvolusi Jumlah Arti Konvolusi Metoda Konvolusi Dua Sinyal Penurunan Konvolusi Integral

4 Kegunaan konvolusi Untuk proses pengolahan citra :
Perbaikan kualitas citra Penghilangan derau Penghalusan citra Deteksi tepi Dll

5 Representasi Sinyal sebagai Impuls
Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser: Disebut sebagai sifting (or shifting) property:

6 Response Impuls (t) h(t) [n] h[n] Sistem H Sistem H
Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t). Pada Sinyal Kontinyu : h(t) = H((t)) Pada Sinyal Diskrit : h[n] = H[[t]] Sistem H (t) h(t) Sistem H [n] h[n]

7 Penurunan Konvolution Jumlah
Pada Sinyal Diskrit LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H. signal x[n] sebagai masukan H. tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses: Maka sinyal output y[n] menjadi:

8 Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)
Karena additivitas pada sistem LTI : Karena homogenitas pada sistem LTI : Karena time-invariance pada sistem LTI:

9 Arti Konvolusi Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh: Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n]. Secara Visual konvolusi berarti : Cerminkan h[k] Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin, sampai melewati x[k] Kalikan x[k] dengan h[n-k] Jumlahkan hasilnya

10 Contoh Dua buah isyarat diskrit x(n) dan y(n) mempunyai representasi sebagai berikut: x(n) = 1 n = -1,0,1 0, n lainnya sedangkan, 1 n=1 y(n) = 2, n=2 0, n lainnya carilah r(n) = x(n)*y(n).

11 Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut:
Penyelesaian: Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut: x(k) k 1 2 -1 -2 -3 3 y(k) (a) y(n-k) (b) y(-k) (c) r(n) n 4 5

12 Penurunan Konvolusi Integral
Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem. signal x(t) sebagai masukan H. Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam bentuk unit impulse: dimana

13 Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
Maka, sinyal output signal y(t) menjadi : Karena additivitas pada sistem LTI : Karena homogenitas pada sistem LTI :

14 Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
Karena time-invariance pada sistem LTI : dimana adalah staircase approximation dari h(t).

15 Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:

16 Konvolusi Contoh h(t) x(t) y(t)= ? 1 t h(t) 1.5 2.5 x(t) 1 t -1.5 -2.5
h(t) 1.5 2.5 x(t) 1 t -1.5 -2.5 x(-t) 1 t p-1.5 p-2.5 x(p-t)

17 Konvolusi y(t) dicari dengan persamaan Untuk p-1.5<0 atau p<1.5
x(p-t) h(t)

18 Konvolusi 2. Untuk p-1.5>0 dan p-2.5<0, atau 1.5<p<2.5 1 t
x(p-t) h(t)

19 Konvolusi 3. Untuk p-1.5>1 dan p-2.5<1, atau 2.5<p<3.5 1 t
x(p-t) h(t)

20 Konvolusi 4. Untuk p-2.5>1, p>3.5 1 t p-1.5 p-2.5 x(p-t) h(t)

21 Konvolusi y(t) menjadi h(t) x(t) y(t)= ? 1 p 1.5 2.5 y(p) p-1.5 3.5-p
h(t) 1.5 2.5 x(t) y(t) 3.5 t-1.5 3.5-t

22 Contoh Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua sinyal tersebut. 1 x(p) p -1 h(p) 2 h(t-p) t-1 t-2

23 Untuk mencari nilai konvolusi kedua isyarat kontinyu digunakan:
r(t) = x(t) * h(t) 1 h(t-p) p t-1 t-2 y(p) x(p) (a) (b) (c) (d)

24 Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut
Pada saat t<1 Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka: r(t) = 0 Pada saat 1<t<2 Pada saat 1<t<2 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar (b) adalah 0 dengan batas atas t-1. r(t) = t-1

25 Pada saat 2<t<3 Pada saat 2<t<3 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar (c) adalah t-2 dengan batas atas 1. r(t) = 1-(t-2) = 3-t Pada saat t<3 Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga: r(t) = 0

26 Hasil konvolusinya adalah : r(t) = x(t) * h(t)
Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut: t-1 1<t<2 r(t) = 3-t 2<t<3 0, t lainnya 1 t 3-t 3 2 r(t) t-1

27 Sifat-sifat Konvolusi
Commutative Distributive Associative Causality Step Response

28 Sifat-sifat Konvolusi
Commutative Property: x[n]*y[n]=y[n]*x[n] x(t)*y(t)=y(t)*x(t) Distributive Property: x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n] x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t) Associative Property: x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n] x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)

29 Interconnections of LTI systems
Parallel connection of LTI system The output of the system is y(t) = y1(t) + y2(t) = x(t)*h1(t) + x(t)*h2(t)

30 Interconnections of LTI systems (2)
Using distributive property, the output may be expressed as: x(t)*h1(t) + x(t)*h2(t) = x(t)*{h1(t) + h2(t)} the output for a discrete-time is: x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n] = x[n]*{h1[n] + h2[n]}

31 Interconnections of LTI systems (3)
Cascade connection of systems cascade connection system has associative and commutative property as: {x(t)*h1(t)}*h2(t) = x(t)*{h1(t)*h2(t)} and h1(t)*h2(t) = h2(t)*h1(t)

32 Causality Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya. Sistem LTI Kausal: Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n. Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal. Maka h[n]=0 untuk n<0.

33 Causality (cont’d) Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi: Samahalnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal: Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas

34 Step Response (t) Sistem H h(t) u(t) Sistem H s(t)
Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step. Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t). Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI serupa dengan Respons Unit Impulse. (t) Sistem H h(t) u(t) Sistem H s(t)

35 Step Response dan Impulse Response
Hubungan Respons Step dan Respons Impulse: Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.